Подставляя постоянные интегрирования в общее решение получим закон распределения температуры в рассматривае-
мом сечении стенки
t tc1 tc1 tc2 x
распределение температуры в стенке при граничных условиях первого рода является линейной функцией.
Расчетное выражение удельного теплового потока получается из уравнения Фурье
q t c1 tc1 tc2x
С учетом того, что тепловой поток Q qF имеем
Q qF tc1 tc2 F
Отношение называется тепловой проводимостью стенки. Обратная величина представляет собой термическое
сопротивление стенки. С учетом выше сказанного имеем
t |
с1 |
t |
с2 |
; |
Q qF |
tс1 tс2 |
|||
q |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
F |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через
плоскую трехслойную стенку при условиях: толщина слоев стенки 1 , 2 , 3 ; коэффициенты теплопроводности материалов соответственно 1 , 2 , 3 ; контакт между
стенками идеальный и температура на границе смежных слоев одинакова.
Перенос тепла происходит в стационарных условиях – плотность теплового потока по всем слоям стенки имеет одно и то же значение (q=idem).
q 1 tc1 |
tc2 |
2 tc2 |
tc3 |
3 tc3 tc4 . |
1 |
|
2 |
|
3 |
Выделим из этого ряда равенств разности температур
tс1 tc2 q |
|
1 |
qR1 ; |
tc2 tc3 q |
2 |
qR2 |
; |
|
|
2 |
|||||||
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
t3 tс4 q 3 qR3 .
3
Складывая левые и правые части уравнений разности температур, получаем слева изменение температуры в стенке, справа – произведение плотности теплового потока q
и общего термического сопротивления
tс1 tс4 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
q R1 R2 |
R3 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
q |
1 |
2 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Плотности теплового потока при переносе тепла теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку
q |
|
|
tс1 tс4 |
|
|
|
|
tс1 tс4 |
, |
Q qF |
|||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
R |
R |
R |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В общем случае для стенки, состоящей из n – слоев имеем
Q qF |
t |
с1 tс n 1 |
F |
|
tс1 |
tс n 1 |
F , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
i |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ri |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||||
q |
tс1 tс n 1 |
|
|
t |
с1 |
tс n 1 |
|
|
tс1 |
tс n 1 |
, |
|||||||||||
n |
|
i |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ri |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Температура на стыке двух слоев
ti 1 t1 q i i i 1 i
Рассмотрим теплопроводность цилиндрической однослойной стенки с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля. Внутренние источники теплоты отсутствуют.
Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки
t |
|
|
2 |
t |
|
1 t |
|
1 |
|
|
2 |
t |
|
|
2 |
t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||
|
a |
r |
r |
r |
r |
|
|
z |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t 0
В рассматриваемом случае
Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью цилиндра
2t |
|
|
2t |
0 |
2 |
|
z2 |
||
|
|
|
Предположим, что в рассматриваемом случае температура изменяется только в радиальном направлении
|
d 2t |
|
1 dt |
|
0 |
|
d 2 r |
r dr |
|||
|
|
|
|||
Граничные условия: |
r r1 |
|
t tс1 |
||
|
r r2 |
|
t tс2 |
||
введем новую переменную |
u dt |
тогда |
|||
|
|
|
dr |
|
|
dudr ur 0
интегрируя
ln u ln r ln C1
потенцируя и переходя к первоначальным переменным,
получаем |
dt C1 |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
r |
t C1 ln r C2 |
После интегрирования имеем |
|||
Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий
tc1 C1 ln r1 C2
tc2 C2 ln r2 C2