Подставляя полученные значения С1 и С2 в общее уравнение
С1 tc1 r1tc2
ln r2
получим
t tc1
|
|
С2 tc1 tc1 tc2 |
lnr1 |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
ln |
r |
|
|
|||
tc1 |
|
tc2 |
r1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
ln r2 |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
r1
температурного поля представляет собой уравнение логарифмической кривой.
Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
||
Q |
|
|
F ; |
|
Q |
|
2 rL |
||||||
|
|
r |
|||||||||||
|
r |
||||||||||||
Подставляя в уравнение Фурье значение градиента |
|||||||||||||
температуры |
dt |
|
С1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dr |
|
|
r |
|
|
|
|||
получим |
2 l tc1 tc2 |
|
|
|
|
|
2 l tc1 tc2 |
||||||
Q |
|
|
|
|
или Q |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
||
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ln r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln d1 |
||
Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины, либо к единице внутренней или внешней поверхности.
внутренней поверхности |
|
Q |
q1 |
|
tc1 |
tc2 |
|||||||||
|
|
d1l |
|
|
|
d1 |
1 |
|
ln |
d2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
d1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
наружной поверхности |
|
Q |
q |
tc1 tc2 |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
d2l |
1 |
|
d2 |
|
1 |
|
ln |
d2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
d1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тепловой поток отнесенный к единице длины, имеет размерность Вm/м и называется линейной плотностью
теплового потока. Q |
ql |
tc1 |
tc2 |
||||
l |
1 |
ln |
d2 |
||||
|
|||||||
|
|
|
2 |
d1 |
|||
|
|
|
|
|
|||
Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выражение для определения линейной плотности теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки
|
|
|
|
|
ql |
|
tc1 tc n 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
i n |
1 |
|
|
di 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
ln |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 i |
di |
|
|
||||||||
i n |
1 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
ln |
i 1 |
называется полным термическим сопротивлением |
|||||||||||||
2 i |
di |
||||||||||||||||
теплопроводности многослойной цилиндрической стенки. |
|||||||||||||||||
Температура на границе любых двух слоев: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
di 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ql |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
tc(i 1) |
tc1 |
|
|
ln |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 2 i |
|
|
|
||||||
Обобщенное уравнение стационарной теплопроводности
При передаче тепла через произвольные криволинейные стенки тепловой поток определяется по такому же уравнению, как и для плоской стенки, только в выражение вводится расчетная поверхность теплопроводности
Q Fm t1 t2 .
Расчетная поверхность теплопроводности принимается в зависимости от вида стенки, через которую происходит передача тепла:
• |
Для плоской стенки Fm F1 |
F2 F3 ; |
|
|
||
• |
Для цилиндрической стенки |
Fm FmL F2 F1 |
ln F2 |
F1 ; |
||
• |
Для сферической стенки Fm FmG |
F1 F2 |
. |
|
|
|
Теплопроводность через многослойные криволинейные стенки определяется по уравнению аналогичному уравнению
теплопроводности плоской многослойной стенки
Q tс1 tс n 1 n ii 1 F
i mi
где i , i , Fmi – толщина, коэффициент теплопроводности и
расчетная поверхность рассматриваемого слоя.