3. МАГНЕТИЗМ

Основные формулы и определения

● Вокруг проводника с током существует магнитное поле, направление которого определяется правилом правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, нужно мысленно закручивать буравчик по направлению тока, тогда рукоятка буравчика будет вращаться, описывая окружность, по касательной к которой направлен вектор магнитной индукции. Модуль вектора магнитной индукции В, созданного прямым бесконечно длинным проводником с током, прямо пропорционален силе тока в проводнике I и обратно пропорционален расстоянию от проводника до точки наблюдения r. Для

вектор магнитной индукции. Квадратные скобки означают векторное произведение двух векторов.

Модуль силы Лоренца равен: FЛ = q × v × B × sin (v ^ B) . Направление силы Лоренца, если движется положительный заряд, определяется по правилу левой

руки. Согласно этому правилу, вектор магнитной индукции B должен входить в ладонь, четыре вытянутых пальца левой руки должны показывать направление скорости, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца.

● Сила Ампера, т. е. сила, действующая на прямой проводник с током в магнитном поле, равна: FА = I [ℓ× B] , где I – сила тока; ℓ – длина проводника;

В – вектор магнитной индукции. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки, согласно которому вектор магнитной индукции должен входить в ладонь, четыре вытянутых пальца левой руки – показывать направление тока, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Ампера.

● При изменении магнитного потока в замкнутом контуре возникает индукционный ток, который, согласно закону Фарадея – Ленца, создает магнитное поле, препятствующее изменению магнитного потока.

Среднее значение ЭДС самоиндукции равно: εi = – L · ( I / t), где L – индуктивность; I – изменение силы тока, произошедшее за промежуток времени t.

Тест 3-1

На рис. 64 изображены сечения двух параллельных прямолинейных длинных проводников с противоположно направленными токами, причем I1 = 2I2.

Индукция B результирующего

охватывающие проводники с током. Как видно из этого рисунка, ток I1 течет на нас, буравчик выкручивается и его рукоятка вращается против часовой стрелки.

Поэтому вектор магнитной индукции B1 , созданный током I1, в интервале a

будет направлен вниз, а в интервалах b, c, d направлен вверх.

В проводнике с током I2 ток течет за чертеж, буравчик закручивается и вектор магнитной индукции B2 В в интервалах a, b, c направлен вверх, а в интервале d – вниз. Результат находится по принципу суперпозиции полей: В = B1 + B2 . Понятно, что индукция B результирующего магнитного поля может

быть равна нулю в тех точках интервала, где векторы B1 и B2 противоположно

направлены, т. е. в интервалах a и d.

Модуль вектора магнитной индукции, созданного прямым бесконечно длинным проводником с током, для вакуума равен: В = µ0 · I / (2π · r), где µ0 – магнитная постоянная. В интервале a индукция В1 > В2, так как токи I1 > I2, а соответствующие расстояния r1 < r2. Поэтому индукция магнитного поля может быть равна нулю только в некоторой точке интервала d.

Ответ: вариант 1.

Задание С3-1 для самостоятельного решения

В условиях теста 3-1 укажите интервал, в некоторой точке которого магнитная индукция равна нулю, если ток I1 так же, как и ток I2, направлен за чертеж.

Варианты ответов те же, что в тесте 3-1.

Тест 3-2

Магнитное поле создано двумя параллельными длинными проводниками с токами I1 и I2, расположенными перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 66).

Если I1 = 2I2, то вектор B индукции результирующего поля в точке А направлен...

Варианты ответов:

1) вправо; 2) вниз; 3) вверх; 4) влево.

Решение

Модуль вектора магнитной индукции, Рис. 66 созданного прямым бесконечно длинным проводником с током, прямо пропорционален силе тока в проводнике и обратно пропорционален расстоянию от проводника

до точки наблюдения. Так как расстояние от обоих проводников до точки наблюдения А одинаково, а сила тока в первом проводнике в 2 раза больше, чем

во втором, то B1 = 2 B2 . Направление векторов B1 и B2 можно найти по правилу

правого винта. Для этого нужно мысленно, если ток течет к нам, выкручивать буравчик. Тогда рукоятка буравчика будет вращаться против часовой стрелки, описывая окружность, по касательной к которой направлен вектор магнитной

индукции. Следовательно, вектор B1 в точке А будет направлен вверх, вектор В

– вниз, результирующий вектор найдём по принципу суперпозиции. В скалярной форме: В = В1 – В2, т. е. В будет направлен вверх, в сторону большего вектора.

Ответ: вариант 3.

Задание С3-2 для самостоятельного решения

В условиях теста 3-2 определите в точке А направление результирующего

вектора магнитной индукции В , если направление тока I1 изменится на обратное, т. е. ток будет направлен от нас за чертёж.

Варианты ответов те же, что в тесте 3-2.

Тест 3-3

На рис. 67 показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка. При выключении в проводнике тока заданного направления в рамке...

Варианты ответов:

1) Индукционного тока не возникнет;

2) Возникнет индукционный ток в Рис. 67 направлении 1 – 2 – 3 – 4;

3) Возникнет индукционный ток в направлении 4 – 3 – 2 – 1.

Решение

Вокруг проводника с током существует магнитное поле, направление которого определяется правилом правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, нужно мысленно закручивать буравчик по направлению тока, тогда рукоятка буравчика будет вращаться, описывая окружность, по касательной к которой направлен вектор магнитной индукции. В нашем

примере вектор магнитной индукции, пронизывающий рамку, направлен за чертёж.

При выключении тока в проводнике в замкнутом контуре возникает индукционный ток, который, согласно закону Фарадея – Ленца, создает магнитное поле, препятствующее изменению магнитного потока. Поэтому магнитное поле индукционного тока тоже должно быть направлено за чертёж, чтобы препятствовать уменьшению тока. Направление индукционного тока также можно определить по правилу правого винта (буравчика), т.е. поступательное движение буравчика должно совпадать с направлением вектора магнитной индукции, созданной индукционным током. Тогда рукоятка буравчика будет двигаться в направлении индукционного тока в рамке. Поэтому в нашем примере индукционный ток возникнет в направлении 1 – 2 – 3 – 4.

Ответ: вариант 2.

Задание С3-3 для самостоятельного решения

Используя условие теста 3-3, определите направление индукционного тока в проводящей рамке, если не выключать, а включать ток в проводнике?

Варианты ответов те же, что в тесте 3-3.

Тест 3-4

На рис. 68 показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка.

При движении рамки к проводнику со скоростью v в рамке...

Рис. 68

Варианты ответов:

1)Возникнет индукционный ток в направлении 4 – 3 – 2 – 1;

2)Индукционного тока не возникнет;

3)Возникнет индукционный ток в направлении 1 – 2 – 3 – 4.

Решение

Вокруг проводника с током существует магнитное поле, направление которого определяется правилом правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, нужно мысленно завинчивать буравчик по направлению тока, тогда рукоятка буравчика будет вращаться, описывая окружность, по касательной к которой направлен вектор магнитной индукции. В нашем примере вектор магнитной индукции, пронизывающий рамку, направлен к нам перпендикулярно чертёжу. При движении рамки к проводнику магнитное поле усиливается, и в рамке, представляющей собой замкнутый проводящий контур, возникает индукционный ток, который, согласно закону Фарадея – Ленца, создает магнитное поле, препятствующее изменению магнитного потока. Поэтому магнитное поле индукционного тока должно быть направлено за чертёж, чтобы препятствовать его изменению. Направление индукционного

тока тоже можно определить по правилу правого винта (буравчика). Поступательное движение буравчика должно совпадать с направлением вектора магнитной индукции, созданной индукционным током, тогда рукоятка буравчика будет двигаться в направлении индукционного тока. Поэтому в нашем примере индукционный ток возникнет в направлении 1 – 2 – 3 – 4.

Ответ: вариант 3.

Задание С3-4 для самостоятельного решения

Используя условие теста 3-4, определите направление индукционного тока, если рамку удалять от проводника с током?

Варианты ответов те же, что в тесте 3-4.

Тест 3-5

Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля имеет

вид:

Следующая система уравнений:

справедлива...

Варианты ответов:

1)В отсутствие заряженных тел;

2)В отсутствие заряженных тел и токов проводимости;

3)В отсутствие токов проводимости;

4)При наличии заряженных тел и токов проводимости.

Решение

В полной системе уравнений Максвелла величина j обозначает плотность

∂D

тока проводимости, ∂t – плотность тока электрического смещения, а

величина ρ – плотность электрических зарядов. В исследуемой системе уравнений нет величин j и ρ. Следовательно, система уравнений справедлива в

отсутствие заряженных тел и токов проводимости. Ответ: вариант 2.

Тест 3-6

Полная система уравнений приведена в тесте 3-5. Следующая система уравнений:

∫(L) E d l = 0;

∫(L) H d l = ∫(S ) j dS;∫(S ) D d S = ∫(V ) ρ d V ;

∫(S ) B d S = 0 .

справедлива для...

Варианты ответов:

1)Стационарного электромагнитного поля в отсутствие заряженных тел;

2)Стационарного электромагнитного поля в отсутствие токов проводимости;

3)Переменного электромагнитного поля при наличии заряженных тел и токов проводимости;

4)Стационарных электрических и магнитных полей.

Решение

Уравнения Максвелла являются обобщением основных законов электрических и магнитных явлений. В них приняты следующие обозначения:

– напряженность электрического поля; H – напряженность магнитного поля;

плотность тока электрического смещения, а ρ – плотность электрических зарядов.

Первое уравнение Максвелла показывает, что переменное магнитное поле

∂B / ∂t порождает электрическое поле. Второе уравнение Максвелла показывает, что электрический ток j и переменное электрическое поле

порождают магнитное поле. Для стационарных полей = const и = const.

Так как в исследуемой системе уравнений отсутствуют производные

∂D / ∂t и ∂B / ∂t , то исследуемая система уравнений справедлива для

стационарных электрических и магнитных полей.

Ответ: вариант 4.

Задание С3-5 для самостоятельного решения Полная система уравнений приведена в тесте 3-5. Следующая система уравнений:

∫(L) E d l = 0;

∫(L) H d l = ∫(S ) j dS;∫(S ) D d S = 0;

∫(S ) B d S = 0 .

справедлива для...

Варианты ответов:

1)Стационарного магнитного поля;

2)Стационарного электрического поля;

3)Стационарных электрических и магнитных полей;

4)Стационарного электромагнитного поля в отсутствие заряженных тел.

Задание С3-6 для самостоятельного решения Полная система уравнений приведена в тесте 3-5. Следующая система уравнений:

∫(L) E d l = 0;∫( L) H d l = 0;

∫(S ) D d S = ∫(V ) ρ d V ;

∫(S ) B d S = 0 .

справедлива для ...

Варианты ответов:

1)Стационарного магнитного поля;

2)Стационарного электрического поля;

3)Стационарных электрических и магнитных полей;

4)Стационарного электромагнитного поля в отсутствие токов проводимости.

Тест 3-7

Пучок однократно ионизированных изотопов магния 24 Mg и 25 Mg, движущихся с одинаковой скоростью, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 69).

Радиусы окружностей, по которым движутся ионы, связаны соотношением...

Решение

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Направление силы Лоренца, если движется

положительный заряд, определяется по правилу левой руки. Согласно этому правилу, линии магнитной индукции должны входить в ладонь, четыре вытянутых пальца левой руки должны показывать направление скорости, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца.

Если частица влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной по величине скоростью, то она движется по окружности (рис. 69).

Следовательно, сила Лоренца является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, получим: mv2/R = qvB. Отсюда найдём радиус траектории: R = mv/(qB). Поскольку q, v, B – постоянные величины, то отношение радиусов окружностей равно отношению их масс: R1/R2 = m1/m2.

Массы частиц в атомных единицах массы (а.е.м.) указаны перед обозначениями химических элементов.

Следовательно, m1 = 24 а.е.м. и m2 = 25 а.е.м.

После численной подстановки получим R1 = (24/25) · R2. Ответ: вариант 3.

Задание С3-7 для самостоятельного решения

Ионы, имеющие одинаковые скорости, но разные удельные заряды, влетают в однородное магнитное поле. Их траектория приведена на рис. 70.

Величина наименьшего удельного заряда соответствует траектории…

Варианты ответов:

1) 1; 2) 2; 3) 3.

Примечание: удельным зарядом называется

отношение заряда частицы к её массе. Значение

Рис. 70

удельного заряда можно найти из равенства силы Лоренца и центростремительной силы.

Тест 3-8

На рис. 71 указаны траектории заряженных частиц, имеющих одинаковую скорость и влетающих в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости чертежа.

При этом для частицы 1...

Варианты ответов:

1) q = 0; 2) q < 0; 3) q > 0.

Решение

На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца, направление которой, если движется положительный заряд, определяется по правилу левой руки. Согласно этому правилу,

вектор магнитной индукции B должен входить в ладонь, четыре вытянутых пальца левой руки должны показывать направление скорости, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца. Следовательно, под действием силы Лоренца положительно заряженные частицы при данном направлении

заряда, не будут отклоняться. Частица 1, как показывает рис. 71, отклоняется влево. Следовательно, для частицы 1 q < 0.

Ответ: вариант 2.

Задание С3-8 для самостоятельного решения

По рис. 71 определите, какая из отклоненных частиц имеет наибольшую массу m, если скорости и заряд отклоненных частиц одинаковы.

Примечание: если скорость перпендикулярна вектору магнитной

индукции В, то сила Лоренца FЛ = q v В равна центростремительной силе FЦ.С. = m · v2/R.

Варианты ответов:

Тест 3-9

В постоянном однородном магнитном поле, созданном электромагнитом с дискообразными полюсами, на некотором расстоянии от оси полюсов закреплена положительно заряженная частица (рис. 72).

Решение

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила

Лоренца, FЛ = q[v × B] , где q – заряд частицы; v – скорость частицы, B – вектор магнитной индукции. Квадратные скобки означают векторное

произведение двух векторов. Модуль силы Лоренца равен: FЛ = q v В sin( v ^ B ). Направление силы Лоренца, если движется положительный заряд, определяется по правилу левой руки. Согласно этому правилу, вектор

магнитной индукции B должен входить в ладонь, четыре вытянутых пальца левой руки должны показывать направление скорости, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца.

Если частица влетает в однородное постоянное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной по величине

скоростью, то sin ( v ^ B ) = sin 90º = 1 и сила Лоренца равна FЛ = q v В. Под действием силы Лоренца она движется по окружности, следовательно, сила

При увеличении тока в обмотках электромагнита увеличивается значение вектора магнитной индукции. Согласно закону электромагнитной индукции переменное магнитное поле создаёт вихревое электрическое поле. Направление силовых линий этого поля показано на рис. 73. Под действием электрической

силы = q , направленной по касательной к траектории частицы, возникает тангенциальное ускорение τ = q / m.

Задание С3-9 для самостоятельного решения

В рамках задания теста 3-9 указать правильное сочетание направлений скорости и ускорения частицы в тот момент, когда ток в обмотках электромагнита стал уменьшаться.

Варианты ответов те же, что в тесте 3-9.

Тест 3-10

На рис. 74 показана зависимость силы тока от времени в электрической цепи с индуктивностью 1 мГн. Модуль среднего значения ЭДС самоиндукции на интервале от 0 до 5 с (в мкВ) равен...

Варианты ответов:

1) 0; 2) 6; 3) 15; 4) 30.

Решение

В соответствии с законом Фарадея –

Тогда среднее значение εi = 1 · 30/5 = 6 мкВ. Ответ: вариант 2.

Задание С3-10 для самостоятельного решения

На рис. 74 показана зависимость силы тока от времени в электрической цепи с индуктивностью 1 мГн. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции (в мкВ) на интервалах времени от 10 до 15 с и от 15 до 20 с.

моментом , направление которого указано на рис. 75, находится в однородном магнитном поле с

индукцией B .

Момент сил, действующий на рамку с током,

1)От нас;

2)К нам;

3)Вдоль вектора магнитной индукции;

4)Против вектора магнитной индукции.

Решение

Момент сил, действующий на рамку с током в магнитном поле, равен векторному произведению магнитного дипольного момента рамки Pm на –

вектор магнитной индукции: M = [Pm × B]. Направление вектора момента сил определяется в соответствии с правилом векторного произведения двух

векторов: вектор M должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (т. е. к нам или от нас). Направление векторного произведения определяется по правилу правого винта: если первый вектор поворачивать ко второму, то поступательное движение винта покажет

направление векторного произведения. В нашем случае вектор M направлен за чертёж, т. е. от нас.

Ответ: вариант 1.

Задание С3-11 для самостоятельного решения

Рамка с током с магнитным дипольным моментом , направление которого указано на рис. 76, находится в однородном магнитном поле с

индукцией B . Момент сил, действующий на рамку с током, направлен...

Варианты ответов те же, что в тесте 3-11.

Задание С3-12 для самостоятельного решения

Рамка с током с магнитным дипольным моментом , направление которого указано на рис. 77, находится в однородном магнитном поле с индукцией . Момент сил, действующий на рамку с током, направлен...

массой m, подвешенный на проводящих нитях, через которые подведен ток.

Укажите правильную комбинацию направления вектора магнитной индукции и направления тока в проводнике, чтобы сила натяжения нитей стала равной нулю.

2)Ток в направлении M – L; вектор магнитной индукции B вверх;

3)Ток в направлении L – M; вектор магнитной индукции B от нас;

4)Ток в направлении M – L; вектор магнитной индукции B от нас.

Решение

Для того, чтобы сила натяжения нитей стала равной нулю, нужно чтобы сила Ампера, т. е. сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, была направлена против силы тяжести. Поскольку сила тяжести направлена вниз, то сила Ампера должна быть направлена вверх. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки, согласно которому линии магнитной индукции должны входить в ладонь, четыре вытянутых пальца левой руки показывать направление тока, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Ампера. Правильная комбинация направления вектора магнитной индукции и направления тока в проводнике будет соответствовать

варианту 3: ток в направлении L – M; вектор магнитной индукции B от нас. Ответ: вариант 3.

Тест 3-13

На рис. 79 представлена зависимость магнитного потока, пронизывающего некоторый замкнутый контур, от времени. ЭДС индукции в контуре не возникает на интервале...

Варианты ответов:

Рис. 79

1)интервал С;

2)интервал D;

3) интервал А; 4) интервал Е; 5) интервал В.

Решение

Согласно закону Фарадея – Ленца, ЭДС в замкнутом контуре появляется при изменении магнитного потока: εi = – Ф/ t. Поскольку на интервале В магнитный поток не изменяется, то на этом интервале в контуре ЭДС не возникает.

Ответ: вариант 5.

Задание С3-13 для самостоятельного решения

На рис. 79 представлена зависимость магнитного потока, пронизывающего некоторый замкнутый контур, от времени. ЭДС индукции в контуре положительна и по величине максимальна на интервале...

Варианты ответов те же, что в тесте 3-13.

Задание С3-14 для самостоятельного решения

На рис. 79 представлена зависимость магнитного потока, пронизывающего некоторый замкнутый контур, от времени. ЭДС индукции в контуре положительна и по величине минимальна на интервале...

Варианты ответов те же, что в тесте 3-13.

Задание С3-15 для самостоятельного решения

На рис. 79 представлена зависимость магнитного потока, пронизывающего некоторый замкнутый контур, от времени. ЭДС индукции в контуре по модулю максимальна на интервале...

Варианты ответов те же, что в тесте 3-13.

Тест 3-14

При помещении диамагнетика в стационарное магнитное поле...

Варианты ответов:

1)У атомов индуцируются магнитные моменты; вектор намагниченности образца направлен против направления внешнего поля;

2)У атомов индуцируются магнитные моменты; вектор намагниченности образца направлен по направлению внешнего поля;

3)Происходит ориентирование имевшихся магнитных моментов атомов; вектор намагниченности образца направлен по направлению внешнего поля;

4)Происходит ориентирование имевшихся магнитных моментов атомов; вектор намагниченности образца направлен против направления внешнего поля.

Решение

Если поместить диамагнетик в стационарное магнитное поле, то у атомов, согласно правилу Ленца, индуцируются магнитные моменты, направленные против внешнего магнитного поля. Вектор намагниченности представляет собой векторную сумму магнитных моментов отдельных атомов, делённую на

объём, поэтому у диамагнетиков он направлен против внешнего магнитного поля.

Ответ: вариант 1.

Задание С3-16 для самостоятельного решения

Выберите вариант ответа из теста 3-14 для парамагнетика, помещенного в стационарное магнитное поле.

Тест 3-15

На рис. 80 представлены графики, отражающие характер зависимости величины намагниченности I вещества (по модулю) от напряженности магнитного поля Н. Укажите зависимость, соответствующую

диамагнетикам.

Варианты ответов:

Решение

Вектор намагниченности представляет собой векторную сумму магнитных моментов отдельных атомов, делённую на

объём. Как показывает опыт, зависимость величины намагниченности I вещества (по модулю) от напряженности магнитного поля Н имеет вид: I = χ · Н, где χ – магнитная восприимчивость.

У диамагнетиков χ – величина отрицательная, малая по абсолютному значению и является константой. У парамагнетиков χ тоже невелика, но положительна и в сильных магнитных полях наблюдается отступление от пропорциональности между намагниченностью парамагнетика I и напряженностью Н. У ферромагнетиков χ – положительная величина, которая является функцией напряженности магнитного поля и может принимать очень большие значения. При больших значениях Н намагниченность ферромагнетика I достигает насыщения.

Таким образом, зависимость, соответствующая диамагнетикам, представлена на графике 4.

Ответ: вариант 4.

Задание С3-17 для самостоятельного решения

На рис. 80 представлены графики, отражающие характер зависимости величины намагниченности I вещества (по модулю) от напряженности магнитного поля Н. Укажите зависимость, соответствующую парамагнетикам.

Варианты ответов те же, что в тесте 3-15.

Задание С3-18 для самостоятельного решения

На рис. 80 представлены графики, отражающие характер зависимости величины намагниченности I вещества (по модулю) от напряженности магнитного поля Н. Укажите зависимость, соответствующую ферромагнетикам.

Варианты ответов те же, что в тесте 3-15.