Л Численное интегрирование
.pdf
Российский государственный университет нефти и газа
им. И.М. Губкина
Кафедра «Информатики»
Лекция
1
Постановка задачи:
вычислить интеграл вида
b
I f ( x )dx,
a
где a и b – пределы интегрирования;
f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b]
2
Определенный интеграл Римана
a x0 x1 x2 ... xn 1 b
i xi 1 |
,xi |
Интегральная сумма: |
|
|
|
|
|
n |
|
|
si f i xi |
|
|
i 1 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
f x dx |
lim |
si |
|
i |
|
a |
max xi 0 |
|
|
|
|
|
||
|
xi 1 xi |
|
|
|
|
a |
b |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление определенных интегралов
b
f x dx F x ba
a
F b F a
Значение определенного интеграла можно трактовать как площадь криволинейной трапеции
4
методы численного интегрирования применяют
Если:
1) вид функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования;
2) значения функции f(x) заданы в виде таблицы
Основная идея - замена подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически.
5
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Замена f(x) – на полином различных степеней.
f(x)=const - метод прямоугольников,
f(x)=kx+b - метод трапеций,
f(x)=ax2+bx+c - метод Симпсона.
6
Формула левых прямоугольников
S1=(0.24-0.08)·f(0.08)=
=0.16*0.98=0.1568
S1
S1 xi xi 1 f xi 1
7
Формула правых прямоугольников
S1=(0.24-0.08)·f(0.24)=
=0.16*0.78=0.1248
S1
S1 xi xi 1 f xi
8
Формула средних прямоугольников
S1=(0.24-0.08)·f(0.16)=
=0.16*0. 9=0.144
S1
|
|
x |
x |
|
|
|
S x x |
f |
i |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
i i 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9 |
|||
Формула трапеции
S1=(0.24-0.08)·(f(0.08)+ f(0.24))/2=
=0.16*(0. 98+0.78)/2=0.1408
S1
S1 xi xi 1 f xi 1 2 f xi
10