Рассмотренные в этой главе приемы определения искажений сигна
лов при прохождении их через системы передачи с различными харак-
теристиками являются основой специальной дисциплины, называемой
обычно теорией систем.
В этом параграфе мы рассмотрели приемы определения BpeMeHHblx
характеристик электрических фильтров. Эти приемы весьма разнооб разны и в подавляющем большинстве достаточно сложны. Объем не
обходимых вычислений во всех случаях резко возрастает с усложнением схемы фильтра . Этим и объясняется наличие многих приемов, разли
чающихся детальностью учета исходных данных.
Развитие автоматики, телемеханики и связи идет по пути исполь зования все более и более сложных фильтров, в связи с чем возрастает роль методов, заключающихся в замене реальных амплитудно- и фа
зочастотных характеристик фильтров идеализированными, BpeMeHHbIE характеристики для которых определяются более просто.
Наряду с представлением характеристик в виде, показанном на рис. 7.36, 7.37, и 7.38, широко ипользуют также метод, основанный на замене логарифмических амплитудно-частотных характеристик асимптотическими характеристиками, образованными отрезками пря мых. Этот последний метод нашел особо широкое применение в теории автоматического регулирования и хорошо разработан. В справочной литературе можно найти большое количество таблиц и графиков, поз воляющих относительно просто и быстро получать приближенные вре MeHHbIe характеристики фильтров и других четырехполюсных цепей, амплитудно-частотные характеристики которых представлены ломаны ми прямыми.
Глава 8
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
8. 1 . ПОНЯТИЕ О ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ GИГНАЛОВ.
ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Цифровую обработку сигна.'10В проводят с целью оценки их пара метров или преобразования в другую форму средствами вычислительной техники. Достигнутый в настоящее время уровень технологии поз
воляет создавать устройства цифровой обработки сигналов с высокими быстродействием и надежностью, малыми габаритными размерами и
низкой стоимостью. Это способствует расширению областей примене ния цифровой обработки сигналов, которую используют при автомати ческом регулировании процессов в промышленности и на транспорте. Устройства, осуществляющие линейную фильтрацию сигналов цифро выми методами (т. е. с использованием средств цифровой вычислитель
Ц
ной техники), получили название |
и Ф р о в ы х Ф и л ь т р о в. |
Если определена функция передачи |
F (z) цифрового фильтра, свой |
ства которого повторяют' свойства аналогового фильтра-прототипа с функцией передачи F (р), то по ней просто строится каноническая
схема, которую можно рассматривать как алгоритм обработки сигнала.
Цифровую фильтрацию сигналов осуществляют на основе выполнения операций только трех типов: задержки, сложения и умножения. По
этому алгоритм цифровой обработки может быть реализован двумя
способами: универсальной ЭВМ, выполняющей цифровую обработку по
специальной программе, или специализированным вычислительным
устройством, выполняющим только три указанные выше операции.
Первый способ реализации алгоритма цифровой фильтрации называют
программным, второй - аппаратурным.
П р о г р а м м н ы й способ реализации эффективен при модели ровании различных систем цифровой обработки сигналов, так как поз
воляет легко изменять алгоритм фильтрации . Цифровые фильтры,
предназначенные для работы в системах автоматики, телемеханики и
связи, должны обрабатывать сигналы в реальном масштабе времени,
т. е. за время, не большее периода дискретизации входных сигналов,
что является их особенностью. Использование универсальных ЭВМ
для этих целей практически невозможно из-за их |
сравнительно низ |
кого |
быстродействия и |
значительной стоимости. |
А п п а р а т у р |
н а я |
реализация цифровых фильтров основана на использовании циф |
ровых интегральных схем, представляющих собой регистры сдвига, сумматоры, умножители и т. п. Она стала возможной в связи с появле нием в последние годы больших интегральных схем, имеющих большие
функциональные возможности и высокое быстродействие.
По сравнению с аналоговыми цифровые фильтры имеют ряд досто инств, к которым относят высокую стабильность параметров, простоту
изменения характеристик, хорошую их повторяемость в процессе про изводства. При использовании цифровых фильтров не возникает задачи согласования нагрузок, они могут работать в диапазоне от сверхниз ких частот до частот, измеряемых мегагерцами. Вместе с тем цифровым
фильтрам присущи и некоторые специфические особенности, обуслов
ленные цифровым характером обработки сигналов.
Цифровые фильтры используют в системах управления различными объектами и процессами, где алгоритмы обработки могут быть настоль
ко сложными , что аналоговыми устройствами реализованы быть не
могут. Другая важная область применения цифровых фйльтров - это
обработка низко- и инфранизкочастотных сигналов, когда использо
вание аналоговых устройств затруднено из-за больших габаритных
размеров катушек индуктивностей и конденсаторов. Области приме
нения цифровых фильтров будут непрерывно расширяться в связи с по
явлением и широким Праспро., странением микропроцессоров, специали зированных БИС и т. уменьшением их стоимости и повышением быс
тродействия .
На железнодорожном транспорте цифровые методы обработки сигна
лов, и в частности цифровые фильтры, смогут найти применение в пер
спективных системах связи, например в устройствах сопряжения систем
передачи с частотным и BpeMeHHbJM разделениями каналов (транс мультиплексорах), во вновь разрабатываемых устройствах железнодо
рожной автоматики.
8.2. ЛИНЕйНАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА.
НЕРЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Понятие фильтр будем использовать в широком смысле как уст
ройство для обработки сигнала заданным способом. Как отмечалось,
частотные фильтры, пропускающие определенные полосы частотных составляющих , являются одной из разновидностей фильтров.
Поскольку цифровой фильтр обрабатывает сигналы на основе ис
пользования вычислительной техники, то сигнал, поступающий на вход вычислительного устройства, должен быть цифровым, т. е. дис кретным и квантованным. Как правило, исходный , подлежащий обра
ботке сигнал является аналоговым, поэтому на первом этапе цифровой обработки его преобразуют в пифровой дискретизапией и квантова
|
|
|
|
|
|
нием , |
что |
осуществляет устройство, |
|
называемое а н а л о г о-ц и ф |
р о в ы м |
п р е о б р а з о в а т е л е |
|
(АЦП). |
Д |
и с к р е т и з а и я |
представляет собой замену непрерывного во |
|
м |
|
Ц
времени сигнала последовательностью отсчетов (выборок), взятых че
рез определенные интервалы времени. Ранее отмечалось, что дискре тизация должна осуществляться с частотой, достаточной для сохра
нения точности представления непрерывного сигнала. |
К в а н т |
0- |
в а н и е - это замена |
|
|
|
выборок напряжения дискретного сигнала, каж- |
.дая из которых может принимать бесчисленное множество значений,
выборками напряжения , принимающими одно из конечного числа зна-
ЗI З
чениЙ. Квантование эквивалентно округлению |
числа |
при |
вычислениях |
и должно осущест |
вляться с |
необходимой |
для решения задачи |
точностью. |
В результате выполнения опера |
ций дискретизации и квантования сигнал на |
выходе АЦП есть последовательность выборок |
сигнала, представленных |
в виде, |
пригодном |
для |
обработки вычислительным |
устрой- |
ством. |
|
|
|
|
Квантование отсчета (выборки) можно рассматривать как появление
в тракте обработки сигнала некоторой помехи, максимальное значение
которой не превышает половины шага квантования. Последнее можно
представить схемой (рис. 8.1), где инв (kT) - квантованное значение выборки; и (kT) - погрешность представления выборки сигнала
и (kT), обусловленная квантованием. Если погрешность квантования
пренебрежимо мала, то wожно считать, что филЬТр осуществляет пре
образования точных значенийД выборок дискретизированного сигнала.
Такой фильтр называют и с к р е т н ы м. Если требуется учет по
грешности, вызванной квантованием выборок дискретизированного
аналогового сигнала, то возникновение и преобразование этой по
грешности цифровым фильтром следует рассматривать совместно с пре
образованием квантованных отсчетов, пользуясь при этом представ
лением выборок сигнала, показанным на рис. 8. 1 .
Таким образом, в обоих случаях можно рассматривать прохожде
ние через фильтр последовательности отсчетов дискретного сигнала. При этом, как отмечалось в главе 1 , для цепей, находящихся под воз
действием дискретных сигналов, можно использовать те же характери
стики, |
что и для аналоговых цепей . Реакцию цепи на единичный им |
пульс |
называют |
и м п у л ь |
Й х а р а к т е р и с т и к о й |
ц е п и. |
|
она представляет собой непрерыв |
Для аналоговых цепей С Н О |
|
ную функцию G (t). |
Если единичный импульс |
|
|
х (kT) = () (kT) c { |
при k = O |
|
|
О1 при k =1= О |
подать на вход цифрового фильтра, то сигнал на его выходе будет пред ставлять собой дискретную последовательность значений, следующих с
интервалом Т, называемым и н т е р в а л о м |
Д |
и с к р е т и з а |
Ц |
и и. |
Этот сигнал является и м п у л ь |
С Н |
о й |
х а р а к т е р и |
|
к о й ц и Ф р о в о г о Ф и л ь Т р а. |
|
|
|
с т и |
|
|
|
|
|
При воздействии на цепь с импульсной характеристикой G (kT) сигналом, представляющим собой последовательность значений х (kT),
выходной сигнал по аналогии с интегралом свертки |
(1 . 1 4) |
определя |
ется дискретной сверткой: |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
У |
|
k |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(kT) c |
|
(IT) G (kT - 1Т) = |
х |
[(k - l) Т] G (lT) . |
(8 . 1 ) |
|
/ = 0 |
|
|
|
|
/ = 0 |
|
|
|
|
|
Формула (8. 1) |
определяет значение k-й выходной выборки. Для на |
хождения выходного сигнала |
ее следует применить многократно для |
последовательного вычисления |
у |
(О); |
У |
(Т); |
У |
(2Т) и |
т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fJ(Jtj |
и,(е)=x(t) |
+ y(kТ)=fj(1IТ} |
Рис. 8.2 |
Рис. 8.3 |
Реакция фильтра на единичный импульс:
У (kT) = G (kT) = |
k |
х |
|
g |
|
k |
|
g |
|
|
((k - l) Т] |
(/Т) = |
|
6 ((k - l) Т] |
(IT) . (8 . 2) |
/=0 |
|
|
/=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если реакция фильтра на единичный импульс представлена конеч вным числом отсчетов, то G (kT) состоиту из конечного числа членов К.
этом случае и реакция фильтра (kT) на сигнал, представляемый
конечным числом отсчетов х (kT), имеет конечное число отсчетов. Так,
например, при |
К = 3 импульсная характеристика фильтра определя |
ется четырьмя |
значениями: |
|
|
|
у (kT) = G (kТ) = 6 (kT) (O) -j6 l(k - l ) Т] g (Т) + 6 ((k -2) Т] g (2Т) + |
|
-+-6 |
((k -3) Т) (3Т) . |
(8 . 3) |
Последнему |
соответствует |
|
выражению |
схема (рис. 8.2), которая |
|
g |
|
g
входную последовательность отсчетов х (kT) преобразует в выходную
(kT) и представляет собой дискретный фильтр с импульсной характе ристикой G (kT). Эта схема является также моделью цифрового фильт
ра , в которой не учитываются погрешности квантования.Такую модель |
у |
|
и н е |
й н о й. |
На схему, приведенную на рис. 8.2, можно |
называют л |
|
смотреть и |
как на форму |
представления алгоритма преобразования |
х (kT) в |
(kT) в |
соответствии с выражением (8. 1). Рассмотренный |
фильтр |
не |
имеет |
цепей обратной связи и называется н е р е к у р |
у
с и в н ы м.
Для практической реализации нерекурсивного фильтра импульс
ная характеристика G (kT) должна представлять собой последователь ность с конечным числом членов.
Если импульсная характеристика содержит бесконечное число от
счетов, быстро убывающих по значению, то можно, отбросив отсчеты с
малыми значениями, ограничиться конечным их числом . Если же отсчеты импульсной характеристики не убывают по значению, то не
рекурсивный фильтр реализовать невозможно.
Р |
Пусть, |
наПРИ\iер , необходимо создать цифровой фильтр, |
эквива |
|
Р |
О Т О Т Н |
|
|
|
|
|
вид: |
|
|
Тее- |
лентный цепи (рис. 8.3), |
которую в этом случае называют |
Ф и л ь |
|
о м-п |
|
|
П о м. |
Такая цепь была рассмотрена в § |
1 . 1 , а |
импульсная характеристика (см. |
§ |
1 .5) |
имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
r |
|
- t |
a e - a,t . |
|
|
|
|
|
|
|
и) = L |
е |
Lr |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
Импульсная характеристика дискретного фильтра: |
(8.4) |
|
G (kT) = а e - akТ; k = O , 1 , 2 . |
Как |
она содержит бесконечное число отсчетов. |
Соответст |
вующий фильтр можно построить двумя способами: |
|
счеты, |
ВИДНО, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
рекурсивный |
|
фильтр |
(см. рис. 8.2), |
где G (О) |
а; G (Т) |
|
|
G (2Т) |
= |
ае-2ат ; |
G (3Т) |
|
|
-3а |
|
и т. д. ; |
|
|
|
|
|
|
|
охарактеризовать |
цепь дифференциальным |
уравнением, |
|
которое |
(см. |
§ |
1 .2) |
имеет вид: |
|
= |
|
-ау |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ae-аТ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy/dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ae |
|
|
Т |
+ |
ах; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и перейти от него к разностному. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
|
В § 1 . 1 , переходя |
к разностному |
уравнению, |
мы |
заменяли |
|
на |
|
|
|
a =r/L |
|
|
|
([г |
U [(k -+- I) т] - и (kr) |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
аи |
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
а в теории цифровои фильтрации dГ |
заменяют |
на |
U (kT) - U «k - I) Т] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом дифференциальное уравнение (8.5) переходит в разностное: |
|
|
|
|
|
|
у (kT) |
аТу (kT) =y [(k- I) Т] +аТх (kT) ; |
|
|
|
(8 .6) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (kn = |
|
l + T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+[(k - I) Т] + аТх (kT) = ay [(k - I\ Т] + Ьх (kT) . |
|
Имея в виду, что аТ - малая величина, |
1 + |
аТ можно рассматри |
вать как |
приближенное представление е |
|
|
|
1 +аТ |
|
(аТ)2 |
|
+ ... и |
а = |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
положить |
|
|
|
|
при |
|
= |
аТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент х (kT) |
|
обеспечивает физическую экви |
валентность |
|
при |
замене |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
х (t) последова |
|
непрерывного воздействия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
импульсов с амплитудами х (kT). Таким |
должен |
быть ко |
тельностью |
|
|
e-аТ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эффициент |
|
при дискретной фильтрации. |
При цифровой обработке |
заменить бесконечную последовательность конечной, отбросив от значением которых можно пренебречь, и построить по ней не
сигналов физическое значение импульсов несущественно, множитель Т |
Ь |
|
в выражении коэффициента |
является масштабным и может быть при |
нят равным единице и тогдаЬ |
а. |
Уравнение (8.6) можно переписать в виде |
|
Ь = |
(8.7) |
у (kn =e -аТ у [(k - J) Т] + ах (kT) . |
|
Выражению (8.7) соответствует схема (рис. 8.4). При подаче на ее вход сигнала
|
|
|
(kT) = { |
О1 |
|
|
k |
о |
|
|
х (kT) = |
|
|
|
k =1=0 |
|
на выходе последовательно будут получаться: |
|
|
|
|
б |
|
|
при |
|
|
- 2r . t Т . |
|
(О) = О (О) = а ; у (Т) = О (Т) |
|
|
|
у |
|
|
у |
= a e-аТ; |
при(2Т) = О (2Т) = а e |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматри ваемый фильтр имеет |
X{kТ) |
Y(kT) |
требуемую импульсную характер и |
сти к у . |
У него есть цепь |
обратной |
|
ОСТ |
|
и л ь т р . |
р |
|
|
|
связи и он представляет собой так |
|
е 9[(k-1)1'j _ |
называемый |
|
е к у р с и в н ы й |
|
Ф |
|
|
Этот фильтр |
эквива |
|
Т |
лентен |
нерекурсивному |
фильтру |
|
Рис. 8.5 |
(см. рис. 8 . 2) . Однако, как видно из рис. 8 . 4, схема и соответственно алгоритм рекурсивного фильтра пр още,
чем нерекурсивного. Так, для определен ия одного значения выходного снгнала для нерекурсивного фильтра требуется выполнить 2К операций,
а для рекурсивного - только две операци и . Поэтому если импульсная
хар актер истика цифрового (дискретиого) фильтра должна иметь боль
шое число отсчетов , то целесообразно использовать рекурси вные схемы .
Нерекур сивную схему следует применять при реализации фил ьтров с импульсной характеристикой, содержащей небольшое число отсчетов . В техни ческой литературе, посвященной цифровым и дискретным
фильтрам, использована и другая терминологи я : фильтры с конечной импульсной характер истикой ( КИ Х -фильтры) и с бесконечной им
пульсной характеристикой (БИХ-фильтры) . Любой реальный нере курсивный фил ьтр является и КИХ -фильтром . Рекурсивные фильтры.
как правило, есть БИХ -фильтры , однако возможно построение рекур
сивных фильтров, представляющи х собой КИ Х -фильтры .
8.3. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
И КАНОНИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
.
|
|
главе |
|
при рассмотрении |
способов представлен ия сигналов и |
характер истик цепей было показано, |
что в дискр етном случае пр еобра |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (t) |
в (р), соот |
зованию Лапласа, |
переводящему функции времени |
ветствует z-преобразование, |
переводящее х |
(kT) |
в |
|
|
|
(z) , |
где |
z |
= |
еРТ• |
|
|
|
|
J |
|
|
|
Zl |
= е-РТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
Физически оператору |
|
соответствует |
|
|
Х |
|
|
|
|
на |
время Т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим |
z-преобр азование |
к |
разностному |
|
уравнению |
|
(8 . 7) : |
|
|
|
|
|
|
|
у (kT) = e- а,Т z - 1 |
у |
(kT) +ax (kТJ . |
|
|
|
|
|
|
(8 .8) |
|
Соответств ующая |
выражению |
(8 . 8) схема приведена на рис. |
8 . 5 . |
Применяя к |
этой схеме правило определения передаточной функции |
цепи с |
обратной |
связью, |
найдем : |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ух (kT) |
|
|
|
а |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) = |
= l _z - 1 |
e -а,Т |
|
|
|
|
|
|
(8 . 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(kT) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция (8 .9) и схема , при веденная на рис. 8 . 5, |
|
представляют собой |
фильтр |
первого |
|
порядка. |
Функция |
F (z) |
является |
рационал ьной |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
дробью |
относительно z и |
называется |
|
с и с т е м н о й |
и л и |
|
п е р е |
|
а т о ч н о й |
|
Ф у н к ц и е й |
фильтра . |
Более |
|
|
сложные фильтры |
имеют и |
более сложные характеристики . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(ffТ)
Рис. 8.4
Рис. 8.6
в |
в общем по аналогии с F (р) ФУНКЦИЮ F (z) можно представить |
виде |
|
(8. 10) |
По аналогии с каноническими схемами передающих цепей, рас смотренными в § 2.24, составим каноническую схему цифрового (дис
кретного) фильтра третьего порядка (рис. 8.6) с характеристикой
(8 . 1 1 )
Для пояснения ее действия введем промежуточную переменную и.
Из условия равновесия для левого сумматора найдем:
Выход У (z) в=свою очередь равен U (ЬО + Ь1 Z-1 + Ь2 Z-2 + Ь 3 г3) . Orсюда F (z) У (z)/X (z) дает выражение (8. 1 1) .
Очевидно, что для построения цифровых фильтров могут быть ис пользованы и другие канонические схемы, и, в частности , схемы кас
кадного и параллельного соединений нескольких фильтров первого или второго порядка.
8.4. ПРИЕМЫпо ПОСТРОЕНИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ЗАДАННЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Как отмечалось, задача построения нерекурсивного фильтра по
заданной импульсной характеристике решается просто. Однако чаще бывает задана его частотная (или операторная) характеристика. По скольку методы аппроксимации желательных характеристик частот ных фильтров рациональными функциями передачи F (р) с максималь но плоскими и равноволновыми характеристиками хорошо разработаны
(см. § 6.8), то будем считать, что требуемая характеристика задана
функцией F (р) вида
(8 . 12)
Она является характеристикой аналогового фильтра-прототипа.
Задача заключается в переходе от функции F (р) к функции (z). По
F (z), как было показано, |
строится одна из канонических схем, чем и |
|
F |
определяется алгоритм работы цифрового фильтра. |
Сложность перехода от |
(р) к (z), несмотря на сходство формул |
(8. 10) и (8. 12), заключается в однозначном соответствии функции F (р) |
F F
диф:реренциальному уравнению, а функции F (z) разностному урав
нению. При переходе от дифференциального уравнения к разностному
меняются значения коэффициентов, как это было видно из рассмотрен
ного в § 2.8 простого |
примера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ко ициент а |
|
в диф:реренциальном уравнении преобразовался в |
е-ат, |
F (р) = - в F (z) |
= |
|
a |
|
. |
В |
ряде |
простых случаев |
|
a |
T |
|
|
р + а |
|
|
|
|
|
г - е |
|
|
|
[- |
|
|
|
|
|
таблицей |
|
|
|
между |
и z-преобра |
можно пользоваться |
соответствий |
зованиями (см. табл. |
1 .2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
F (р) можно разложить на простые дроби вида |
Иногда функцию |
а/(р |
|
а) и воспользоваться |
известными соответствиями, но в боль |
шинстве практически важных случаев приходится искать другие прие |
мы преобразования |
|
(р) в |
|
(г). |
|
|
|
|
|
|
|
|
На практике применяют так называемое билинейное z-преобразова |
ние, |
при котором |
используют подстановку |
|
|
|
|
F |
|
F |
|
2 |
г - I |
|
|
|
|
(8. 13) |
|
|
|
|
|
|
р |
- |
г + 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
т |
|
|
|
|
|
|
|
Это преобразование было найдено формально математически при поисках способа преобразования комплексной плоскости р в плоскость г. Пояснить его можно так. Заметим, что частотные характеристики
дискретных фильтров, как и спектры дискретных сигналов, периодич
ны. Проиллюстрируем это на примере простого нерекурсивного фильт
ра (рис. 8.7, а). Для него
|
|
|
|
y (kT) =x (kТ) |
(gO + gl z-l); |
|
|
|
|
|
|
|
F |
(z) = Y /X =gO + gl z- l . |
|
|
(8 . 14) |
|
|
|
|
|
(ю) = go= |
|
gjoo,l е - i'·IT . |
|
|
|
Имея в виду, что z = еРТ и р |
|
получим: |
|
|
|
|
Выражение (8. 14) содержит два слага мых: вектор go, направленный) |
вдоль вещественной оси, и вращающийся вектор gle-iroТ• Модуль |
функции |
|
|
F |
+ |
изменяться от go |
+ |
gl до go - gl |
(рис. |
8.7, |
|
(00) будет периодически |
|
|
|
|
|
б). |
|
|
|
|
F (р) к функции |
|
Таким |
образом, задачу перехода от функции |
F |
(г) |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно сформулировать как задачу перехода от непериодической |
частотной характеристики к периодической. Характеристика ДО.1Jжна повторяться далеко вне рабочего диапазона частот. Это легко дост и
гается выбором периода дискретизации соответственно малым (см. |
рис. 8.7, |
б). И поскольку повторение характеристики происходит вне |
рабочего |
диапазона, как она повторяетсябезразлично. |
3\9 |
|
|
(J)l
Рис. 8.7 |
Рис. 8.8 |
|
|
|
Т |
|
|
Рассмотрим теперь функции |
IF (р) I = ар 2 р , IF «(J)) 1 = 2 |
(J). |
Пусть |
рабочий диапазон кончается в точке (J)l' Введем теперь периодичность,
.заменив IF «(J)) I |
|
Т |
(J) на IFпер «(J)) |
|
|
Т |
(J) |
( |
1 |
= 2 |
1 = |
tg |
2" |
|
|
|
|
|
|
рис. 8.8). В рабочем диа- |
пазоне частот, |
т. |
е. |
при (J) < (J)l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8 . 1 5) |
Равенству (8. 15) |
соответствует соотношение |
|
|
|
|
|
рТ |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
th -2- = р |
?: , |
|
|
(8 . 16) |
|
|
|
|
|
рТ |
|
_ рТ |
- |
|
но th |
2 |
= |
е |
2 |
+ е |
2 |
|
рТ |
|
рТ |
рТ |
- е |
|
|
- |
|
е |
2 |
|
2 |
|
и , следовательно.
2 z - I
Т z - + I = P .
Из рис. 8.8 видно, что вблизи происходит расхождение между х и tgx. Его можно уменьшить введением преобразования масштаба частот:
|
|
|
2 |
ООц Т |
|
|
(8. 1 7) |
|
|
|
OOa = - tg |
2 |
, |
|
|
- |
|
Т |
|
|
|
|
где ООа |
частота среза аналогового Фильтра-прототипа ; |
|
ООц |
частота |
цифрового фильтра, |
на |
которой |
характеристики |
фил ьтров |
|
- |
дол жны |
совпадать. |
|
|
|
|
|
Как видно, |
при tg х = х выражение (8. 17) |
дает (J)o = (J)ц. |
В соот |
ветствии с выражением (8. 1 7) следует пересчитывать частоты среза и
С учетом сказанного, а также, имея в ВИДУ, что F (z) должны быть пред
частоты, на которых должно гарантироваться определенное ослабление.
ставлены в виде функции от z-l, дробно-рациональное преобразование
(8. 15) дЛЯ ФНЧ имеет вид:
= 1' |
1 |
-z |
- 1 |
--- |
|
l - +z |
- 1 |
|
|
