Учебник Каллер

32 1

Системная функция (8.21) может быть реализована в виде цепочеч­ ного соединения двух фильтров первого и второго порядка, для чего эту функцию представим в виде произведения двух системных функций:

Схема цифрового фильтра, соответствующая системной функции (8.22), приведена на рис. 8.9.

8.5. ТОЧНОСТЬ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.

ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕй В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ

ИИХ ОЦЕНКА

Вреализованном цифровом фильтре выходной сигнал отличается

от теоретически ожидаемого вследствие наличия специфических по­ грешностей, обусловленных операциями дискретизации и квантования,

выполняемых в процессе обработки аналогового сигнала. В цифровых фильтрах входной и выходной сигналы являются последовательностью чисел, представляемых с конечной точностью, которая определяется числом разрядов вычислительного устройства, выполняющего обра­ ботку входного СИГ\-lала. Это приводит к появлению особого рода по­

грешностеЙ. отсутствующих в аналоговых или дискретных устройст­ вах. Источниками этих погрешностей являются следующие факторы: квантование отсчетов входных сигналов, неточные (округленные) зна­ чения параметров (коэффициентов) фильтров, округление или усече· ние результатов промежуточных вычислений, а также так называемые

предельные циклы низкого уровня сигнала, поясняемые ниже. Кроме

того, вследствие конечной длины регистров в некоторых случаях в

цифровых фильтрах может возникать переполнение. Суммарная по­

грешность обработки сигналов, а следовательно, и точность цифровых

фильтров зависят от многих факторов: формы (канонической, прямой.

параллельной и т. п.) реализации фильтра, способа представления чи­

322

или отрицательным. В устройствах, использующих числа с плаваю­

щей запятой, диапазон представления чисел практически неограни­

с фиксированной запятой, далее будут рассмотрены погрешности, возникающие в цифровых фильтрах, использующих данный способ представления чисел.

Анализ погрешностей является очень важным этапом проектиро­ вания цифрового фильтра, поскольку на его основе выбирают число разрядов регистров, используемых для представления чисел и выпол­ нения арифметических операций.

Погрешности. связанные с кItантованием входного сигнала, усе­ чением или округлением результатов арифметических операций, как

правило, анализируют на основе модели цифрового фильтра с введен­

ными в нее источниками погрешностей, называемыми ш у м а м и о к­

е

р У г л н и я или квантования. На рис. 8. 1О приведена такая модель

хкурсивного (см. рис . 8.6). На этих рисунках квантованный сигнал

для нерекурсивного фильтра (см. рис. 8.2, а), на рис. 8. 1 1 - для ре­

(kT) на входе цифрового фильтра представлен в виде суммы дискрети­

еозированного неквантованногоJi сигнала х (kT) и шума квантования

(kT) (шума АЦП), е (kT) - погрешность на выходе j-ro сумматора,

g(k r)

:C(kT}

Рис. 8. 1 1

323

Для фильтра с импульсной характеристикой бесконечной длины

Очевидно, что выражение для выходного шума фильтра, вызван­

ного квантованием выборок входного сигнала, не зависит от струк­

туры фильтра, поскольку шум квантования проходит через весь фильтр.

Подставив в формулу (8.26) выражение (8.24), можно получить

оценку диапазона изменения выходного шума цифрового фильтра, обусловленную квантованием выходного сигнала, в виде

Из последнего выражения может быть определено число разрядов

АЦП, необходимое для представления выходного сигнала с требуемой

где iпt (В) означает наименьшее целое число, не меньшее числа В .

Определение числа разрядов АЦП является очень важным моментом построения цифрового фильтра, поскольку при большом значении r

практически невозможно или экономически нецелесообразно реали­ зовать АЦП.

325

лением или усечением результатов промежуточных вычислений, мо­

жет быть определена для нерекурсивных фильтров. При этом, как

тах \ е 11: (kT) \ <;;;(К + 1)

Из последнего выражения можно определить необходимое число раз­

рядов для представления выходного сигнала с требуемой точностью по аналогии с выражением (8.28). При рекурсивной реализации цифрово­

го фильтра (см. рис. 8. 1 1) составляющие шума от разных источников (умножителей) проходят на выход непосредственно и через петли об­ ратной связи . Поэтому диапазон изменения выходного шума, обуслов­ ленного данной погрешностью, определяется более сложными выра­ жениями, зависящими от структуры фильтра. В процессе проектиро­

вания цифрового фильтра при выборе формы реализации, позволяю­ щей выполнять требования к точности в каждом конкретном случае, погрешности рассчитывают аналогично рассмотренному ранее. Ре­ зультаты более глубокого анализа шумов округления дают основания

сделать вывод, что в большинстве случаев меньший уровень шумов обеспечивает каскадная форма реализации фильтра.

Погрешность, вызванная неточными значениями постоянных пара­ метров (коэффициентов) фильтра, также является следствием ограни­

ченного числа разрядов регистров, предназначенных для хранения значений коэффициентов. Поэтому полученные в результате расчета значения коэффициентов приходится округлять.

В резльтате этого фактические параметры фильтра несколько отли­ чаются от расчетных. Погрешности такого рода играют наибольшую

роль в рекурсивных фильтрах, где осуществляют многократные умно­

жения на константы. Поэтому в процессе разработки цифровых фильт­

ров обязательно исследуют влияние неточности параметров. Особен­

но это важно для фильтров высоких порядков, где такое влияние мо­

жет быть очень значительным. Поэтому обычно стараются такие фильт­ ры заменить параллельным или каскадным соединением звеньев пер­

вого или второго порядка.

округления результатов вычисления при малом входном сигнале.

Поясним это на примере. Рассмотрим рекурсивный фильтр первого

326

у, описываемый разностным уравнением: у (kT) = х (kT) -

-0,9 (kT - Т). Пусть на входе этого фильтра действует сигнал :

{\О при k =0

x (kT) = . О при k '7'=0.

Если результаты вычислений не округляются , то на выходе фильтра

получается последовательность + 10; -9; +8, 1 ; -7,29; +6,561; -5,8949; + 4,8054; -4,32486 ... Абсолютные значения выходного сиг­ нала убывают, стремясь к нулю. При округлении результатов, напри­ мер до целочисленных значений на выходе фильтра возникает последо­

вательность + 10; -8; +8; -7; +6; -5; +5; -5;+; 5-5 . . . Через вре­

мя 5Т после подачи входного сигнала на выходе фильтра устанавлива­

ются периодические колебания , амплитуда которых в данном случае равна 5. Такое явление очень нежелательно, так как оно приводит к появле­

нию паразитных колебаний на выходе фильтра, уровень которых может значительно превысить уровень шума квантования. Предельные циклы

обычно возникают с прекращением действия сигнала на выходе фильт­

ра. Поэтому существование таких циклов следует учитывать при раз­ работке систем передачи, в входных сигналах которых могут наблю­

даться паузы. Анализ предельных циклов низкого уровня весьма сло­

жен вследствие зависимости этого режима фильтра от структуры и

формы реализации.

Кроме предельных циклов низкого уровня, в цифровых фильтрах

погрешностей на выходе фильтра и даже может привести к периодичес­ кому изменению выходного сигнала фильтра между предельными зна­

фильтра вводят так называемые масштабные множители, нормирующие входной сигнал так, чтобы избежать эффекта переполнения регистров цифрового фильтра.

Все рассмотренные выше погрешности являются следствием ограни­

ченного числа разрядов регистра, используемых для представления

входного сигнала, выполнения арифметических операций и т. д. По­ этому для уменьшения этих погрешностей следует увеличивать число разрядов чисел , обрабатываемых фильтром. Однако это приводит к усложнению фильтров, что может сделать их применение экономически неоправданным или технологически неосуществимым. Поэтому прак­

тически цифровые фильтры реализуют на основе компромиссных ре­

шений, выбирая соответствующую структуру фильтра и число разря­ дов регистров вычислительного устройства, которые обеспечивают вы­

полнение требований, предъявляемых к точности обработки сигналов

цифровыми фильтрами.

327

ПРЕДМЕТНЫй УКАЗАТЕЛЬ

Указатель построен по принципу использования ключевого слова, в качестве

которого выбрано общее понятие «Фильтр:., «Параметр:.. Определение к этому слову приведено, как правило, после него: «Фильтр активный:. и т. д.

329

330