С.Ю. Семенова Е.А. Согрина - Начертательная Геометрия 2009

Многогранники

Из множества многогранников наибольший практический интерес представляют призмы и пирамиды.

Пр и з м а

Призм ой называется многогранник, две грани которого (основания) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани - параллелограммы или прямоугольники.

Призму называют прямой, если ребра ее перпендикулярны плоскости основания. Призму называют правильной, если ее основание - правильный многоугольник.

Рассмотрим проецирование прямой правильной треугольной призмы и построение точек на ее поверхности (рис. 57).

Ребра призмы АА, ВВ и СС перпендикулярны П то есть горизонтальнопроецирующие прямые.

Грани ААВВ и ВВСС перпендикулярны Пи следовательно, их горизонтальные проекции обладают «собирательным свойством». На основании этого горизонтальная проекция точки lieAiBj', профильная же проекция точки 1 з построена с использованием координаты «y i».

Грань ААСС параллельна П2 (т.е. J. П\ и JL Пз), следовательно, ее горизонтальная и профильная проекции обладают «собирательным свойством». На основании этого горизонтальная проекция точки 11 eAjCj и профильная проекция 1'зе (А3А3 =СзСз).

41

Многогранники

Пи р а м и д а

Пирам идой называется многогранник, одна грань которого (основание) представляет собой многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной (рис. 58).

Ьершина

Пирамиду называют правильной, если основание ее - правильный много­ угольник и высота пирамиды (перпендикуляр, опущенный из вершины на основание) проходит через центр этого многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина ее отсекается плоскостью, пересекающей все ребра, исходящие из этой вер­ шины.

Рассмотрим проецирование правильной треугольной пирамиды и построение точек на ее поверхности (рис. 59).

Ребра пирамиды SA и SC - прямые общего положения, ребро SB параллельно П3, следовательно, профильная прямая.

Грани SAB и SBC -общего положения, грань SAC JL Пз, следовательно, ее про­ фильная проекция обладает «собирательным свойством».

Каждая грань пирамиды - плоскость, следовательно, для нахождения точек, ле­ жащих в гранях, необходимо выполнить вспомогательные построения.

На рисунке 59 показано построение точек 2 и 2' с помощью вспомогательных прямых SE и SE', проведенных через вершину пирамиды.

А для построения точек 1 и V используем вспомогательную горизонтальную плоскость а. Она рассекает боковую поверхность пирамиды по треугольнику, подобному основанию пирамиды (это сечение показано на виде сверху тонкой линией). На горизонтальной проекции этого сечения находим горизонтальные проекции точек 1 и V .

При построении профильных проекций точек V и 2 ’не следует забывать, что 1 ’з и 2 5 обязательно находятся на S3A3 C3 на основании «собирательного свойства» профильно-проецирующей плоскости SAC.

42

Многогранники

Методические указания

З а д а ч а 1

Решение задачи рассмотрим на примере шестиугольной призмы со сквозным треугольным призматическим отверстием (рис. 60).

В пересечении треугольного отверстия с поверхностью призмы получается пространственная ломаная линия.

Для ее построения находим линии пересечения граней треугольного отверстия с гранями призмы.

1)Обозначим на фронтальной проекции призмы (т.е. на главном виде) фронтальные проекции опорных точек треугольного отверстия 1, 2У3, 4 и 5.

Копорным относятся точки, лежащие на ребрах заданного геометрического тела

ина ребрах призматического отверстия или выреза.

2)Строим горизонт альные проекции точек. Грани заданной призы являются

горизонтально - проецирующими плоскостями, а левая и правая - профильными. Поэтому на основании собирательного свойства этих плоскостей находим горизонтальные проекции всех выше указанных точек на горизонтальных проекциях боковых граней (рис. 60 точки 1 и 1 2 р 2 fjn т.д.).

43

Л

Многогранники

3)Строим горизонт альны е проекции линий пересечения плоскостей треугольного отверстия. На виде сверху они будут невидимыми (lj- 1'р 3j—3 ri и 4i-4'j).

4)Профильные проекции точек 1, V, 3, 3', 4 и 4' находим в проекционной связи с их фронтальными проекциями, используя координату «у » каждой точки.

Точки 2у 2\ 5 и 5' находятся на ребрах призмы ВВ и СС, следовательно, профильные проекции этих точек найдем сразу на профильных проекциях этих ребер.

Найденные профильные проекции точек соединяем в той же последовательности, что и на фронтальной плоскости проекций, с учетом видимости. На виде слева (т.е. на профильной проекции призмы) видимыми будут грани АЛВВ, ААММ и ММСС, следовательно, видимыми будут и линии, принадлежащие им (1з~5з;

1з-2з;Гз-5'зи1’з-2'з)-

5) Затем построим профильные проекции линий пересечения плоскостей треугольного отверстия. На виде слева они будут невидимыми (I 3-V 3 ; Зз-З'з и 4з~4гз).

► Примечание: Участки ребер ВВ и СС между точками 2-5 и 2 - 5 ' отсутствуют, так как отверстие сквозное.

призматическим вырезом (рис. 60).

1)Обозначим на фронтальной проекции пирамиды (т.е. на главном виде) фронтальные проекции опорных точек выреза 1, 2,3, 4, 5 и 6 .

2)Строим горизонтальные проекции этих точек.

а) Точки 1 и 6 расположены на левом ребре пирамиды А А \ Значит, горизонтальные проекции точек 1 и 6 будут лежать на горизонтальной проекции этого ребраЛуЛ У

6) Боковые грани пирамиды являются плоскостями общего положения. Поэтому для построения точек 3, 4, 5, лежащих в этих гранях, необходимы дополнительные построения.

Используем вспомогательную горизонтальную плоскость а. Она рассекает боковую поверхность пирамиды по четырехугольнику, подобному основанию пирамиды (это сечение показано на виде сверху тонкой линией). На горизонтальной проекции этого сечения находим горизонтальные проекции точек 3, 4, 5 (лежащих на двух передних гранях пирамиды) и точек 3 4 ', 5((лежащих на двух задних гранях).

в) горизонтальные проекции точек 2/ и 2 fi строим аналогично при помощи плоскости р.

Можно применить другой способ: сначала найти профильные проекции 2з и 2 5, т.к. точки 2 и 2 ' лежат на переднем и заднем ребрах пирамиды, а затем по координате «у » найти их горизонтальные проекции. .

3)Профильные проекции точек 7, 6, 2, 2', 4у 4' строим сразу на соответствующих проекциях ребер в проекционной связи с их фронтальными проекциями. Профильные проекции точек 3, 3\ 5, 5' находим, используя координату «у » каждой точки.

4)Соединяем с учетом видимости горизонтальные проекции точек, а затем их профильные проекции в той же последовательности, что и на фронтальной плоскости проекций.

44

i

i

Многогранники

►Примечание: Профильная плоскость выреза (5-6-5 ^ параллельна переднему и заднему ребрам пирамиды, следовательно, проекции линий пересечения этой плоскости с поверхностью пирамиды будут параллельны соответствующим проекциям

ребер (6j-5i ЦBiB'], 6I- 5 ’JHCiC'j, 6з~53 //В3В'з, 6з-5'3 / / СзС'з).

5) Строим с учетом видимости горизонт альные и профильные проекции линий пересечения плоскостей призматического выреза 5-5' и 3 -3

Задача 3

Разверткой многогранника называется плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности многогранника (т.е. его граней и оснований) с плоскостью чертежа. Поэтому для построения развертки надо найти истинные величины ребер, граней и оснований многогранника.

Рассмотрим построение развертки поверхности заданной усеченной четырехугольной пирамиды (чертеж которой выполнен на рисунке 60). Подробно определение истинных величин ребер, граней и оснований пирамиды для развертки приведено на рисунке 62.

1)Основания пирамиды расположены в горизонтальных плоскостях, поэтому на горизонтальную плоскость проекций Я/ они проецируются в истинную величину.

2)Грани усеченной пирамиды представляют собой равные по величине трапеции. Чтобы облегчить их построение, достроим пирамиду до вершины S, отметим, что ребра SA и SD параллельны П2, следовательно, на ней будет их истинная величина, a SB и SC параллельны П3 и равны SA и SD.

►Примечание: В вариантах с треугольной пирамидой следует обратить внимание на нахождение истинной величины ребер. В истинную величину проецируется только переднее ребро на профильную плоскость проекций, так как это ребро - профильная прямая. Оставшиеся ребра - прямые общего положения, следовательно, не проецируются в истинную величину ни на одну из плоскостей проекций.

3)На развертке (рис. 61) направление ребра SA возьмем произвольно, отложим

на нем истинные величины &4 и S A ', через точки А и А ' проведем тонкой линией дуги радиусами SA' и SA, затем на этих дугах сделаем засечки размером А 'В ’ и АВ для получения вершин верхнего и нижнего оснований.

Соединив полученные точки, построим на развертке трапеции (т.е. боковые грани). К развертке боковой поверхности достроим верхнее и нижнее основания.

4) Строим линии выреза на развертке поверхности пирамиды:

а) расстояние до точек 1 и 6 берем с истинной величины SA ; б) расстояние до точек 2 и 4 - с истинной величины SB ;

в) точки 3 и 5 лежат на линиях, проходящих через точку 4 параллельно сторонам основания АВ и BD. Следовательно, расстояния 4—5 и 4—3 измеряем на горизонтальной плоскости проекций Пр

г) соединяем последовательно все точки выреза (1 -2 -3 -4 -5 -6 ); д) аналогично строим части выреза 1 - 2 - З г- 4 - 5 г-6 .

47

Многогранники

Развертка поверхности любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из прямоугольников, соответствующих боковым граням, и двух многоугольников, соответствующих верхнему и нижнему основаниям.

Для построения развертки также необходимо найти истинные величины ребер, граней и оснований призмы. Истинные величины оснований определяем на их горизонтальной проекции. Истинную величину ребер можно определить как на фронтальной, так и на профильной проекции призмы.

^Примечание: Контуры развертки и линии выреза обводим сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками (или сплошными тонкими).

48

Тела вращения

Работа 4

Тема «Поверхности вращения. Тела вращения»

Данные для своего варианта взять в приложении 4 (стр. 99). Пример выполнения приведен на рисунке 80.

Задача 1. Построить три проекции цилиндра. Задача 2. Построить три проекции конуса.

► Примечание: В данных телах все вырезы сквозные.

Теоретическая основа

П о в е р х н о с т и в р а щ е н и я

Поверхность, образованная при вращении образующей линии вокруг неподвижной оси, называется поверхностью вращения.

К поверхностям вращения с прямолинейной образующей относятся цилиндрическая и коническая поверхности. Цилиндрическая поверхность образована вращением прямой, параллельной оси вращения. Коническая поверхность образована вращением прямой, пересекающей ось вращения в точке, называемой вершиной конуса.

Пр ямой круговой цилиндр

Цилиндр - это геометрическое тело, верхнее и нижнее основание которого - круг, а боковая поверхность является цилиндрической поверхностью (рис. 63).

В приведенном на рисунке 63 примере ось вращения и образующие перпендикулярны Я;, следовательно, боковая поверхность цилиндра является горизонтально-проецирующей, она проецируется на Я; в окруж ность, которая обладает «собирательным свойством».

ОснованиЕ

Боковая цилиндричвскоя

повЕрхност ь

Образующая

Ось вращЕния

Тела вращения

Построение точек на поверхности цилиндра рассмотрено на рисунке 64.

Точка 1 лежит на боковой поверхности цилиндра, точка 2 - на верхнем основании.

Рис. 64

Рассмотрим, какая фигура может быть получена в результате пересечения цилиндрической поверхности плоскостью:

а) окружность, если секущая плоскость (а) перпендикулярна оси вращения цилиндра (рис. 65);

50

1