Учебник Каллер

лентны . Следовательно, порядок построения фильтра с ЧЗОС состоит

252

представлена в виде

(б.53}

Чем выше порядок фильтра n, тем больше элементов в его схеме и более резко осуществляется переход от полосы пропускания к полосе

зависимости к функции вида (6.53) - задача аппроксимации. Способы

приближения функции составляют особый раздел математики. По­ следняя располагает значительным числом решений задач подобного

типа.

При расчете фильтров в зависимости от конкретных требований,

предъявляемых к нему со стороны системы, элементом которой он яв­ ляется, применяют несколько видов приближения функции передачи

ная функция фильтра является комплексной и характеризуется моду­ лем и фазой . Свойства частотных фильтров пропускать или задерживать.

колебания различными частотами определяются модулем функции

передачи. При использовании максимально плоской аппроксимации модуль функции передачи фильтра аппроксимируется монотонной кри­

вой в полосах пропускания и задержйвания .

Для определения модуля функции передачи фильтра следует ис­ ключить из рассмотрения фазочастотную характеристику. Это можно

253

му, для того чтобы функция передачи была максимально плоской на

Определяемая выражением (6.56) функция называется функцией

Баттерворта , а фильтры с функцией передачи, построенной на ее ос­ нове - фильтрами Баттерворта.

Нахождение коэффициентов функцич передачи вида (6. 55) . модуль которой удовлетворяет выражению (6.56). приводит к многочленам, называемым м н о г о ч л е н а м и Б а т т е р в о р т а. Проиллю­

стрируем решение этой задачи на примере фильтра второго порядка.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра следует в выражение (6.37) подставить значение Ри = jQ . а затем пе­

комплексный коэффициент передачи фильтра Баттерворта второго по­

рядка имеет вид:

(6. 57)

Многочлены знаменателя и соответствующие им коэффициенты фильтров первого -Чf'твертого порядков приведены в табл. 6.3.

Равноволновая аппроксимация (Чебышева). Эту аппроксимацию

осуществляют на основе использования полиномов Чебышева. Ап­ проксимирующая функция в полосе пропускания фильтра имеет коле­ бательный характер с равными отклонениями от заданной функции и

монотонный - в области задерживания, что определяется свойствами

254

Фильтры, МОДУЛЬ функции передачи которых определяется выра­ жением (6.59), называют о б р а т н ы м и (и н в е р с н ы м и ) фильт­

волнового характера приближения аппроксимирующей функции к за­ даиной в полосе пропускания и в области задерживания фильтра, для чего \ : I С П ОЛ ЬЗУЮТ эллиптические функции Якоби.

Выражение функции передачи фильтра, построенного на основе эллиптической аппроксимации, аналогично выражению для обрат­ ного чебышевского фильтра. Определение коэффициентов многочленов числителя и знаменателя является очень сложной задачей. Коэффи­

циенты для фильтров различных порядков для некоторых значений не­

равномерности затухания в полосе пропускания и области задержива­

ния приводятся в справочниках.

Аппроксимация функций передачи фильтров верхних частот и по­ лосовых также может быть осуществлена на основе использования указанных выше функций соответствующим частотным преобразова­

256

предъявляемых к фильтру со стороны системы, элементом которой он

является. Можно, однако, сделать несколько общих замечаний отно- .

сительно различных видов аппроксимации. У фильтров Батгерворта меньшая, чем у фильтров Чебышева или эллиптических фильтров то­ го же порядка, крутизна нарастания затухания в области задержива­

ния, однако они имеют максимально плоскую характеристику в поло­ се пропускания. В тех случаях, когда можно допустить некоторую не­

равномерность затухания в полосе пропускания за счет увеличения крутизны нарастания затухания в переходной области, предпочтитель­ ны фи.IlЬТРЫ Чебышева или же эллиптические, обладающие лучшими

свойствами , чем чебышевские, однако более сложные в реализации .

Если необходимо обеспечить значительную крутизну нарастания зату­

хания в переходной области и плоскую характеристику в полосе про­ пускания фИJlьтра, то используют обратные фильтры Чебышева.

Помимо модуля функции передачи, важными характеристиками

фильтра являются фазочастотная и переходная. Известно, что усло­

вием отсутствия фазочастотных нскажений является линейность фазо­

частотной характеристики системы передачи. Фазочастотная характе­ ристика фильтров, построенных на основе рассмотренных видов ап­ проксимации , тем больше отклоняется от линейной, чем ближе модуль

функции передачи их к идеальной. С этой точки зрения , чем выше поря­

док фильтра, тем значительнее отличается его фазочастотная характе­ ристика от линейной. С другой стороны, фильтры Чебышева имеют

худшую фазочастотную характеристику. чем фильтры Батгерворта,

при том же числе элементов, а эллиптические - худшую, чем фильтры

Чебышева.

Временная переходная характеристика фильтра представляет собой

реакцию на единичное ступенчатое воздействие. Чем ближе модуль

функции передачи к идеальной, тем больше время установления и коле­

рательность процесса на выходе фильтра. Фильтры Баттерворта имеют меньшее время установления и амплитуду колебаний переходной ха­ хактеристики, чем фильтры Чебышева и эллиптические. С увеличением неравномерности затухания в полосе пропускания также возрастает

время установления и колебательность процесса на выходе фильтра.

6.9. КОРРЕКТОРЫ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Корректорами амплитудно-частотных характеристик называют че­

тырехполюсники, включаемые в тракт передачи сигналов для устра­ нения амплитудно-частотных искажений (см. рис. 6.5). Эти четырехпо­ люсники могут быть и неполными. В частности, плавное уменьшение

затухания с увеличением частоты можно получить 'по схеме, приведен­ ной на рис. 6.25, а, если подобрать двухполюсник так, чтобы его со­

противление Zl «О) уменьшалось с повышением частоты в заданном диазоне.

В простейшем случае таким двухполюсником может быть конден­ сатор. Увеличивая или уменьшая его емкость, можно регулировать

крутизну кривой затухания. Лучшую кривую затухания можно полу-

257

Два сопротивления: одно, образованное последовательным, а дру­

гое - параллельным соединением активного сопротивления с реак­

тивным оказываются взаимно обратными и в том случае, если реак­

тивные сопротивления сколь угодно сложны, но удовлетворяют усло­

вию '1'2 = Х1Х2 = R2•

При подборе элементов схемы корректора мы сталкиваемся с зада­ чей аппроксимации, решаемой совместно с задачей реализации.

Для аппроксимации функции eg = 1 + (Zl/R) следует задать зна­

чения затухания на различных частотах и получить необходимое чис­

ло уравнений для определения всех элементов двухполюсника сопро­

тивлением ZI' Чем точнее должна быть реализована кривая затухания,

тем более сложными должны быть взяты сопротивления Zl (ro) и

Z2 (ro). Корректоры амплитудно-частотных характеристик строят так­

же по мостовой или скрещенной схеме.

Сопротивления плеч моста ZlM и Z2M' эквивалентного схеме, при­

веденной на рис. 5.4, с сопротивлениями ZI и Z2 определяют по соот-

смотрим порядок расчета корректора на простом примере. Для опре­ деленности предположим, что исходя из заданной кривой затухания в

качестве Zl выбрано параллельное соединение активного сопротивле­ ния и конденсатора (рис. 6.34, а). Затухание такой схемы уменьшает­

ся с частотой и конечно на частоте ro = О (рис. 6.34, 6). В этом случае

I 1. J' -,]

(6.61 )

T Хl

Затухание определяется из формулы (5.20), заменяя в ней Zl вы­

Дл я расчета требуемых значений элементов корректора следует, задавшись затуханиями на двух частотах. определить '1 и C1 схемы. Подставляя заданные значения затухания и частоты в выражение

(6.62), можно получить два уравнения, необходимые для вычисления

'1 и C1· Уравнение (6.62) определяет модуль комплексного числа, что

затрудняет вычисления.

Наибольшее затухание корректор оказывает токам с нулевой часто­ той. Оно определяется соотношением

где ао - затухание на частоте 00 = О .

Затухание ао и сопротивление R следует считать заданными. Со­ противление '! определяется сразу:

После определения k = 'IС1 элементы корректора рассчитывают по

формулам:

(6.68)

Строят кривую затухания по формуле (6.63) и сопоставляют ее с заданной. Если расхождения между этими кривыми в рабочем диапа­ зоне частот превышают допустимые по условиям задачи, то выполняют новый расчет для более сложной схемы.

При проектировании корректоров имеются две возможности. Пер­

вая - построить однозвенный корректор с достаточно сложными многоэлементными сопротивлениями ZI ( ы) и Z2 (ro), которые скоррек­ тировали бы амплитудно-частотную характеристику (частотную зави­ симость затухания) всего тракта передачи сигналов. Вторая - исполь­ зовать несколько одинаковых звеньев невысокого порядка, каждый

из которых корректирует часть тракта, и соединить их цепочечно.

260