Теоретические основы теплотехники 2

Величина u может быть действительной и мнимой; в обоих случаях ее действительная часть должна быть достаточно велика, чтобы обеспечить сходимость интеграла.

Выражение L u называется изображением оригинала, т.е. функции f x . Таким образом, изображения различных функций f x могут быть по-

лучены непосредственным интегрированием. Например, если f x = x , то изображение этой функции будет

условия, которым должна удовлетворять функция f x .

Интеграл Лапласа (71) и соотношения (72) и (73) можно использовать для интегрирования дифференциальных уравнений.

Метод конечных разностей. Метод конечных разностей часто исполь-

зуют для решения задач нестационарной теплопроводности, особенно при нагревании или охлаждении тел простой геометрической формы. В основе этого метода лежит допущение о возможности замены, например в уравне-

31

нии теплопроводности, бесконечно малых изменений температуры во време-

ни и пространстве малыми, но конечными ее изменениями. Тем самым про-

текающий непрерывно процесс изменения температуры в теле при его нагре-

вании или охлаждении заменяется совокупностью скачкообразных процес-

сов.

В случае одномерного нестационарного температурного поля уравне-

Решение уравнения (74) может быть выполнено аналитический и гра-

фически.

Численный метод. В основу численного метода определения распре-

деления температуры положено уравнение теплопроводности в конечных разностях, с помощью которого вычисляют температуру в фиксированных точках тела. Для применения численного метода рассматриваемое тело раз-

бивают на ряд элементарных объемов, и центральным точкам каждого объе-

ма присваивается номер. Предполагается, что тепловые свойства каждого такого объема сосредоточены в его центральной узловой точке и, что переда-

ча теплоты между узловыми точками осуществляется через условные тепло-

проводящие стержни. В нестационарном состоянии в каждом элементарном объеме подвод и отвод теплоты сопровождается изменением внутренней энергии, причем величина этого изменения зависит от изменения температу-

ры в элементарном объеме в течение рассматриваемого промежутка времени,

его теплоемкости, плотности и массы.

Рассмотрим применение численного метода к расчету распределения температуры в плоской стенке. Разбивая стенку на элементарные объемы

V=δ·δ·1=δ2 (рис. 4а,б), где δ – сторона элементарного объема.

32

Рис. 4. Разбиение и числовая сетка определения нестационарного темпера-

турного поля а – одномерное температурное поле; б – двухмерное темпера-

турное поле

Изменение внутренней энергии в данной узловой точке за время Δτ со-

гласно первому началу термодинамики определяется следующим образом

где t – температура в рассматриваемой узловой точке в момент времени τ;

t – температура в той же точке в момент времени ; V – объем элемен-

тарного участка.

33

Уравнение теплового баланса в конечных разностях для узловой точки

1 (см. рис. 4а) можно записать в виде

В случае двухмерного температурного поля тело разбивается на эле-

точек показана на рис. 4б.

В соответствии с рис. 4б искомое уравнение температуры для точки 5

запишется в виде

Уравнения (80 и 81) являются основой численного метода расчета не-

стационарной теплопроводности одномерного и двухмерного тела.

В качестве примера приведем расчет нестационарной теплопроводно-

сти одномерного тела методом разделения переменных.

34

Охлаждение (нагрев) плоской неограниченной пластины

Рассмотрим неограниченную пластину толщиной 2δ, имеющую в начальный момент времени (τ=0) постоянную по сечению температуру t0 и

помещенную в среду с постоянной температурой tж< t0

Коэффициент теплообмена α с обеих сторон стенки одинаков и не изменяется в процессе охлаждения. Известны плотность

ρ, теплоемкость cp и коэффициент тепло-

проводности материала стенки λ. В связи с тем что линейные размеры поверхности стенки велики по сравнению с ее толщиной,

пературное поле в любой момент времени будет также симметричным.

В этом случае удобно выбрать за начало координат точку, лежащую посредине между ограничивающими плоскостями пластины, и направить ось

х перпендикулярно к поверхности стенки (рис.5).

Дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого

где t0 tж - избыточная температура.

Решая (82) методом разделения переменных частное решение первого

35

Вид функции P x находится из решения уравнения (62), которое для одномерного температурного поля записывается так:

Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет частное реше-

ние в виде функций sin mx и cos mx .

Отсюда частное решение уравнения (83)

ные величины частных решений уравнения теплопроводности.

Из условия симметрии задачи следует, что при x=0 величина A =0.

А также, принимая во внимание, что на протяжении всего процесса охлажде-

величина) частное решение уравнения (85) примет вид

а общим решение будет

Значения B и m находятся из граничных условий (82)

36

Окончательно уравнение распределения температуры в рассматривае-

мой плоской стенке примет вид

Расчеты показывают, что в большинстве случаев существенное влия-

ние на значение вычисляемой температуры оказывает несколько первых чле-

нов ряда, а для малых значений критерия Bi <<1 точное решение получается даже при одном члене суммы ряда (91).

При x = 0 (середина стенки) имеем

при x = ± δ (поверхность стенки)

37

Из анализ уравнения (92 и 93) следует, что температура в центре и на

ев Bi и Fo. Поэтому для удобства расчетов обычно составляются графики

Рис. 6. Распределение температуры в плоской стенке а – при Bi → ∞; б – при Bi < 0; в – при 0,1 < Bi < 100

При Bi → ∞ (практически при Bi > 100) температура стенки равна температуре жидкости (рис. 6а), процесс охлаждения определяется свойства-

ми материала стенки (внутренняя задача).

При Bi → 0 (практически при Bi < 0) температура по толщине стенки распределяется равномерно (рис. 6б), процесс охлаждения определяется условиями охлаждения стенки (внешняя задача).

При 0,1 < Bi < 100 интенсивность охлаждения стенки зависит как от

Количество теплоты на нагревание или отвод теплоты при охлаждении за время τ с обеих сторон определяется уравнением

38

Для единичной площади поверхности стенки

где 2c p 0 Q0 , Dж/м3 – общее количество теплоты за время полного

нагревания или охлаждения стенки.

4. Основные положения конвективного теплообмена

Под конвективным теплообменом понимают форму передачи теплоты при движении жидкости или газа под влиянием двух процессов – конвекции и теплопроводности.

Конвекцией называется перенос макрочастиц жидкости в пространстве.

Если эти частицы жидкости перемешаются из области с одной температурой в область с другой температурой, их перемещение сопровождается перено-

сом теплоты. Перенос теплоты конвекцией сопровождается теплопроводно-

стью при непосредственном соприкосновении различно нагретых частиц жидкости.

Количество теплоты, отдаваемое жидкостью твердой стенке или вос-

принимаемое жидкостью от стенки в единицу времени, определяется уравне-

нием Ньютона –Рихмана

а плотность теплового потока следующим образом:

где α – коэффициент, характеризующий условия теплообмена между жидко-

стью и поверхностью твердого тела, называемый коэффициентом теплоот-

дачи, Вт/(м2·°C); t tс tж – температурный напор, K.

39

В соответствии с формулой (97) по своему физическому смыслу коэф-

фициент теплоотдачи есть плотность теплового потока (q) на поверхности тела, отнесенная к разности температур поверхности тела и окружающей среды. Коэффициент теплоотдачи численно равен плотности теплового пото-

ка при температурном напоре, равном единице.

Коэффициент теплоотдачи зависит от многих факторов. В наиболее общем случае является функцией формы и размера тела, режима движения жидкости, физических свойств жидкости, положения в пространстве и состо-

яния поверхности теплообмена и других величин. Процесс теплоотдачи в за-

висимости от природы движения жидкости протекает различно.

Различают вынужденную и естественную конвекцию. В первом случае жидкость или газ движется за счет внешних для данного процесса сил (насос,

вентилятор, ветер), во втором случае – за счет разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости. Возникновение и интенсивность свободного или естественного движения всецело определяется тепловыми условиями процесса и, зависят от рода жидкости, разности температур и объема про-

странства, в котором протекает процесс.

Свободное движение может появиться в жидкости (газе) с переменной плотностью, очевидно, только в том случае, когда жидкость находится в поле земного притяжения.

Вынужденное движение в общем случае может, сопровождается сво-

бодным движением. При больших скоростях вынужденного движения, влия-

ние свободной конвекции становится пренебрежимо малым.

Основное уравнение теплоотдачи (96) имеет простой вид. Трудности возникают при определении коэффициента теплоотдачи. Практически изуче-

ние процесса теплоотдачи сводится к определению зависимости ( ) от раз-

личных факторов.

В дальнейшем будут рассмотрены только стационарные процессы те-

чения и теплоотдачи. Условием стационарности является неизменность во времени скорости и температуры в любой точке жидкости.

40