- •ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
- •Вчистом виде теплопроводность наблюдается в твердых телах, а также в неподвижных газах и
- •Конвекция – процесс переноса теплоты при перемещении объемов жидкости или газа в пространстве
- •Тепловым излучением называется процесс переноса теплоты в пространстве электромагнитными волнами.
- •Математическим выражением температурного поля записанное в неявной форме
- •В соответствии с классификацией температурного поля принципиально различают стационарный и нестационарный процессы передачи
- •Рассмотрим две близко расположенные по отношению друг другу изотермические поверхности с температурами t
- •В случае трехмерного температурного поля суммарный температурный градиент определяется по правилу сложения векторов
- •Количество теплоты, проходящее в единицу времени через
- •Величина теплового потока Q и плотность теплового потока q являются векторами, за положительное
- •Полное количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность за время
- •Коэффициент теплопроводности.
- •Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и
- •Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •где – время, сек; a c – коэффициент температуро-
- •Условия однозначности или краевые условия: геометрические условия (форма, размеры тела);
- •2.Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности потока на поверхности тела, как функция
- •Количество теплоты, воспринятое поверхностью тела, распространяется в нем по закону Фурье
- •Теплопроводность при стационарном режиме
- •Определим тепловой поток теплопроводностью через изотропную плоскую стенку, предполагая, что температура меняется только
- •Подставляя постоянные интегрирования в общее решение получим закон распределения температуры в рассматривае-
- •С учетом того, что тепловой поток Q qF имеем
- •Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через
- •Перенос тепла происходит в стационарных условиях – плотность теплового потока по всем слоям
- •Складывая левые и правые части уравнений разности температур, получаем слева изменение температуры в
- •В общем случае для стенки, состоящей из n – слоев имеем
- •Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки
- •Предположим, что в рассматриваемом случае температура изменяется только в радиальном направлении
- •интегрируя
- •Подставляя полученные значения С1 и С2 в общее уравнение
- •Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье
- •Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины, либо к единице внутренней
- •Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки,
- •Обобщенное уравнение стационарной теплопроводности
- •Теплопроводность через многослойные криволинейные стенки определяется по уравнению аналогичному уравнению
Полное количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность за время
Q t dFd
0 F n
Выражение плотности тепловых потоков в направлении осей |
||||||||
qx |
t |
; qy |
t |
; |
qz |
t |
|
|
y |
z |
|||||||
x |
||||||||
|
|
|
|
Вектор теплового потока для трехмерной задачи
q iqx jqy kqz
Коэффициент теплопроводности.
Под коэффициентом теплопроводности понимают тепловой поток, передаваемый через единичную поверхность при единичном значении температурного градиента
Q F gradt
Для каждого тела коэффициент теплопроводности имеет свое численное значение и, зависит от природы, пористости, влажности, давления, температуры и других параметров.
Для многих материалов с достаточной для практики степенью точности, зависимость коэффициента теплопроводности от температуры можно принять линейной
0 1 b ,
Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и изменяется в пределах
0,005 – 0,5 Вт/(м·°C).
Коэффициент теплопроводности жидкостей лежит в пределах 0,07 – 0,7 Вт/(м·°C) и, как правило (за исключением воды и глицерина), уменьшается с увеличением температуры.
Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых 16 418 Вт/(м·°C). У большей части металлов с
возрастанием температуры он уменьшается.
Вещества с коэффициентом теплопроводности меньше называются теплоизоляционными
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности при следующих допущениях: тело однородно и изотропно; физические параметры тела постоянны во времени и пространстве; температурные деформации рассматриваемого элементарного объема малы по сравнению с самим объемом; внутренние источники теплоты распределены в рассматриваемом объеме равномерно; макрочастицы тела неподвижны относительно друг друга; имеет следующий вид:
t |
2 |
qv |
|
2t |
2t |
2t |
|
|
qv |
|||||
|
a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||
|
c |
a |
x |
y |
z |
|
c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где – время, сек; a c – коэффициент температуро-
проводности, характеризующий скорость изменения температуры в любой точке тела, ; c – теплоемкость тела;
– плотность тела; qv – объемная плотность тепловыде- ления, вm/м3; – оператор Лапласа.
В цилиндрических координатах
t |
|
2t |
1 t |
|
1 2t |
2t |
|
|
qv |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
a |
r |
r |
r |
r |
|
|
z |
|
c |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где r – радиус вектор; – угол наклона радиуса–вектора
Условия однозначности или краевые условия: геометрические условия (форма, размеры тела);
физические условия (физические свойства тела и его физические параметры);
начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);
граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.
1. Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела, как функция координат и
времени:
tc f x, y,z, ,
где tc -температура поверхности тела.
В частном случае, если температура поверхности тела постоянна tc const
2.Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности потока на поверхности тела, как функция
координат и времени
qc f x, y,z,
В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем qc q0 const .
3.Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (закон Ньютона- Рихмана ).
q tc tж |
если , tс tж |
где – коэффициент теплообмена, представляющий собой
плотность теплового потока подведенного (отведенного) к единице поверхности тела при разности температур между поверхностью тела и окружающей среды 10С, вm/м2град.
Количество теплоты, воспринятое поверхностью тела, распространяется в нем по закону Фурье
|
t |
|
tc tж |
|
|
|
||
|
n c |
Отсюда аналитическое выражение граничных условий третьего
рода |
|
t |
|
|
tс tж |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||
|
|
n c |
|
|
4. Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена системы тел имеющих различные коэффи- циенты теплопроводности. Между телами предполагается
идеальный контакт. |
|
t1 |
|
|
|
t2 |
|
|
1 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
n |
n |
|||||||
|
|
с |
|
|
с |
Теплопроводность при стационарном режиме
При установившемся (стационарном) тепловом режиме t 0,
поэтому
a 2t qv 0 c
|
2t |
Развернутая форма оператора |
зависит от выбранной |
системы координат. При отсутствии внутренних источников теплоты , уравнение теплопроводности при стационарном
температурном поле запишется в виде
2t 0
Определим тепловой поток теплопроводностью через изотропную плоскую стенку, предполагая, что температура меняется только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки т.е
t |
|
t |
0; |
2t |
|
d 2t |
0 |
|
|
x2 |
dx2 |
||||
y |
z |
d 2t 0 dx2
Первое и второе интегрирование данного уравнение
dt |
C1 ; |
t C1 x C2 |
dx |
|
|
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого рода
при |
x 0 |
t tc1 |
; C2 |
tc1 |
|
при |
x |
t t |
c2 |
C |
tc1 tc2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|