- •Динамика Лекция 1
- •Введение
- •Аксиомы классической механики
- •Системы единиц
- •Дифференциальные уравнения движения точки.
- •Основные задачи динамики
- •Основные виды прямолинейного движения точки
- •Лекция 2
- •Свободные колебания без сопротивления
- •Понятие о фазовой плоскости
- •Свободные колебания в поле постоянной силы
- •Параллельное включение упругих элементов
- •Последовательное включение упругих элементов
- •Вынужденные колебания без сопротивления
- •Свободные колебания с вязким сопротивлением
- •Вынужденные колебания с вязким сопротивлением
- •Лекция 3
- •Общие теоремы динамики точки
- •Количество движения точки
- •Элементарный и полный импульс силы.
- •Теорема об изменении количества движения точки.
- •Момент количества движения точки.
- •Теорема об изменении момента количества движения точки.
- •Работа силы. Мощность.
- •Кинетическая энергия точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •Принцип Даламбера для материальной точки
- •Лекция 4
- •Динамика несвободной материальной точки
- •Принцип освобождаемости от связей
- •Относительное движение материальной точки
- •Частные случаи относительного движения
- •Лекция 5
- •Введение в динамику системы
- •Геометрия масс
- •Моменты инерции
- •Моменты инерции простейших тел
- •Лекция 6
- •Общие теоремы динамики системы и твердого тела Количество движения системы.
- •Теорема об изменении количества движения системы.
- •Законы сохранения количества движения.
- •Теорема о движении центра масс.
- •Момент количества движения системы.
- •Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.
- •Теорема об изменении момента количества движения системы.
- •Законы сохранения момента количества движения.
- •Кинетическая энергия системы.
- •Кинетическая энергия твердого тела.
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Свободные колебания в поле постоянной силы
На материальную точку кроме упругой силы, действует сила постоянная по величине и направлению.
Рис. 2-4
Обозначим ее , тогда дифференциальное уравнение движения точки примет вид:
или , где
Начальные условия имеют вид: при , .
Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение складывается из решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения .
Решение имеет вид:
,
Если начало отсчета координаты сдвинуть на , , тогда в новой системе отсчета решение будет иметь вид:
,
- амплитуда колебаний;
Рис. 2-5
Параллельное включение упругих элементов
Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных параллельно.
Рис. 2-6
Сместим массу на расстояние . , ,
Результирующая жесткость упругих элементов расположенных параллельно равна сумме жесткостей этих элементов..
Последовательное включение упругих элементов
М асса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных последовательно.
Рис. 2-7
Рис. 2-8
Сместим массу на расстояние . В упругих элементах возникает восстанавливающая (упругая) сила , одинаковая для обоих элементов. Первый упругий элемент изменит длину на , второй - на . . , , .
, следовательно
Обратная величина результирующей жесткости упругих элементов расположенных последовательно равна сумме обратных величин жесткостей этих элементов.
Обратная величина жесткости упругого элемента называется податливостью этого элемента.
, , ,
Результирующая податливость упругих элементов расположенных последовательно равна сумме податливостей этих элементов..
Вынужденные колебания без сопротивления
Рассмотрим движение точки под действием двух сил: одна восстанавливающая, другая зависит от времени. - гармоническая возмущающая сила.
- амплитуда возмущающей силы.
- круговая частота возмущающей силы.
Рис. 2-9
Дифференциальное уравнение движения точки с массой , закрепленной на упругом элементе, под действием возмущающей гармонической силы имеет вид:
Задавая решение уравнения в виде: и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний.
.
Разделим его на массу и обозначим , тогда и окончательно
- амплитуда вынужденных колебаний.
- частота собственных колебаний
Материальная точка колеблется с амплитудой и частотой возмущающей силы .
Построим зависимость модуля амплитуды от частоты возмущающей силы .
Рис. 2-10
Модуль амплитуды вынужденных колебаний возрастает от (при ) до бесконечности (при ) и убывает от бесконечности (при ) до нуля (при ).
Явление, когда частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы, называется резонансом.