С.Ю. Семенова Е.А. Согрина - Начертательная Геометрия 2009

Основы начертательной геометрии

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая и плоскость в пространстве могут быть параллельны и могут пересекаться:

1. Прямая параллельна плоскости - CD Ца;

21

Позиционные задачи

Работа 1

Тема «Позиционные задачи»

Данные для своего варианта взять из таблиц приложения 1 (стр. 84). Пример выполнения приведен на рисунке 35.

Задача 1. Найти недостающую проекцию четырехугольникаABCD. Задача 2. Через точку С провести дополнительную плоскость/?. Задача 3 . Построить линию пересечения I плоскостей a (ABCD) и /?.

Задача 4. Построить точку пересечения К прямой FN с плоскостью а. Определить видимость прямой FN по отношению к плоскости а.

►Примечание: Данные для задач 1, 2, 3 приведены в таблице 1. Данные для задачи 4 приведены в таблице 2.

Методические указания

З а д а ч а 1

► Задачи решаются в системе двух плоскостей проекций, начало координат надо задать самостоятельно.

Точки Л, ВуС четырехугольника строим по координатам.

Вусловии задачи точка D задана: D (х; у; ?) или D (х; ?; г). Недостающую проекцию точки D находим на основании теорем о принадлежности точки плоскости (теорема 1, стр. 17) и о принадлежности прямой плоскости (теорема 2, стр. 17).

Впримере по координатам была построена для четырехугольника ABCD фронтальная проекция точки D, поэтому на фронтальной проекции четырехугольника проводим вспомогательные прямые А 2В2 и C2D2 . Находим точку пересечения этих прямых h , а затем ее горизонтальную проекцию lj. Горизонтальную проекцию точки Dj находим на прямой Cil\.

З а д а ч а 2

Через точку С проводим дополнительную плоскость /?. На примере приведена фронтально-проецирующая плоскость {р J.II2). Она задана проекцией /?2-

Данная плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций и проецируется на нее в виде прямой линии. Эта прямая линия обладает «собирательным свойством», т.е. она собирает одноименные проекции всех геометрических образов, принадлежащих этой плоскости.

З а д а ч а 3

Построить линию пересечения плоскостей, значит, найти две ее проекции. Линия пересечения плоскостей принадлежит одновременно плоскости a (ABCD) и /?.

Фронтальную проекцию линии пересечения плоскостей /2 найдем из условия принадлежности плоскости р в силу ее собирательного свойства (/2 совпадает с Р2).

Горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей // найдем из условия принадлежности плоскости a (ABCD). Линия пересечения проходит через точки С и 2, принадлежащие сторонам четырехугольника. Решение аналогичной задачи рассмотрено на рисунке 31 (стр. 20).

22

Позиционные задачи

З а д а ч а 4

Теоретическая основа

Частный случай пересечения прямой и плоскости был рассмотрен ранее (рис. 34). Если прямая и плоскость общего положения, задача решается по следующему

алгоритму (рис. 36 и 38).

1. Через прямую а проводим вспомогательную плоскость /?.

а с р

2.Строим линию пересечения заданной плоскости а со вспомогательной плоскостью /?.

аГ\р = 1

3.Находим точку пересечения К заданной прямой а и построенной линии пересечения /.

аП I =К

►Примечание: Рекомендуется выбирать плоскость р частного положения, чтобы

оможно было использовать «собирательное свойство» плоскости (рис. 37).

А?

1. а с Р; р ± П 2

2. а(ЛАВС) 0 р = 1

3. а 01 =К

24

Позиционные задачи

Видимость прямой по отношению к плоскости определяется при помощи конкурирую щ их т очек, т.е. точек, лежащих на одном проецирующем луче. Этот проецирующий луч означает направление взгляда наблюдателя. Причем одна из точек должна принадлежать заданной прямой, другая - заданной плоскости. Видимой считается та точка, которая расположена ближе к наблюдателю.

Видимость прямой определяется отдельно на каждой плоскости проекций. Для определения видимости на 77; выбираются горизонталъно-конкурирующие точки, а на

П2 - фронталъно-конкурирующие точки (рис. 39).

Рис. 42

25

fti

Метрические задачи

Работа 2 Тема «М етрические задачи»

Данные для своего варианта взять из таблицы приложения 2 (стр. 86). Пример выполнения приведен на рисунке 55.

Задача 1. Определить истинную величину треугольника АВС:

а) для четных вариантов задачу решить способом плоскопараллельного перемещения; б) для нечетных вариантов - заменой плоскостей проекций.

Задача 2. Определить расстояние отлочшА до прямой ВС:

а) для четных вариантов задачу решить способом замены плоскостей проекций; б) для нечетных вариантов - способом плоскопараллельного перемещения.

►Примечание: Задачи решаются на одном условии.

Теоретическая основа

Способы преобразования проекций

Для решения задач необходимо применить два способа преобразования проекций: плоскопараллельное перемещение и замену плоскостей проекций. Эти способы используются для решения метрических задач.

Метрические задачи - задачи на определение различных величин: длины отрезка, величины угла, размера плоской фигуры, расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости и др.

Су щно ст ь способа з ам ен ы (пере ме ны) п л о с к о с т е й п р о е к ц и й

Точка или другой проецируемый образ (геометрический элемент) своего положения в пространстве не меняет. Заменяется одна или обе (последовательно) плоскости проекций. Новая плоскость проекций выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости, т.е. той плоскости, положение которой не изменяется. При такой замене расстояния от точек геометрической фигуры до неизменяемой плоскости проекций (т.е. соответствующие координаты точек) остаются неизменными. Новая плоскость по отношению к заданному геометрическому элементу выбирается так, как это необходимо для решения той или иной задачи.

Рассмотрим механизм введения дополнительной плоскости проекций на примере (рис. 43). Плоскость проекций П2 заменяем на новую плоскость П4. При этом плоскость П4 выбираем перпендикулярно оставшейся плоскости проекций Яу и под произвольным углом к П2 (в данном случае этот угол выбран произвольно). Плоскость П4 пересекает плоскость Я; по оси проекций Х14. Таким образом, получаем две системы плоскостей проекций - старую П2/П1 и новую Я/Яу с общей плоскостью Я;. Из рисунка 43 видно, что положение точки А относительно оставшейся плоскости Яу не изменяется, т.е. координата « z » точки А остается постоянной.

Эти же рассуждения сохраняются и при построении новой проекции точки на эпюре (рис. 43). Через неизменяемую проекцию точки Aj проводим линию проекционной связи, перпендикулярно новой оси проекций Хм. Откладываем от новой оси по линии проекционной связи отрезок, равный координате « z », т.е. расстояние до неизменяемой плоскости проекций Яу.

27

Метрические задачи

При решении задач приходится менять либо одну из заданных плоскостей проекций, либо последовательно обе. Механизм такой двойной замены плоскостей проекций показан на примере построения проекций точки А (рис. 44).

ТТ2 л .

JTi 1 Л ,;

х12 —> Хн ;

z = const

2

л5 1 Л4;

XU XiS '

у 4= const

Сначала плоскость проекций П2 заменяем на плоскость проекций П4, а далее плоскость проекций Я; заменяем на плоскость 77j. Следовательно последовательно переходим от системы плоскостей проекций П2/П1 к системе Я /Я /, а затем к системе

П /П 5.

На эпюре построение проекции точки А на плоскость проекций П4 были рассмотрены выше (первая замена). При второй замене плоскость проекций П4 остается неизменной, а новую плоскость Я5 выбираем перпендикулярно ей. Следовательно, на эпюре проводим новую ось проекций Х45. Для построения проекции точки А$ проводим

28

Метрические задачи

линию проекционной связи, перпендикулярно оси проекций Х45. Откладываем от новой оси по линии проекционной связи отрезок, равный координате « у 4 », т.е. расстояние до неизменной плоскости проекций П4.

Следует отметить, что при введении новой плоскости проекций новая ось проекций проводится на произвольном расстоянии от геометрического объекта.

Примеры решения задач способом замены плоскостей проекций

Задача 1. Определить расстояние от точки до прямой.

Заданы прямая общего положения EF и точка М (рис. 45).

При решении задачи следует руководствоваться тем, что расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую. Следовательно, для решения задачи необходимы два последовательных преобразования эпюра:

1.Прямая общего положения в результате первой замены должна стать прямой уровня. Для этого новую плоскость проекций надо взять параллельно прямой.

2.Прямая в результате второй замены должна стать проецирующей. Для этого новую плоскость проекций необходимо выбрать перпендикулярно прямой.

Первая замена. Переведем прямую общего положения в прямую уровня. Для этого заменим плоскость проекций П2 на новую плоскость П4, которая будет параллельна прямой и перпендикулярна оставшейся плоскости П На П4 прямая спроецируется в истинную величину (и.в.) и станет фронталъю в новой системе

плоскостей Щ/П4.

Необходимы следующие построения на эпюре (рис. 45):

1)Проводим ось Xu параллельно горизонтальной проекции прямой EF.

2)Через точки £), Fj и Mi проводим перпендикулярно оси Х и линии проекционной связи.

у 4= const

Рис. 45

29

Метрические задачи_____________ _________________________________________________________

Для построения проекций £*, F4, М4 на линиях проекционной связи от новой оси Хи откладываем расстояния, равные координатам « z » точек £, £ и М, т.е. расстояния от точек до неизменяемой плоскости проекций 77/

►Примечания: 1. Проекция E4F4 - истинная величина прямой EF.

2. Угол между E4F4 и осью Xu - угол наклона прямой к плоскости проекций 77/ (вариант решения задачи на определение угла наклона прямой общего положения к 77/).

Вторая замена. Переведем прямую EF в проецирующую прямую. Для этого заменим старую плоскость проекций 77/ на новую плоскость П5, которая будет перпендикулярна прямой и перпендикулярна оставшейся плоскости П4. На П5 прямая спроецируется в точку и станет горизонталъно-проецирующей прямой в новой системе плоскостей П4/П5.

Выполним следующие построения на эпюре (рис. 45):

1)Проводим ось Х45 перпендикулярно E4F4.

2)Через точки Е4, F4 и М4 проводим перпендикулярно новой оси Х45 линии проекционной связи.

3)Для построения проекций £ 5, £5 и М5 на линиях проекционной связи от новой оси Х45 откладываем расстояния, равные координатам « у 4» точек £, £ и М, т.е. расстояния от точек до неизменяемой плоскости проекций П4.

Врезультате этих преобразований прямая спроецируется в точку. Кратчайшее расстояние между двумя точками будет истинной величиной расстояния от точки до прямой.

►Примечание: Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично.

Задача 2, Определить истинную величину плоской фигуры.

Задан треугольник ЬАВС - плоскость общего положения.

При решении задачи следует руководствоваться тем, что фигура спроецируется в истинную величину, когда она параллельна какой-либо плоскости проекций. Следовательно, для решения задачи необходимы два последовательных преобразования эпюра (рис. 48):

1. Плоскость общего положения в результате первой замены должна стать проецирующей плоскостью. Для этого новую плоскость проекций надо взять перпендикулярно плоскости фигуры.

перпендикулярной к той же плоскости

А

проекций (рис. 46).

Рис. 46

30