С.Ю. Семенова Е.А. Согрина - Начертательная Геометрия 2009

Метрические задачи

2. Плоскость в результате второй замены должна стать плоскостью уровня. Для этого новую плоскость проекций необходимо выбрать параллельно плоскости фигуры.

Первая замена. Переведем плоскость общего положения в проецирующую плоскость. Для этого заменим плоскость проекций 77/ на новую плоскость П5, которая будет перпендикулярна плоскости ААВС и перпендикулярна оставшейся плоскости Т^. На П5 плоскость спроецируется в прямую и станет горизонталъно-проецирующей в новой системе плоскостей П2/П5 .

Необходимы следующие построения на эпюре (рис. 47):

1)В плоскости треугольника ААВС проводим фронталъ/ плоскости.

2)Проводим ось Х25 перпендикулярно/ 2 - фронтальной проекции фронтали.

3)Из точек А 2 , В2 , С2 проводим перпендикулярно оси Х25 линии проекционной связи.

4)Для построения проекций As, В5, С5 на линиях проекционной связи от новой оси

решается аналогично, т.е. через одну замену плоскостей проекций. При этом перпендикуляр, опущенный из точки на прямую (проекцию заданной плоскости), и будет являться истинной величиной расстояния от точки до плоскости. Подробно эта задача будет рассмотрена на странице 34.

31

Метрические задачи

Вторая замена. Позволяет перевести плоскость ААВС из проецирующего положения в положение плоскости уровня. Для этого дополнительную плоскость П4 вводим параллельно заданной плоскости ААВС и перпендикулярно оставшейся плоскости П5. На П4 плоскость спроецируется в истинную величину и станет фронтальной плоскостью в новой системе плоскостей П4/П5.

Выполним следующие построения на эпюре (рис. 48):

1)Проводим ось Х45 параллельно AsBsCs - проекции треугольника на плоскость 77j.

2)Через точки As, В5, С5 проводим перпендикулярно новой оси Х45 линии проекционной связи.

3) Для построения проекций А 4, В4, С4 на линиях проекционной связи от новой оси Х45 откладываем расстояния, равные координатам « z s» точек А,

Ви С, т.е. расстояния от точек до неизменяемой плоскости проекций П5 .

►Примечание: В результате этих преобразований плоскость ААВС проецируется в истинную величину, которая не может быть меньше исходных проекций плоскости.

Рис. 48

32

Метрические задачи

Задача 3. Определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

Истинная величина угла наклона плоскости к плоскости проекций определяется, когда плоскость занимает проецирующее положение. Задача решается по алгоритму, рассмотренному в первой замене плоскостей проекций задачи 2.

Для определения угла наклона заданной плоскости к 77; плоскость проекций 77; остается неизменной, а плоскость должна занять фронтально-проецирующее положение (рис. 49). Для этого в заданной плоскости необходимо провести горизонталь и новую ось проекций на эгпоре назначить перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали. При этом останется неизменной координата « z » заданных точек плоскости.

77"; 1 77",/ /7"; 1 OrfAABC!

Х 12 Х1С ХП -L ^1

z = const

Рис. 49

Для определения угла наклона заданной плоскости к П2 плоскость проекций П2 остается неизменной, а плоскость должна занять горизонтально-проецирующее положение (рис. 50). Для этого в заданной плоскости необходимо провести фронталь и новую ось проекций на эпюре назначить перпендикулярно фронтальной проекции фронтали. При этом останется неизменной координата «у » заданных точек плоскости.

i __А

Х 12 Х24> X2 h -L 6

у = const

Рис. 50

33

Метрические задачи

Задача 4. Определить расстояние от точки до плоскости.

Заданы плоскость общего положения а(АВ ИCD) и точка М (рис. 51). Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из

точки на эту плоскость.

Если плоскость занимает проецирующее положение, то перпендикуляр отображается в истинную величину на ту плоскость проекций, которой перпендикулярна заданная плоскость. Следовательно, решение задачи вновь сводится к преобразованию заданной плоскости из общего положения в проецирующее. Ранее эта задача была рассмотрена на рисунках 47, 49 и 50. Необходимо выполнить одно преобразование эпюра (рис. 51), при котором новая плоскость проекций выбирается перпендикулярно заданной плоскости.

щ 1 Щ; щ 1 а /АВ И CDI

z = const

Рис. 51

Сущность способа плоскопараллельного перемещения

Система плоскостей проекций остается неизменной. Все точки геометрической фигуры перемещаются во взаимно параллельных плоскостях, параллельных одной из плоскостей проекций (без деформации фигуры в пространстве). При таком перемещении проекция фигуры на плоскость проекций, параллельно которой происходит перемещение, не изменяется ни по форме, ни по величине. Проекции всех точек геометрического объекта на другой плоскости проекций перемещаются по прямым линиям параллельным оси проекций ОХ и являющимися проекциями плоскостей перемещения.

34

Метрические задачи

Примеры решения задач способом плоскопараллельного перемещения.

Задача 1. Определить расстояние от точки до прямой.

Заданы прямая общего положения E F и точка М (рис. 52).

Подобная задача ранее была решена с помощью последовательных замен плоскостей Яj и П2 (см. задачу 1, стр. 29). Естественно, что в этом случае надо применить для решения задачи два последовательных плоскопараллельных движения. Сначала переведем прямую в положение фронтали, а затем в горизонтальнопроецирующее положение.

Первое преобразование. Заданные точки Е, F и М перемещаются в горизонтальных плоскостях а, /3и /соответственно.

На эпюре после переноса горизонтальная проекция отрезка E F в соответствии с условиями преобразования сохраняет свою величину (EiFi=Ei,F ir), но становится параллельной оси проекций ОХ. При этом сохраняется расположение и горизонтальной проекции точки Mj по отношению к горизонтальной проекции прямой EJFJ.

Фронтальные проекции точек перемещаются по проекциям плоскостей

проекционной связи, проходящих через Ей Fi и Mi с проекциями соответствующих плоскостей 6*2, @2 и /2.

В результате преобразований прямая E F станет фронталью. ►Примечания: 1. Проекция £ 2'ТУ' - истинная величина прямой EF.

2. Угол (р - угол наклона прямой к плоскости проекций Я; (вариант решения задачи на определение угла наклона прямой общего положения к Я/).

Второе преобразование. Фронтальную проекцию ЯУ-ЯУ переместим в новое положение, перпендикулярное оси OX(E2 f,F2 ,f-LOX). При этом точки прямой Я / и Я / будут перемещаться во фронтальной плоскости г, а точка М \ во фронтальной плоскости со.

35

Метрические задачи

Фронтальные проекции прямой и точка М не меняют своего расположения по отношению друг к другу и размеров.

На проекции плоскости Т\ будет располагаться новая горизонтальная проекция прямой, которая спроецируется в точку (Ei"=F]").

Кратчайшее расстояние между двумя точками будет истинной величиной расстояния от точки Мдо прямой EF.

Задача 2. Определить истинную величину тоской фигуры.

Задан треугольник ААВС - плоскость общего положения (рис. 53).

Для решения задачи необходимо применить два последовательных преобразования эпюра, как и при способе замены плоскостей проекций. В результате первого перемещения плоскость должна стать проецирующей, в результате второго - плоскостью уровня.

Первое преобразование. Перемещение точек плоскости ААВС производим в плоскостях параллельных П2.

В плоскости треугольника ААВС проводим фронталь if).

Фронтальная проекция треугольника А 2В2С2 не меняется ни по форме, ни по размерам. При этом фронталь занимает положение прямой перпендикулярной оси ОХ (f2-LOX), т.е. становится горизонтально-проецирующей прямой.

Горизонтальные проекции точек А, В и С перемещаются по проекциям плоскостей перемещения, т.е. фронтальных плоскостей: проекция A j - по а/, проекция

Рис. 53

36

Метрические задачи

Второе преобразование. Перемещение точек плоскости АА ВС производим в плоскостях параллельных 77/.

Новая горизонтальная проекция треугольника tsAi’Bi'Ci не меняется ни по форме, ни по размерам и располагается на эпюре параллельно оси ОХ.

Фронтальные проекции точек А 2 ", В2 " и С2 " перемещаются по проекциям плоскостей перемещения, т.е. горизонтальных плоскостей: проекция Д / - по проекция Д / - по а>2, проекция С2 по 02.

В результате второго перемещения треугольник ААВС становится плоскостью уровня - фронтальной плоскостью, т.е. проецируется на П2 в истинную величину.

Задача 3. Определить расстояние от точки до плоскости.

Заданы плоскость общего положения a(OABCD) и точкаМ (рис. 54).

Подобная задача ранее была решена с помощью замены плоскостей проекций, (см. задачу 4, стр. 34). Естественно, что в этом случае надо применить для решения задачи одно плоскопараллельное перемещение.

Первое преобразование. Перемещение точек плоскости a(ElABCD) и точки М производим в плоскостях параллельных 77/.

В плоскости параллелограмма a(OABCD) проводим горизонталь (И).

При таком перемещении не изменяется величина горизонтальной проекции HiiBiCiDi, а горизонталь занимает положение прямой перпендикулярной оси ОХ (hj'JLOX), т.е. становится фронтально-проецирующей прямой.

Фронтальные проекции точек А, В, С, D и М перемещаются в горизонтальных плоскостях (ИП1).

В результате перемещения плоскость параллелограмма a(OABCD) становится фронтально-проецирующей плоскостью.

Перпендикуляр, опущенный из точки М / на фронтальную проекцию плоскости а.2 (A2 ,B2 ,C2 ,D2 % равен истинной величине расстояния от точки до плоскости.

^2 D'2

Рис. 54

37

Метрические задачи

Методические указания

З а д а ч а 1

В приведенном примере на рисунке 55 задача на определение истинной величины треугольника АВС решена способом плоскопараллельного перемещения, алгоритм решения которой был рассмотрен выше (задача 2, стр. 36).

Необходимо применить два последовательных преобразования эпюра:

1) При первом перемещении вершины ААВС перемещаются во фронтальных

прямой перпендикулярной оси OX fo-LOX), т.е. горизонтально-проецирующей прямой. В результате первого перемещения треугольник ААВС стал горизонтальнопроецирующей плоскостью.

2) При втором перемещении вершины ААВС перемещаются в горизонтальных плоскостях fly Ту о (т.е. параллельно 77;); не изменяется величина горизонтальной проекции ААВС (т.е. A Aj'Bj'Ci'=bAi"B]"C]"). В результате второго перемещения

В приведенном примере на рисунке 55 задача на определение расстояния от точки до прямой решена способом замены плоскостей проекций. Алгоритм решения этой задачи был рассмотрен выше (задача 1, стр. 29).

Необходимо выполнить две замены плоскостей проекций.

Первая замена. Переведем прямую ВС из общего положения в прямую уровня. Для этого заменим плоскость проекций П2 на новую плоскость П4, которая будет параллельна прямой ВС и перпендикулярна оставшейся плоскости /7/. На эпюре новую ось Xi4 проведем параллельно горизонтальной проекции прямой ВС. Для построения проекций В4, С4, А 4 на линиях проекционной связи от новой оси Хм откладываем расстояния, равные координатам « z » точек В, С и А, т.е расстояния от точек до неизменяемой плоскости проекций Я/. Прямая ВС стала фронталью в новой системе плоскостей П1/П4.

Вторая замена. Переведем прямую ВС в проецирующую прямую. Для этого заменим старую плоскость проекций Я; на новую плоскость Я5, которая будет перпендикулярна прямой ВС и оставшейся плоскости П4. На эпюре новую ось Х45 проведем перпендикулярно В4С4. Для построения проекций В5, С5 и As на линиях проекционной связи от новой оси Х45 откладываем расстояния, равные координатам «у*» точек В, Си А, т.е. расстояния от точек до неизменяемой плоскости проекций П4. На плоскость П5 прямая ВС спроецировалась в точку и стала горизонтальнопроецирующей прямой в новой системе плоскостей П4/П5 .

Кратчайшее расстояние между двумя точками является истинной величиной расстояния от точки А до прямой ВС.

► Примечание: алгоритм решения задачи (символами) обязательно привести на свободном поле чертежа.

39

Многогранники

Работа 3 Тема «М ногогранники»

Данные для своего варианта взять в приложении 3 (стр. 87). Пример выполнения приведен на рисунках 60 и 61. Задача 1. Построить три проекции призмы.

Задача 2. Построить три проекции пирамиды.

Задача 3. Построить развертку поверхности геометрического тела: а) для четных вариантов - пирамиды; б) для нечетных вариантов - призмы.

► Примечание: В данных телах все вырезы сквозные.

Теоретическая основа

Проецирование геометрических тел М ногогранники

Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками, называемыми граням и. Линии пересечения граней

называются ребрам и (рис. 56). Зерхнве

Рис. 56

Таким образом, проецирование многогранника сводится к проецированию плоскостей (граней) и прямых (ребер).

В техническом черчении обычно выполняют безосный чертеж, но проекционную связь между проекциями соблюдают обязательно. Профильную проекцию связывают с горизонтальной через координаты «у » (рис. 57).

Кроме того, в техническом черчении в соответствии с ГОСТом 2.305-68 проекции называют видами.

Вид - изображение, на котором показана обращенная к наблюдателю видимая часть поверхности предмета. ГОСТ 2.305-68 устанавливает шесть основных видов:

главный вид (фронтальная проекция), вид сверху (горизонтальная проекция), вид слева (профильная проекция),

вид справа, вид снизу и вид сзади.

40