Статика и кинематика / Теоретическая механика

41

Коэффициент k называется коэффициентом трения качения.

Он определяется экспериментально, измеряется в системе СИ в метрах и определяет плечо пары (P; N ) при качении колеса.

16. Методика решения задач статики

Общая схема решения задач о равновесии тела (или конструкции, состоящей из нескольких тел) содержит несколько этапов.

Необходимо:

1.Выбрать тело (или конструкцию), исследование равновесия которого позволит определить требуемые величины. Начертить расчётную схему - упрощённый рисунок, на который вынесены лишь необходимые для решения линейные размеры и углы, а несущественные детали опущены.

2.Изобразить на схеме активные силы, заданные в условии задачи.

3.Если тело несвободно, отбросить наложенные на него механические связи, заменив их действие реакциями в соответствии с видами связей. После такой замены тело становится свободным.

4.Проверить выполнение необходимого условия статистической определимости задачи: число неизвестных, появившихся на расчётной схеме, не должно превышать числа уравнений равновесия для рассматриваемой системы сил.

5.Если задача статически определима, то, используя условия равновесия системы сил, составить систему уравнений равновесия и решить её.

При решении задачи рекомендуется действовать строго по описанной схеме.

42

КИНЕМАТИКА

В кинематике изучается движение твердых тел без учета их масс и действия на них сил. Движение тел происходит в пространстве и связано с изменением времени. В системе СИ расстояние измеряется в метрах, а время в секундах. Кинематическими характеристиками движения являются траектория, скорость и ускорение. Задать движение точки (или тела) - значит каким-то образом определить положение точки (или тела) в пространстве в любой момент времени.

Кинематика точки

Траектория – это множество последовательных положений точки в пространстве, то есть кривая, которую описывает точка при движении в пространстве.

Способы задания движения точки: Векторный способ задания движения точки.

Положение точки в пространстве определяется радиус-вектором r , который меняется с течением времени (рис. 2.1).

Координатный способ задания движения.

Для того, чтобы движение было определено, можно задать закон движения, как систему функций изменения координат точки.

43

x(t) = f1 (t)

y(t) = f 2 (t)

z(t) = f3 (t)t0 ≤ t ≤ tk

Координатный способ представляет собой параметрическое задание траектории движения, где параметр – время t.

Зная закон движения, можно определить кинематические характеристики движения точки.

Скорость материальной точки.

V = ddtr = dxdt i + dydt j + dzdt k V = Vx (t) i + Vy (t) j + Vz (t ) k Vx = x& , Vy = y& , Vz = z& V = V = Vx2 + Vy2 + Vz2

Вектор скорости V направлен по касательной к траектории в точке М.

Ускорение – первая производная от скорости.

Вектор a можно представить в виде проекций:

a = ax (t)i + ay (t) j + az (t)k

Сравнивая эти векторные равенства, получим:

Скорость – векторная величина. Она изменяется по абсолютной величине и по направлению

Вектор ускорения лежит в плоскости, проходящей через две близкие касательные, проведенные практически в одной точке траектории. Предельное положение такой плоскости называется соприкасающейся плоскостью.

Таким образом, вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

Естественный способ задания движения точки.

Естественный способ задания движения состоит в задании траектории точки, начала отсчета на траектории, положительного направления отсчета и закона движения по траектории.

44

Закон движения - это функция изменения естественной координаты S.

S = f (t)

t0 ≤ t ≤ tk

S(t) – естественная координата.

Для определения естественной координаты S (рис. 2.2)задаются:

1)траектория (кривая L);

2)начальная точка траектории OS ;

3)положительное и отрицательное направления движения по траектории.

Естественная координата S - это длина дуги, отсчитываемая от на-

чальной точки OS до движущейся точки M на траектории. Если отсчёт длины дуги ведётся в положительном направлении, то естественная координата положительная, в противном случае - отрицательная (рис. 2.2).

Рис. 2.2

В каждой точке траектории определяются естественные оси координат τ , n, b .

Векторы τ , n, b - орты естественных осей координат; τ = n = b = 1 .

Вектор τ направлен по касательной к траектории в положительном направлении изменения естественной координаты S, a вектор n перпендикулярен τ , лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону во-

45

гнутости траектории. Вектор b перпендикулярен τ и n и направлен так, что векторы τ , n, b расположены в пространстве аналогично единичным

векторам i , j , k декартовой прямоугольной системы координат. Естественные оси координат перемещаются вместе с точкой. Длина дуги OM, взятой со знаком, определяет естественную координату.

Проекции векторов скорости и ускорения на естественные оси координат.

Вектор скорости точки M проецируется на ось, образованную единичным вектором τ .

Вектор ускорения проецируется на оси векторов τ и n a = aτ + an

aτ - касательное ускорение; an - нормальное ускорение.

Касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине. Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению.

a = aττ + an n .

Проекции касательного и нормального ускорения равны

На рис. 2.2 показан случай, когда проекция aτ отрицательная, а проекция скорости Vτ положительная.

Поступательное движение твёрдого тела.

Движение твердого тела называется поступательным, если любая прямая, проведенная в теле остается параллельной своему первоначальному положению.

Это наиболее простое движение твёрдого тела.

Вектор AB = const (рис. 2.3). Этот вектор постоянен по величине, т. к. тело абсолютно твердое, а по направлению – в силу определения посту-

46

пательного движения.

Рис. 2.3

Для точек A и B выполняется векторное равенство: rB = rA + AB . Дифференцируя его, получаем:

При поступательном движение твердого тела траектории всех точек одинаковы, скорости всех точек равны и ускорения также равны.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Это такое движение, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или неизменно с ним связанные, остаются неподвижными.

47

Ось, проходящая через две неподвижные точки, неподвижна и на-

зывается осью вращения твердого тела. На рис. 2.4 ось вращения Oz.

На рис. 2.5 показано сечение вращающегося тела, проходящее через точку M перпендикулярно оси вращения Oz.

Положение тела в пространстве определяется углом поворота ϕ (рис.

2.5).

Закон вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

ϕ = f (t ) , t0 ≤ t ≤ tk

Кинематические характеристики движения тела:

Векторы угловой скорости и углового ускорения ω и ε .

Эти векторы лежат на оси Oz и направлены так, что проекция на ось

Oz:

прozω = ω и прozε = ε (рис. 2.4).

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка движется по окружности, радиус которой равен расстоянию r от этой точки до оси вращения (рис. 2.5).

Скорости и ускорения точки определяют по формулам:

вой скорости ω и углового ускорения ε соответственно. На рис. 2.4 и рис. 2.5 показан случай, когда ω и ε положительны.

Вектор скорости точки М можно определить по формуле Эйлера:

VM = ω × OM

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой (Сферическое движение).

Это такое движение, при котором одна точка, принадлежащая телу или неизменно с ним связанная, остается неподвижной (рис. 2.6).

Так как каждая точка тела движется по некоторой сферической поверхности, такое движение тела называют также сферическим.

В каждый момент времени при движении твёрдого тела с одной неподвижной точкой существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку. Вдоль этой оси направлен вектор мгновенной угловой ско-

48

рости ω .

Общий случай движения твердого тела.

Для изучения такого движения в твёрдом теле фиксируется произвольная точка А, которая называется полюсом (рис. 2.7)

Движение твердого тела рассматривается, как сложение поступательного движения вместе с системой координат, взятой в точке А с осями Ax1, Ay1, Az1, параллельными осям Ox, Oy, Oz, и вращательного движения вокруг точки А, как неподвижной.

Определение скорости произвольной точки М:

50

Предположим, что материальная точка М движется относительно подвижной системы координат Ax1y1z1 по некоторой траектории Тотн. В этом случае по отношению к неподвижной системе координат Oxyz точка М совершает сложное движение, так как она движется вместе с телом (подвижной системой координат Ax1y1z1) и ещё сама движется по отношению к этому телу.

При изучении такого движения точки различают три вида движения этой точки.

Абсолютным движением точки М называется её движение по от-

ношению к неподвижной (абсолютной) системе координат. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют соответственно абсо-

лютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают V и a . Относительным движением точки М называется её движение по

отношению к подвижной системе координат. Скорость и ускорение точки в относительном движении называются относительной скоростью и от-

носительным ускорением и обозначают Vr и ar .

Переносным движением называется движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной. При этом движении подвижная система «переносит» вместе с собой множество неизменно связанных с ней точек.

Переносной скоростью и переносным ускорением называются скорости и ускорения той неизменно связанной с подвижной системой точки (В), с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, и обозначают Ve и ae .

Основные теоремы.

Теорема о скорости при сложном движении точки: вектор абсо-

лютной скорости равен геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей

V = Vr + Ve .

Теорема об ускорении при сложном движении точки (теорема Кориолиса): вектор абсолютного ускорения равен геометрической сумме векторов относительного, переносного и кориолисова ускорений

a = ar + ae + ak

Вектор ускорения Кориолиса определяется формулой

ak = 2(ωe ×Vr ) .

и находится в соответствии с правилами вычисления векторного про-

каждый из них может являться геометрической суммой нескольких составляющих, например касательного и нормального ускорений.