МУ Расчеты в mathLab

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)»

Кафедра «Информационные технологии»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ

В MATLAB

Методические указания

Составители: Н.Ф. Антипенко, Т.А. Санькова

Омск

2010

2

УДК 004.9:517:512 ББК 32.988-5:22.141:22.16

Рецензент канд. техн. наук, доц. А.А. Руппель (СибАДИ)

Работа одобрена научно-методическим советом специальности «Профессиональное обучение» в качестве методических указаний для студентов специальности «Профессиональное обучение».

Математические расчеты в MATLAB: методические указания / сост.: Н.Ф. Антипенко, Т.А. Санькова. Омск: СибАДИ, 2010. 56 с.

Данная работа представляет собой методические указания для студентов, изучающих дисциплину «Пакеты прикладных программ». Методические указания включают теоретический материал и задания для лабораторных и контрольных работ, позволяющие освоить основные принципы работы с пакетом MATLAB: арифметические вычисления, работа с массивами, построение графиков и поверхностей, решение уравнений и систем уравнений, вычисление интегралов, пределов, производных функций, решение дифференциальных уравнений.

Табл. 7. Ил. 15. Библиогр.: 3 назв.

ГОУ «СибАДИ», 2010

3

ВВЕДЕНИЕ

MATLAB – одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Однако синтаксис языка программирования системы настолько продуман, что эта ориентация почти не ощущается теми пользователями, которых не интересуют непосредственно матричные вычисления. Матрицы широко применяются в сложных математических расчетах, например при решении задач линейной алгебры и математического моделирования статических и динамических систем и объектов. Они являются основой автоматического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем.

В MATLAB реализованы современные численные методы компьютерной математики, используются мощные средства графической визуализации и анимационной графики. Возможности системы весьма обширны, а по скорости выполнения задач она нередко превосходит своих конкурентов и применима для расчетов практически в любой области науки и техники.

ИНТЕРФЕЙС ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ

Пользовательский интерфейс системы MATLAB многооконный и имеет ряд средств прямого доступа к различным компонентам системы (рис. 1). Основную часть окна приложения занимает командное окно (Command Window), в котором расположена строка ввода, начинающаяся специальным маркером – символами «>>». В ней записываются команды для выполнения системой. В левой части окна приложения расположено окно истории команд (Command History), в котором отображаются вводимые пользователем команды. При необходимости эти команды можно снова выполнить, сделав двойной щелчок мыши по нужной команде в окне истории команд.

При наборе команд пользователь может использовать клавиши

[ ], [ ], [Home], [End], [Delete], [BackSpace] для перемещения по строке ввода или удаления символов. Для отмены ввода (очистки строки ввода) используется клавиша [Esc]. Следует обратить внимание на применение клавиш [ ] и [ ]. Они используются для подстановки после маркера строки ввода ранее введенных команд, например для их исправления, дублирования или дополнения. При этом указан-

4

ные клавиши обеспечивают перелистывание ранее введенных строк снизу вверх или сверху вниз.

Рис. 1. Интерфейс системы MATLAB

Ввод команды завершается нажатием клавиши [Enter], при этом MATLAB сразу же выполняет команду и выводит в следующей строке результат. Для того чтобы результат не выводился на экран, в конце команды ставится символ «;».

Если команда слишком длинная, то можно перенести часть ее на новую строку. Для этого в месте переноса нужно поставить пробел и троеточие (…), а затем с новой строки продолжить запись команды.

Для очистки командного окна используется команда clc.

ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ MATLAB

Центральным понятием всех математических систем является математическое выражение. Оно задает то, что должно быть вычислено в численном (реже в символьном) виде. Математические выражения строятся на основе чисел, констант, переменных, операторов, функций и разных спецзнаков.

5

Число – простейший объект языка MATLAB, представляющий количественные данные. Числа используются в общепринятом представлении о них. Они могут быть целыми, дробными, с фиксированной и плавающей запятой, комплексные. Примеры представления чисел в MATLAB приведены в табл. 1.

Таблица 1

Примеры представления чисел

Константа – это предварительно определенное числовое или символьное значение, представленное уникальным именем. В MATLAB существуют некоторые стандартные константы, например число «пи» (pi), значение мнимой единицы (i). Символьной константой считается любая последовательность символов, заключенных в апострофы, например 'Hello!'.

Переменная – это имеющий имя объект, способный хранить некоторые данные. В зависимости от этих данных переменные могут быть числовыми или символьными, векторными или матричными.

Имя переменной должно начинаться с буквы, может содержать буквы, цифры и символ подчеркивания. Имя не должно совпадать с именами других переменных, функций и процедур системы. Прописные и строчные буквы в MATLAB различаются. Таким образом, переменные s и S – это две разные переменные.

Для уничтожения определения переменной используется специальная команда:

clear – уничтожает все переменные;

clear x – уничтожает переменную x;

clear x,y – уничтожает переменные x и y.

Оператор – это специальное обозначение для определенной операции над данными – операндами. Например, арифметическими операторами являются знаки суммы (+), вычитания (–), умножения (*), деления (/), возведения в степень (^). Операторы используются совме-

6

стно с операндами. Например, в выражении 2+3 знак «+» является оператором сложения, а числа 2 и 3 – операндами.

Функции – это имеющие уникальные имена объекты, выполняющие определенные преобразования своих аргументов и при этом возвращающие результаты этих преобразований. Все имена функций в MATLAB пишутся строчными буквами. Перечень основных функций приведен в табл. 2.

Таблица 2

Присвоение и вывод значений переменных и функций

Для задания переменной значения используется оператор присваивания

Имя_переменной = Значение;

Для вывода значения переменной нужно в командной строке ввести ее имя и нажать клавишу [Enter].

При вычислении значений арифметических выражений нужно набрать в командной строке это выражение и нажать клавишу [Enter].

Перед тем как вычислять значение математического выражения, необходимо определить значение каждой входящей в него переменной. Вычисляемое выражение может содержать любое количество переменных, операторов и функций.

При арифметических вычислениях в MATLAB соблюдается следующий порядок:

1) значения функций;

7

2)возведение в степень;

3)умножение и деление в порядке их следования;

4)сложение и вычитание в порядке их следования.

Для изменения порядка действий используются круглые скобки.

Пример

Порядок ввода:

>>x=25;

>>y=3.6;

>>z=(x^2+y)/(3–abs(sin(x)))+2

В результате получим z=221.204.

Пример

Вычислить значение выражения cos2 2 . 3

Порядок ввода: >> cos(2/3*pi)^2

В результате получим число 0,25.

Табулирование функции

Протабулировать функцию – это вычислить все ее значения при каждом значении аргумента в указанном диапазоне. При табулировании функции необходимо задать значения аргумента, при которых будут вычисляться значения функции.

Для задания диапазона чисел необходимо написать имя переменной, поставить знак присваивания, а затем через двоеточие начальное значение, шаг и конечное значение:

Имя_переменной=Начальное_значение:Шаг:Конечное_значение;

8

Если шаг равен 1, то его можно не указывать, а задать только начальное и конечное значения. После ввода диапазона значений аргумента функции задается сама функция.

Так как аргумент имеет несколько значений, то выполнение операций умножения, деления и возведения в степень должно выполняться поэлементно над каждым из значений. Для этого используются операции .*, ./ и .^, соответственно.

Для умножения на число, сложения и вычитания используются обычные операции *, + и –, соответственно.

Пример

Вычислить значения функций y 2xsin x и z 3x2 cos x при x [–1,5; 1,5] с шагом 0,5.

Порядок ввода:

>>x=–1.5:0.5:1.5

>>y=2*x.*sin(x)

>>z=3*x.^2+cos(x)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

I. Вычислить значения выражений при a=3, b=2,6:

9

II. Протабулировать функции f, g, y, f+g:

1)x [–2; 2], h=0,2, f=|x–1|2, g=cos2(3x), z=2x3–3x2+1;

2)x [–4; 3], h=0,6, f=ln|x+5|, g=sinx+cos(2x), z=x2 2 ;

3)x [2; 12], h=1, f=lgx+1, g=3|x–3|, z= 2x2 .

5 x

РАБОТА С МАТРИЦАМИ

Элементы матрицы задаются в квадратных скобках, причем элементы одной строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а строки отделяются друг от друга точкой с запятой.

Пример

3 1

Задать матрицу М2 2 = .

5,5 1

Порядок ввода:

>> М = [3 –1; 5.5 1]

Для обращения к отдельному элементу матрицы нужно указать имя матрицы и индексы элемента в круглых скобках.

Пример

Присвоить элементу второй строки первого столбца матрицы М значение 2.

Порядок ввода: >> М(2, 1)=2

10