Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1
Основные уравнения электромагнитного поля в интегральной форме
|
|
|
|
|
|
||
Dds |
q |
|
|
||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bds 0 |
|
|
|||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||||
Edl |
|
|
dt |
||||
|
|
|
dD |
|
|||
J |
dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
D E
Hdl i |
B H |
iСМ iПР iПЕР 0
J E |
J |
|
|
|
|
|
dD |
пер |
v |
v |
JСМ |
dt |
|||
|
|
|
|
|
|
||
2
Интегральные параметры
электрических цепей
• Сопротивление резистора (R) характеризует связь между напряжением и током в устройстве, позволяет определить тепловые потери в нем, но не дает информации, как распределен ток внутри проводника.
• Электрическая емкость конденсатора (С) характеризует связь между зарядом и разностью потенциалов между двумя заряженными телами в диэлектрике, позволяет определить запасенную в нем энергию электрического поля, но не дает информацию о величинах напряженности в произвольных точках диэлектрика.
• Индуктивность катушки (L) является коэффициентом пропорциональности между током в катушке и созданным им 3
магнитным потоком, позволяет определить запасенную в ней
Теорема Гаусса и постулат Максвелла в дифференциальной форме
Применим теорему Гаусса и постулат Максвелла для весьма малой поверхности S0 , ограничивающей объем V с зарядом q:
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Eds |
|
Dds q |
|
|||||
|
|
|
S0 |
|
|
S0 |
|
|
|
|
|
Eds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dds |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
lim |
q |
lim |
S0 |
lim |
q |
||
S0 |
|
|
V |
||||||
V 0 |
V |
|
V 0 |
V |
V 0 |
V 0 |
V |
||
Предел отношения потока некоторого вектора сквозь поверхность S0 к объему V,
ограниченному этой поверхностью при V, стремящемся к нулю, называется расхождением или дивергенцией данного вектора в точке, в которую стягивается
объем V. Предел отношения заряда, находящегося в данном объеме, к величине V, |
|
когда этот объем стремится к нулю, равен объемной плотности заряда |
|
в той же точке. |
4 |
|
|
|
|
||
div E |
d E |
|
- теорема Гаусса |
div D - постулат Максвелла |
|
dV |
|||||
|
|
|
|
||
Указанные соотношения в дифференциальной форме связывают характеристики электрического поля в любой точке. Они записаны в инвариантной форме и могут быть использованы в любой системе координат.
Рассмотрим запись дивергенции вектора в декартовой системе координат.
Для этого воспользуемся векторным дифференциальным оператором «набла» , который записывается в виде суммы трех ортогональных составляющих:
|
|
|
|
|
|
|
|
d E |
|
|
|
E x |
|
E y |
|
Ez |
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
k |
|
div E |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
dV |
x |
y |
z |
|
||||||||||||
Запишем по аналогии принцип непрерывности магнитного потока в
дифференциальной форме:
div B 0
5
Закон полного тока в дифференциальной форме
Применим эти законы для малого контура l0, ограничивающего некоторую поверхность S, сквозь которую проходит ток i . Стягивая контур l0, в точку, т.е. устремляя S к нулю, рассмотрим
пределы отношений обеих частей уравнений к величине S, при ее стремлении к нулю:
|
Hdl |
|
i |
|
|
lim |
l0 |
lim |
|
||
S 0 |
S |
S 0 |
S |
i |
|
|
|
|
|
Hdl |
|
lim |
i n cos |
|
|||
S 0 |
S |
|
|
|
|
lim |
Hdl |
rot n |
|
|
|
l0 |
H |
- предел отношения в левой части уравнения называется проекцией |
|||
S 0 |
S |
|
|
ротора вектора на нормаль |
|
|
|
|
|
||
Если элемент поверхности расположить так, чтобы положительная нормаль к нему совпадала с направлением вектора плотности тока , то предел отношения i / s получит наибольшее значение, равное плотности тока . При таком расположении элемента поверхности в правой части будет вектор плотности тока, а в левой вектор
rotH . Поэтому можем записать закон полного тока в векторной форме:
rot H |
rot H J |
6 |
Ротор вектора также является вектором, поэтому записанное уравнение содержит три уравнения для проекций вектора и является инвариантным по отношению к системе координат. Записать это уравнение в декартовой системе координат можно с помощью оператора «набла», применяя операцию векторного умножения:
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
rot H |
J |
H |
|
|
x |
||||
|
|
|
|
Hx |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
H |
z |
|
H y |
) |
i |
( |
Hx |
|
Hz |
) |
j |
|
( |
H y |
|
H |
x |
) k |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
y |
|
z |
x |
y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
H y |
Hz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
H |
z |
|
H y |
|
H |
|
|
H |
|
|
|
H y |
|
H |
|
Jx rotx H |
|
|
|
|
J y rot y H |
|
x |
|
|
z |
Jz rotz H |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
z |
|
x |
|
x |
y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
По аналогии запишем выражение для закона электромагнитной индукции
|
|
d |
|
|
|
|
Edl dt |
|
|
||
|
Edl |
Ф |
|
|
|
lim |
l0 |
lim |
|
|
|
S 0 |
S |
S 0 |
t S |
|
|
|
|
|
|
|
|
rot E |
B |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
Направление вектора t есть направление , к которому стремится направление приращения |
B вектора |
||||
магнитной индукции , происходящего за промежуток времени t , когда |
t 0 |
|
|||
8
Полная система уравнений электромагнитного поля в дифференциальной форме
rot H J |
|
|
|
div D |
|
|
B |
|
|
|
div B 0 |
rot E |
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
B H |
|
|
|
|
D E |
|
|
|
|
|
dD |
|
J |
E |
V |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
9
Граничные условия
Граничные условия в электростатическом поле.
1. На поверхности раздела диэлектриков
1 |
b |
c |
2 |
E2 |
( D2) |
1 |
2 |
|
|
|
Sт1 |
|
D |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
d |
|
|
|
1 |
Sт2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
E1 (D1) |
|
|
|
|
|
|
Sбок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D1
10
Edl 0
abcd
Edl |
Edl Edl |
Edl Edl Edl |
Edl E1 sin 1ab E2 sin 2cd 0 |
||||||
abcda |
ab |
bc |
|
|
cd |
da |
ab |
cd |
|
E |
sin |
E |
2 |
sin |
2 |
|
|
E1 E2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
На поверхности раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями равны касательные (по отношению к границе) составляющие векторов напряженности электрического поля
|
|
|
|
|
|
SТ SТ |
q |
|
D ds q D ds |
D ds |
D ds D1 cos 1 SТ D2 cos 2 |
||||||
|
S1Т |
S БОК |
S2Т |
|
|
|
|
s |
D1 cos 1 |
D2 cos 2 |
|
D2n |
D1n |
1 |
tg 1 |
|
|
D1 cos 1 |
D2 cos 2 |
|
D |
D |
2n |
2 |
tg 2 |
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
На поверхности раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями равны нормальные (по отношению к границе) составляющие векторов электрического смещения
11