Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ

Пример.

Решение

1.Решение операторным методом в замкнутой форме Операторная схема замещения

52

2.Приближенное решение с помощью ряда Фурье Входная проводимость (комплексная функция цепи)

Цепь имеет следующие непрерывные характеристики (АЧХ и ФЧХ):

Дискретный амплитудный и фазовый спектры входного сигнала согласно (7.10):

Действительно, при умножении H(jk!1) на входной сигнал мы перемножаем модули (т.е., умножаем АЧХ на амплитуду входного сигнала) и складываем фазы (т.е., складываем ФЧХ с фазой входного сигнала).

Получив дискретные амплитудный и фазовый спектры, можно подставить их в формулу для обратного преобразования и получить приближенный результат в незамкнутой форме.

Замечание. В заключение заметим, что метод рядов Фурье имеет свои достоинства. Во-первых, при решении этим методом не требуется производить преобразование Лапласа; мы оперируем только АЧХ и АФХ, что проще. Во-вторых, корни характеристического уравнения искать не нужно. (При степени характеристического уравнения выше 4 поиск корней представляет известную трудность). Есть и существенный недостаток: точность приближения реакции цепи рядом Фурье оценить невозможно.

53

8Анализ линейных пассивных цепей в области непрерывной мнимой переменной p = j! (частотный метод)

8.1Постановка задачи. Спектральное представление апериодических сигналов. Преобразование Фурье

8.1.1Спектральное представление апериодических сигналов. Преобразование Фурье

До сих пор, если на входе цепи действовал апериодический сигнал, мы применяли один из двух методов решения:

классический метод (анализ в t-области);

операторный метод (анализ в p-области).

Символический метод и метод рядов Фурье в этом случае, естественно, неприменимы.

Возникает мысль объединить операторный метод с анализом в частотной области. Такой метод существует, и он основан на преобразовании Фурье.

Пусть входной сигнал f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости:

Z +1

jf(t)jdt < 1;

1

тогда его изображением по Фурье называется функция

Z 1

F[f(t)] = F (j!) = f(t)e j!t dt: (8.1)

0

В этом методе в качестве независимой переменной используется p = j!. Сравним с преобразованием Лапласа:

Z 1

L[f(t)] = F (p) = f(t)e te j!t dt:

0

Легко видеть, что преобразования Фурье и Лапласа отличаются лишь гасящим множителем e t. Из отсутствия гасящего множителя при преобразовании Фурье вытекает необходимость абсолютной интегрируемости сигнала; при преобразовании Лапласа гасящий множитель обеспечивает сходимость для всех экспоненциально ограниченных сигналов. Поэтому, например, по Лапласу можно преобразовать e t sin !t, а по Фурье — нельзя1

Зато преобразование Фурье имеет то достоинство, что переводит сигнал в частотную область, где его можно разложить на амплитудную и фазовую составляющие:

F (j!) = F (!)ej'(!):

Это позволяет оперировать такими же частотными представлениями, которые мы использовали при рассмотрении метода комплексных амплитуд.

Сравним методы, работающие в комплексной области (преобразование Фурье, преобразование Лапласа, метод комплексных амплитуд). Преобразование Лапласа переводит полуось времени t > 0 в комплексную полуплоскость, преобразование Фурье — в множество точек на мнимой оси2, а метод комплексных амплитуд

— в одну точку на комплексной плоскости (рис. 8.1).

Обратным преобразованием Фурье функции F (j!) называется функция

Это преобразование хорошо, во-первых, тем, что интегрирование производится в вещетвенной области; вовторых, оно дает конечный результат в замкнутой форме (в отличие от рядов Фурье).

Таким образом, мы определили способы перехода от независимой переменной t к независимой же переменной p = j! и обратно.

1Строго говоря, незатухающие неабсолютно интегрируемые сигналы типа 1(t), t 1(t), sin !t 1(t), в изображении по Лапласу которых нет полюсов в правой полуплоскости, но хотя бы один из полюсов находится на мнимой оси, могут быть преобразованы по Фурье. Их спектр является особым и отыскивается по формуле

! 0 p= +j!

2То есть это фактически преобразование Лапласа, в котором = 0, а константа абсолютной сходимости C = 0.

54

Рис. 8.1: Сравнение преобразования Лапласа, преобразования Фурье и метода комплексных амплитуд

8.1.2Постановка задачи

Для всех линейных цепей (пассивных и активных) можно построить их непрерывные частотные характеристики. Для всех сигналов, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости, с помощью интеграла Фурье можно получить их спектральные представления, т.е. также непрерывные частотные характеристики. Следовательно, используя интеграл Фурье, можно найти и непрерывные частотные характеристики искомой полной реакции цепи (свободную и вынужденную составляющие одновременно) и результат с помощью обратного преобразования Фурье в замкнутой форме перевести в t-область.

8.2Законы Ома и постулаты Кирхгофа в области мнимой переменной p = j!. Про-

цедура расчета переходного процесса в линейных цепях в частотной области

8.2.1Законы Ома для элементов цепи

Поскольку интегралы Лапласа и Фурье с точностью до гасящего множителя e t совпадают, то все ранее полученные соотношения для элементов цепи в области p = + j! справедливы и в области p = j!, с соответствующей заменой обозначений. Пример. Для индуктивности при iL(0 ) = 0 справедливо

U(j!) = j!LI(j!):

В силу этого сходства интегралов Лапласа и Фурье все теоремы преобразования Лапласа (теорема подобия, теорема запаздывания...) справедливы и для преобразования Фурье, с соответствующей заменой обозначений.

8.2.2Постулаты Кирхгофа

В силу изложенного в п. 8.2.1 постулаты Кирхгофа справедливы и для преобразования Фурье:

XX

kk

Из сходства описаний элементов цепи в символическом и частотном методах следует, что комплексная функция передачи, вычисленная в символическом методе, будет справедлива и в частотном методе. (Более того, функция передачи, вычисленная в операторном методе, будет справедлива и в частотном методе с точностью до замены p =: ! j!.) Таким образом, если мы найдем

H(j!) = X_ m = X(j!) = (j!; R; L; C);

F_m F (j!)

мы сможем определить реакцию цепи при известном апериодическом абсолютно интегрируемом воздействии.

8.2.3Процедура анализа цепи в p = j!-области

1.Преобразуем по Фурье входной сигнал.

2.Строим комплексную схему замещения цепи.

55

3.Используя какой-либо из методов расчета, обычным образом находим спектральную характеристику реакции.

4.С помощью интеграла (8.2) переводим полученный результат в t-область.

5.Проверка. В отличие от решения методом рядов Фурье, здесь проверка возможна. В t-области полученный результат подставляем в какое-либо уравнение Кирхгофа и обращаем его в тождество.

3.Функцию передачи (входную проводимость) для этой цепи мы находили в последнем пункте предыдущей главы. Она равна

H(j!) = Y (j!) = p ! :

1 + !2

С другой стороны, согласно определению

H(j!) = Y (j!) = I_m = I(j!) ;

U_m U(j!)

56