С.Ю. Семенова Е.А. Согрина - Начертательная Геометрия 2009

Основы начертательной геометрии

Теоретические основы построения чертежа

В основу изображения любого предмета на чертеже положен метод проекций.

Точки пересечения лучей, проводимых через характерные точки предмета, с плоскостью называются проекциями точек, а плоскость, на которую проецируются точки,

плоскостью проещий.

На рисунке 8 через точку А проводится проецирующий луч, в точке пересечения его с плоскостью проекций 77/ получается проекция точки - А 1 .

В техническом черчении применяют метод ортогонального проецирования.

Плоскости проекций перпендикулярны между собой, проецирующие лучи перпендикулярны плоскостям проекций (на рисунке 9 А-Аь А-А2; А-Аз).

Для получения плоского чертежа (эпюра) плоскости проекций совмещаются в одну плоскость путем поворота вокруг линий их пересечения - осей проекций ox, оу, oz На рисунке 10 показан эпюр трех плоскостей проекций.

0

На эпюре (рис. 11) проекции точки всегда находятся в проекционной связи. Линии проекционной связи перпендикулярны соответствующим осям проекций:

А 2А j JL ox; А 1А 3 1 оу; А 2А3 1 oz.

Ах,А у,А г - проекции точки А на оси проекций, или точки связи.

Эпюр точки А в системе трех плоскостей проекций приведен на рисунке 11, в системе двух плоскостей проекций - на рисунке 12.

11

Основы начертательной геометрии

Положение точки на чертеже задают с помощью координат х, у, z (рис. 9, 11, 12).

Z

А2

Рис. 12

К оординат а т очки - это расстояние от точки до соответствующей плоскости проекций:

л: - расстояние от точки до профильной плоскости проекций (Пз). у - расстояние от точки до фронтальной плоскости проекций (Дг).

z - расстояние от точки до горизонтальной плоскости проекций (Щ).

На рисунке 13 точка А, например, имеет координаты: А (37;20;25).

Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций. По двум проекциям геометрического объекта (например, точки) всегда можно построить третью (рис. 13).

12

Основы начертательной геометрии

Проецирование прямой линии

Положение прямой линии в пространстве определяется положением двух ее точек. Значит, достаточно построить проекции этих двух точек (точки А и В) и, соединив их одноименные проекции, полупить проекцию прямой а (рис. 14).

Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различные положения:

•не параллельное ни одной из плоскостей проекций;

•параллельное одной из плоскостей проекций (или прямая может принадлежать этой плоскости);

•параллельное двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярное третьей. Изображенная на рисунке 14 прямая наклонена ко всем плоскостям проекций и

называется прямой общего п о ло ж ен и я . Любая из проекций такой прямой меньше её истинной величины.

Прямая, параллельная или перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется прямой част ного полож ения.

I. Прямые у р ов н я -это прямые, параллельны е одной плоскости проекций и наклоненные к двум другим:

13

Основы начертательной геометрии

1)Горизонталь - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, h ЦП! (наклонена к двум другим П2 и Пз) (рис. 16)

Признак:

h2 Ц ох

Свойства:

AjBi = и.в. z = const

(р = и.в.

Свойства:

А2В2 = и.в.

у = const

(р = и.в.

3) Профильная прямая - прямая, параллельная профильной плоскости проекций, р // Пз (наклонена к П] и П2) (рис. 18)

Z

Признак:

р 2 А ох pi А ох

Свойства:

А3В3 = и.в.

х = const

Рис. 18 Все эти прямые проецируются в истинную величину на ту плоскость проекций,

которой они параллельны (рис. 16, 17, 18).

14

Основы начертательной геометрии

И. П р о е ц и р у ю щ и е п р я м ы е - это прямые перпендикулярны е одной плоскости проекций (и следовательно, параллельные двум другим):

1)Горизонтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная горизон­ тальной плоскости проекций, АВ ± П\ (рис. 19);

У

Рис. 19 2) Фронтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная фронтальной

плоскости проекций, CD 1 П2 (рис. 20);

Z

Рис. 20

3)Профильно-проецирующая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций, (EF) JL Пз (рис. 21).

15

Основы начертательной геометрии

Все эти прямые проецируются в точку на ту плоскость проекций, которой они перпендикулярны (рис. 19, 20, 21).

Взаимное расположение прямых

Прямые могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. На эпюре взаимное расположение прямых определяют по положению проекций:

•если одноименные проекции прямых параллельны, то прямые - параллельны (рис. 22, а);

•если одноименные проекции прямых пересекаются и проекции точки пересечения проекций прямых лежат на одной линии проекционной связи, то прямые -

пересекаются (рис. 22, б);

•если точки пересечения проекций прямых не лежат на одной линии проекционной связи или проекции не имеют общей точки, то прямые - скрещиваются (рис. 22, в).

Рис. 22

Проецирование плоскости

Из школьного курса геометрии известны различные способы задания плоскости: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 23); б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; в) двумя параллельными прямыми; г) двумя пересекающимися прямыми; д) любой плоской фигурой.

В начертательной геометрии плоскость можно задать проекцией (а; на рис. 25).

Рис. 23

16

Основы начертательной геометрии

Все способы задания плоскости равнозначны. При решении задач всегда можно перейти от одного способа задания плоскости к другому.

В техническом черчении обычно применяют задание плоскости какой-либо плоской фигурой, например, треугольником (рис. 24).

Относительно плоскостей проекций плоскость может занимать различное положение.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего п о ло ж ен и я . Эпюр такой плоскости приведен на рисунке 24.

Z Z

Рис. 24

Теорема 1: «Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости».

Теорема 2: «Прямая принадлежит плоскости, если она: а) проходит через две точки этой плоскости

или б) проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-либо прямой этой плоскости».

Применение этих теорем рассмотрено на рисунке 24.

По данной фронтальной проекции точки D (D2), принадлежащей плоскости а(ААВС), построены горизонтальная и профильная проекции (Dj и D3). Для этого через точку D проведена вспомогательная прямая В-1 (теорема 1), принадлежащая плоскости а(ААВС) (теорема 2 а).

Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются плоскостями част ного п о ло ж ен и я .

17

Основы начертательной геометрии

I. Пр оецирующие плоскости - это плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций и расположенные под углом к другим плоскостям проекций.

Так как плоскость а 1 Пь то она проецируется на /7/ в прямую линию. Эта прямая обладает «собирательным свойством», т.е. горизонтальная проекция плоскости (а/) собирает горизонтальные проекции всех геометрических фигур, лежащих в плоскости а.

2) Фронталъно-проецирующая плоскость Р -LII2 (рис. 26).

Рис. 26 Фронтальная проекция этой плоскости (Р2) обладает «собирательным

свойством».

3) Профильно-проецирующая плоскость у J.II3 (рис. 27).

Профильная проекция этой плоскости (уз) обладает «собирательным свойством».

18

Основы начертательной геометрии

И. Плоскости уровня - это плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций (и следовательно, перпендикулярные двум другим).

1) Горизонтальная плоскость а Ц П 1 (следовательно, a J.II2 и а 1 Пз) (рис. 28).

Фронтальная (а$ и профильная (аз) проекции плоскости обладают «собирательным свойством».

2) Фронтальная плоскостьр //#2 (следовательно, р 1П]И р J .Пз) (рис. 29).

Рис. 29 р1 ирз - проекции плоскости, обладающие «собирательным свойством».

3) Профильная плоскость у //Пз (следовательно, у ЛП]му JLП2) (рис. 30).

У1 ИУ2 - проекции плоскости, обладающие «собирательным свойством».

19

Основы начертательной геометрии

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости в пространстве могут быть параллельны и могут пересекаться:

1. Плоскости параллельны - р Ца; Теорема: «Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум

пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны».

Пересекающиеся прямые а и Ь плоскости р соответственно параллельны пересекающимся прямым АВ и АС плоскости а (рис. 31), так как параллельны их одноименные проекции

20