Учебник Каллер

w

Так, например, для схемы 1 сопротивление двухполюсника при

-+ 00 определяется параллельно соединенными индуктивностями

L1

и L з:

Величина Ю2

ю =

(L1

+ Lз)

C1

С

;

(6 . 1 9)

C1 + Ci"

--------

представляет собой частоту собственных колебаний в

цепи, образованной последовательным

соединением L1, L З,

С1, С3 '

jLa

2

2

00

1

Z (00)

= -00

(00

- юа) -1- --jC2

(002 -ю)

(6.20)

(2)

u-'"' L ,

......LZ -

С,

=

=:

Сг

Lз

®

LZ

'"' С,

Сг

С,

L ,

Рис. 6. 1 5

аналогично имеем:

(00) =

---

jooC] + -----1 -

(fi . 22)

Равенство (6.24) есть разложение дроби (6.23) на простые дроби

Для двухполюсника

6

+-

,

)

У ( w) =

'L ( 2 ·-Ю2" )

(

.25

J

2 W w

jCa (w2 . w )

6

( )

люсника

7

Для двухпо

дроби.

а

8

--

люсник

--о --

Для

двухпо

У )

ы

) с.

+

1

(6 . 27)

JooL )

---jooC) +

------

Рассмотренные четыре схемы

также

т четырем кано­

соответствую

ническим схемам.

еакти

вных

двухполюсников. Изложенное позво­

О

б

е

в

щи

с

положений,

характеризующих

общие свой­

ляет сформулировать ряд

сников:

ства реактивных двухполю

сника на конечных

число резонансов

любого реактивного двухполю

того,

что

частотах на единицу меньше числа элементов в нем (с учетом

сти равны

ffi

= О

И

ffi =

00

на частотах

ивления и проводимо

сопрот

что на

оси частот О < ffi < 00

нулю или бесконечно

велики, считают,

число резонансов на

единицу больше

числа элементов).

взаимно­

г

го

л

существуют

для

л

о

реактивно

ДВУХl10

юсника

юбо

сники

;

обратный и эквивалентный двухполю

частоты

зависимость

сопротивления

любого двухполюсника от

можно

предста

вить

выражением

± I

(1;:28)

П

(oo2 - O O

)

z

q=n

1

J

(00)

+ jk(o)

= I _____

П

((0)

2

J

)

т

являеIЮВТОРЯЮЩИХСЯ

- O O

где

сомножителей;

П

-- знак произведения

-.

число частот резонансов напряжени й ;

n

-

число частот разонансов токов.

ении (6.28)

один многочлен четный, а другой - - нечетныЙ.

В выраж

тся

отличи

тельной

особенностью

функций

Это

обстоятельство

двух­

полюсников;

тивления,

принимающих

значения нуля и

два реактивных

сопро

и

тех

же

частотах,

могут различ

аться

бесконечности

на

одних

Только

постоянным

елем

k.

множит

Отрезки

линий как реактивные двухпо­

люсники. В § 3.3 было установлено. что вход­

ные сопротивления

короткозамкнутых

и ра­

зомкнутых отрезков линий с малыми

поте­

jx,

рями

'V ЦС tg (Н = j ,/ ЦС tg koo;

Zиз == j

Zx x с= - j VЦС ctg

= -j V ЦС ctg koo.

ZXJ(

l

Следовательно,

зависимость

входных со­

противлений

Zиз

и

Zxx

от частоты будет

такой, как это показано на рис.

6. 16. Со сто­

роны

входных зажимов

такие

отрезки ли­

нии

представляют

собой

реактивные

сопро­

6.4. ДВУХПОЛЮСНИКИ С ПОТЕРЯМИ

Влияние потерь в элементах двухполюсника. Мы полагали реак­

тивные двухполюсники

составленными

из

идеальных

индуктив­

ностей и емкостей. При этом

активное сопротивление

цепи r = О И

Z (О) = ix (0) .

Зависимость

от частоты реактивного

сопротивления

двухполюсника

х (ш) и была единственной

рассмотренной характери­

стикой. В этом случае при резонансе токов

х обращается в

бесконеч­

Реальные катушки индуктивности и конденсаторы вносят в цепь

определенные

потери, поэтому свойства реальных элементов в двух­

полюсной цепи следует отображать эквивалентными схемами, содер­

жащими наряду

с реактивными элементами L

и

С также и

активное

Z ( 00) = r (00) + jx (00) =0' I Z (00) I е

ч>

(

Ш) •

i

Для отображения изменения свойств двухполюсника в зависимости

от частоты при наличии потерь в его элементах наряду с графиком х (ш)

следует строить еще и график r (ш). При резонансах теперь сопротивле­

ние в обоих случаях конечно.

с потерями удобно также

При изучении свойств двухполюсников

пользоваться

графиками

показывающих зависимость сопротивления реального трехэлемент­

ного двухполюсника от частоты, приведен

на

рис. 6. 1 7, а и

6. Штри­

ховые линии отНосятся к реактивному двухполюснику

с идеальными

элементами.

водимостью д

2 _

2) ' имеющеи полюс на

вещественнои

частоте (0)0

=

д

00

000

проводимостьо

.

•

= ЬI IVL дСд- ,Lи

(полная(

теперь

к

L

к

00

,2 -+- 002

2

L

Таким образом,

тивных

ветвей в параллельном

соединении

есть

однозначная связь

-]

Д

,

О

между и

Такие цепи имеют минимально возможную активную со­

ющую при заданной реактивной и

минимально возможную реак­

ставля g

Ь.

Необходимая зависимость может быть задана формулой

Z ((О)

или графиком. В первом случае следует сначала представить Z ((О)

под­

аналитической зависимости Z «(о) является образование функции Z(p),

где

j(o)

заменено на р,

и проверка Z (р) на действительность и положи­

тельность.

Если

нули и полюсы функции Z (р) расположены на отрицательной

или rL.

j(o),

то эта функция реализуется в виде двухполюсника

гС

оси

р

=

Функция Z «(о)

при расположении ее нулей и полюсов на поло­

жительной вещественной оси реализуется двухполюсником LC, а если

ее нули и полюсы находятся в верхней полуплоскости ro или левой по­

Рассмотрим

=

j(o) ,

то двухполюсником rLC.

луплоскости р

тоты вида

гС. Пусть задана зависимость сопротивления от час­

Синтез цепи

(р + 2)

(р + 4)

Z (р) =(;+ 1 )

(р + 3) .

(6 . 30)

Последнее выражение есть правильная дробь, которая может быть

разложена

на простые:

р А

В

2р + 5

2р + 5

(р

+

1 )

(р

-

+ 1

+

р · + 3

p2 + 4P '1- 3

+ 3)

р

Для нахождения А умножим обе части

последнего равенства на

(

+

1)

и

положим

р =

-- 1 .

Получим

- 2 + 5

А

- 1 + 3

3/2 .

Отсюда

2р + 5

3 / 2

1 /2

(р + 1 )

(р + 3)

-

р +

1

+

р + 3

Z (р) = 1

+

3 /2

' +

1 ;2

=

1 +

I

2/3)

/3 ) + 2р + - 6

р +

р

+ 3

(

2

р + (

-

- р + 3

4

1- 2

-

-

2р +

. -

1

4

3

.,

т

TP-t :l

3

Последнему выражению соответствует

схема (рис. 6. 19, б). Полную

i)

Z (р).

можно получить включением сопротивления 1

Ом (рис.

6. 19, в).

Исходя из У (р)

I !Z

и

поступая

аналогично,

можно

ПОЛУ­

чить еще две эквивалентные= (р)схемы.

ч

Z

б

ч

1

!

J

!

OJ:t/

z

z:

с.tf6 . 1 9 ') tw

J

Ри

Рис. 6.20

Синтез реактивных двухполюсников.

Если

аналитическое выра­

явно

являющейся

функцией сопротивления реальной цепи реактивного д!>ухполюсника,

то число элементов, входящих в ДВУХПОЛЮСНИК, сразу устанавливается

по числу множителей в числителе

и знаменателе.

Общее число элемен­

тов на единицу больше общег(; числа

множителей

вищ\

ш2 - шk.

Остается выбрать схему соединенця и определить параметры элементов,

т. е. решить задачу реализации,

для чего следует преобразовать за­

данное выражение Z (ш).

Если нужно построить сложный двухполюсник последовательным

соединением контуров резонанса токов,

то выражение Z (ш) следует

разложить на простые дроби. Каждое слагаемое дроби будет представ­

лять сопротивление одного контура, а

целая

резонансной цепи или одиночного элемента.

Для построения сложного двухполюсника параллельным соедине­

нием резонансных ветвей следует воспользоваться выражением У (ш).

разложив его на простые дроби.

Тогда каждое слагаемое,

полученное

в результате такого разложения,

будет представлять собой проводи­

мость одной резонансной ветви или ветви с одним элементом. В первом

случае резонансы токов определяются резонансными частотами конту­

ров, входящих в схему, а перемежающиеся с

ний -- соотношениями между элементами L

и

С

всех

контуров. Во

втором случае, наоборот, резонансы напряжения определяются резо­

нансными частотами ветвей, а резонансы токов-соотношениM между

элементами L и С всей схемы.

Если в заданном выражении Z (ш) или У (ш)

сложного двухполюс­

ника выполнить деление и представить его в виде непрерывной дроби,

то соответствующие схемы будут иметь вид цепочек.

Предпочтение той

или иной схеме двухполюсника может быть отдано в зависимости от

значений параметров входящих в нее элементов и возможности их реа­

лизации.

Допустим, что необходимо построить реактивный двухполюсник

с

сопротивлением Z (ш) , график которого приведен на рис.

6.20, а. Со­

противление этого ДВУХПОЛlOCника обращается в нуль на частоте 002

=

200 и становится неограниченно большим на угловых частотах ш]

=

четIZ (<0)1ырех=элементов схемы (рис. 6.20, б) заданы четыре значения Z

(<о).

циональной дробью

Z (00)

= -jkoo ---(002 1002) (002 -3002)

тивление Z (w)

О

Разложим эту дробь на простые дроби:

002 -2002

А

В

002 _ 3002

- 1002

положим

W

= 100.

Тогда второе слагаемое правой части

будет

равно нулю н получим:

И

И

А

----

0

\

002

2002

002 -3002 =

'375 .

1

Точно

так

же для

определения

умножим обе части равенства

на

<02 - 3002

положим <о =

300.

Тогда

В

в

00

2 - 2002

3002

-2002

0 ,625 .