Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Zвх U 0

I R1 R2 jω L1 L2 2M Rэ jωLэ ,

(11.8)

где Rэ R1 R2 ,

Lэ L1 L2 2

— при

согласованном включении и Lэ L1

L2 2

— при

согл

Zвх

встр , то при

встречном. На рисунке 11.4в приведена цепь,

эквивалентная цепи 11.4а. Так как

Zвх

одинаковом напряжении ток в цепи при встречном включении будет больше, чем при согласном. на этом основании можно опытным путем определить согласно или встречно включены катушки.

При отсутствии индуктивной связи M 0 из (11.8) получим известное соотношение для последовательного соединения двух катушек Lэ L1 L2 .

На рисунке 11.5а приведена векторная диаграмма для согласного, а на рисунке 11.5б — для встречного включений.

а)

б)

jω

U 0

R I

jωL2 I

R I

jω

jωL I

U 0

jωL I

R I

Рис. 11.5: Векторная диаграмма при: а) согласном включении катушек, б) встречном включении

11.4Параллельное соединение индуктивно связанных катушек

а)

б)

в)

г)

I 2

Z R

Lэ

Z L

Z M

Z L

Рис. 11.6: Цепь с параллельным соединением катушек: а) исходная схема, б) комплексная схема замещения, в) исходная схема при R1 = R2 = 0, г) схема, эквивалентная исходной при R1 = R2 = 0

На рисунке 11.6а приведена цепь, состоящая из параллельного соединения сопротивлений и индуктивно связанных катушек, а на рисунке 11.6б — ее комплексная схема замещения для установившегося

синусоидального режима. В случае согласного включения имеем ZM jω M

включения ZM jω M .

Для определения трех токов в ветвях цепи составим уравнения Кирхгофа:

I	I		I 0
1		2
Z R1 I1		Z L1 I1		Z M I2		U 0
Z I Z I Z I							U

R2 2			L2	2	M	1		0

и обозначим

Z R

Z L R1 jωL1

R jωL .

Тогда второе и третье уравнения системы (11.9) записываются как

Z1 I1

Z M I 2

U 0

Z M I1 Z

2 I 2

U 0

Находим

2 ZM

U0 ; I2

, а в случае встречного

(11.9)

тогда выполняется

Z1 Z2

2ZM

I I1 I2

0 .

(11.10)

Z 2

Рассмотрим частный случай, когда R1 R2 0 (рис. 11.6в). Из

(11.10) при Z1 jωL1 ,

Z2 jωL2 и

ZM jωM получим:

jω L1 L2 2M

ω2 M 2 ω2 L L

L L M 2

jωL

1 2

jω

L L 2M

Эквивалентная индуктивность (рис. 11.6г) оказывается при согласном включении

Lэ согл

L L M 2

L1 L2

а при встречном —

L L M 2

Lэ встр

;

L1 L2

следовательно, как и при последовательном соединении,

Lэ встр Lэ согл . При отсутствии индуктивной связи

M 0 выражения (11.11) и (11.12) превращаются в хорошо известное соотношение для эквивалентной

индуктивности параллельного соединения двух идеальных L-элементов:

Lэ

L1L2

11.5Расчет разветвленных цепей с взаимной индукцией

Расчет разветвленных цепей при наличии индуктивно связанных элементов, как правило, осуществляют по уравнениям Кирхгофа, либо методом контурных токов. Применение метода узловых напряжений в этом случае требует специальных приемов и на практике редко используется. В некоторых задачах можно преобразовать исходную цепь с индуктивной связью в эквивалентную цепь без индуктивной связи, к которой уже легко применить все известные методы расчета.

В качестве примера составим уравнения Кирхгофа для цепи, комплексная схема замещения которой представлена на рисунке 11.7. Как следует из рисунка 11.7, первая и вторая катушки включены согласно (токи входят в однополярные зажимы), а первая и третья — встречно (токи входят в разнополярные

зажимы). Следовательно, выполняется Z12 jω

M12

, Z13 jω

M13

Z R1

Z L1

Z12

Z L2

ZC I 2

Z13

Z L

U 1

U 2

Рис. 11.7: Пример разветвленной цепи с взаимной индукцией

Система уравнений для рассматриваемой цепи для наглядности записана в порядке обхода

контуров:

Z L

I1 Z12I 2

Z13I3 Z L I3

Z13I1

Z R I1

I 2 Z12I1

Z L3

(11.13)

ZC I 2

Z L2

I3 Z13I1

I I

После приведения подобных членов система (11.13) может быть решена и по найденным комплексным значениям токов определены токи установившегося синусоидального режима.

При использовании преобразования Лапласа для расчета переходных процессов в цепях с взаимной

индукцией уравнения индуктивно связанных

катушек

L i t Mi

t ,

t L i

t Mi t

1 L1

2 L2

преобразуют к виду

p pL I

0 pMI

p L i

p Mi

1 L1

p pL I

p L i

0 pMI

p Mi

при этом ZM p pM p M называют операторным сопротивлением взаимной индуктивности.

11.6Исключение индуктивной связи

На рисунке 11.8а приведены две индуктивно связанные катушки, имеющие общий узел, к которому они подключены однополярными зажимами.

а)

б)

Lэ1

Lэ2

Lэ3

u13

u23

u13

u23

Рис. 11.8: Эквивалентные цепи: а) с индуктивной связью, б) без связи

На рисунке 11.8б показана цепь без индуктивной связи. Необходимо определить значения Lэ1 , Lэ2 ,

Lэ3 , при которых токи в ветвях и напряжения между узлами будут такими же, как в исходной цепи. Система уравнений для исходной цепи записывается так

i1 i2 i3 0
L i	Mi	u		.	(11.14)
1 1	2	13
L i	Mi u		23
2 2	1		23

Исключим из второго уравнения ток

i2 i3 i1 ,

а из третьего

i1 i3 i2 . Тогда уравнения (11.14) можно

записать следующим образом:

i1 i2 i3 0

M i

(11.15)

M i

Для преобразованной цепи имеем систему уравнений

i1 i2 i3 0

L i

(11.16)

э1 1

э3 3

L i

э2

э3 3

Сравнивая (11.15)

и (11.16),

приходи

заключению, что

цепи будут эквивалентны, если

Lэ1 L1

, Lэ2 L2

Lэ3

Взаимная индуктивность записана по модулю, так как полученные

выражения для эквивалентных индуктивностей не зависят от характера включения и будут такими при подключении индуктивно связанных катушек к общему узлу однополярными зажимами и при M 0 , и

при M 0 .

Если элементы будут подключены к общему узлу разнополярными зажимами, то аналогичным

образом можно доказать, что в этом случае Lэ1 L1

Lэ2 L2

Lэ3

. Отрицательная

индуктивность, включаемая в третью ветвь, является чисто расчетной величиной, не имеющей физического смысла. В установившемся синусоидальном режиме в этом случае Zэ3 jω M .

Если индуктивно связанные катушки не имеют общего узла, то такое исключение индуктивной связи невозможно.

12 Трехфазные цепи

Выделение трехфазных цепей в самостоятельный класс объясняется их широким распространением на практике. В настоящее время практически все электроснабжение промышленных и бытовых объектов осуществляется с помощью трехфазных цепей. Это обусловлено рядом достоинств трехфазной системы напряжений,

ккоторым относятся:

1.Возможность передавать энергию от трехфазного генератора к трехфазной нагрузке по трем проводам вместо шести при питании потребителей от отдельных источников.

2.Трехфазное напряжение позволяет получать вращающееся магнитное поле, которое лежит в основе действия асинхронных трехфазных двигателей, самых простых и надежных в работе.

3.При симметричной нагрузке мгновенная мощность трехфазного источника не зависит от времени и не пульсирует с двойной частотой, как это имеет место при однофазном питании.

12.1Основные понятия, относящиеся к трехфазным цепям

12.1.1 Трехфазная система напряжений, трехфазный генератор

Симметричная трехфазная система напряжений (трехфазное напряжение) представляет собой систему из трех синусоидальных напряжений одинаковой частоты и одинаковой амплитуды, сдвинутых по фазе на 120 . Если условие равенства амплитуд (или условие сдвига по фазе на 120 ) не выполняется, то такая система называется несимметричной.

В этой главе мы будем рассматривать только симметричные трехфазные источники, генерирующие симметричную систему напряжений, график мгновенных значений которой приведен на рисунке 12.1. Если одно из этих напряжений, например, с начальной фазой, равной нулю, обозначить uA(t), то отстающее от него на 120 напряжение обозначается uB(t), а отстающее от uB(t) на 120 — uC(t). Такой порядок следования напряжений (A–B–C) называют прямым.

Мгновенные значения этих напряжений можно записать, например, следующим образом:

uA(t) = Um cos !t;
uB(t) = Um cos (!t 120 );	(12.1)
uC(t) = Um cos (!t 240 ):

Соответствующие (12.1) комплексы напряжений U_A = U, U_B = Ue j120 , U_C = Ue j240 , где U = Um=p2. На рисунке 12.2 приведена векторная диаграмма (ВД) этих напряжений.

Основное свойство симметричной трехфазной системы напряжений заключается в том, что сумма этих напряжений в любой момент времени равна нулю: uA(t) + uB(t) + uC(t) = 0. В этом нетрудно убедиться,

_	_	_
сложив вектора на диаграмме: UA + UB + UC = 0.
Um			uA(t)


			uB(t)


			uC(t)

ωt

Рис. 12.1: График мгновенных значений uA(t), uB(t), uC(t)

+j
U C

120°
	U A
120°	+1
120°

U B

Рис. 12.2: ВД напряжений U_A, U_B, U_C

+
	U A
U CA	U A	U AB

××

	+	U C	U B	B
	+
C				+
				+
			U BC

Рис. 12.3: Соединение трехфазного источника звездой

		A
U CA			U AB

	×		×
	×	U BC
		U BC

C		+	B
C

Рис. 12.4: Соединение трехфазного источника треугольником

Трехфазное напряжение получают с помощью специального трехфазного генератора, на статоре которого располагаются три обмотки, сдвинутые друг относительно друга на 120 , витки которых пересекаются с постоянным магнитным полем ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью. Схематически трехфазный генератор можно представить в виде трех источников синусоидального напряжения, которые можно соединить звездой (рис. 12.3) или треугольником (рис. 12.4), причем точка 0 при соединении генератора звездой называется нейтральной точкой.

Следует отметить, что ток внутри треугольника (см. рис. 12.3) отсутствует, т.к. сумма напряжений uAB(t)+ uBC(t) + uCA(t) = 0.

12.2Соотношение между фазными и линейными напряжениями симметричного трехфазного генератора

Напряжения на обмотках трехфазного генератора называют фазными напряжениями, а напряжения между линейными проводами, которыми генератор соединяется с нагрузкой — линейными напряжениями. Так, при

соединении генератора звездой напряжения UA, UB, UC

— фазные напряжения, а напряжения UAB, UBC,

UCA — линейные. При этом UAB = UA UB, UBC

= UB

UC,

UCA = UC

UA.

Если обмотки генератора соединены треугольником, то линейные и фазные напряжения равны друг другу,

что видно из схемы на рис. 12.4.

На рисунках 12.5 и 12.6 приведены векторные диаграммы линейных и фазных напряжений трехфазного

генератора при соединении его обмоток звездой или треугольником соответственно.

Эти диаграммы построены в соответствии с геометрией (топографией) цепи без указания осей комплекс-

ной плоскости. Из диаграммы рисунка 12.5 следует: UA = UB = UC = Uф, UAB = UBC = UCA = Uл,

а из диаграммы рисунка 12.6 будет: UAB = UBC = UCA = Uл

= Uл, то

= Uф, при этом, если UAB

U_BC = Uлe j120 и U_CA = Uлe j240 .

Соотношение между линейным и фазным напряжениями генератора, соединенного звездой, легко устано-

вить из элементарных тригонометрических рассуждений, рассматривая равнобедренный треугольник AOB

на рисунке 12.5.

Учитывая, что два угла в этом треугольнике равны 30 , получим

Uл = 2Uф cos 30 = p

Uф:

(12.2)

В соответствии с (12.2) при Uф = 127 В имеем Uл =

3 127 = 220 В, а при Uф = 220 В получим Uл = 380 В.

	A
	U A
U CA		U AB
	U B
U C	U B

	0
C	U BC	B

Рис. 12.5: ВД линейных и фазных напряжений при соединении обмоток трехфазного генератора звездой

U CA		U AB

C	U AB	B

Рис. 12.6: ВД линейных напряжений при соединении обмоток трехфазного генератора треугольником

Теперь легко установить связь между комплексами фазных и линейных напряжений. Из диаграммы на рисунке 12.5 и с учетом (12.2) получим

_	_	p		j30
			3e		;
UAB = UA
_	_	p		j30	;	(12.3)

UBC = UB		p	3e
_	_			j30
			3e		:
UCA = UC

Таким образом, симметричный трехфазный генератор, соединенный звездой, при расчетах может быть легко преобразован в эквивалентный генератор, соединенный треугольником, и наоборот в соответствии с (12.2) и (12.3).

12.3Трехфазная цепь и основные схемы соединения

Трехфазный источник вместе с нагрузкой и соединительными проводами образует трехфазную цепь. Нагрузку так же, как и генератор, можно соединить звездой или треугольником. Для расчетных целей удобно считать, что если нагрузка соединена звездой, то и генератор соединен звездой, а если нагрузка соединена треугольников, то и генератор соединен треугольником. В силу соотношений (12.2) и (12.3) цепь можно привести к виду «звезда–звезда» либо «треугольник–треугольник», то есть свести все возможные случаи к двум (рис. 12.7 и 12.8).

Токи, текущие в линейных проводах, называют линейными, а токи, текущие по сопротивлениям нагрузки

— фазными. Провод, соединяющий узловые точки генератора и нагрузки при соединении их звездой, называют нейтралью или нулевым проводом. Если сопротивление нулевого провода Z0 равняется нулю, то точки 0 и 01 становятся однопотенциальными, и такое соединение называют «звезда-звезда с нулевым проводом» и обозначают ?=?0. Если Z0 равняется бесконечности, такое соединение называют «звезда-звезда без нулевого провода» и обозначают ?=?.

Три составных части трехфазной цепи принято называть фазами. Таким образом, в трехфазной цепи передача энергии от источника в нагрузку осуществляется с помощью трех или четырех проводов, что с экономической точки зрения более выгодно по сравнению с передачей от трех несвязанных источников, так как в этом случае потребовалось бы шесть проводов.

Как следует из схемы на рисунке 12.7, при соединении нагрузки звездой линейные и фазные токи равны (Iл = Iф), а ток нулевого провода равен I_0 = I_A +I_B +I_C. При соединении нагрузки треугольником линейные и фазные токи (рис. 12.8) связаны в соответствии с законом токов Кирхгофа следующим образом:

I_A = I_ab I_ca; I_B = I_bc I_ab; I_C = I_ca I_bc :

I A

C U C

+			Z a

U A
	Z 0	I 0

×		Z c	Z b
U B	B	Z c	Z b
	I C	c	b
		I B

Рис. 12.7: Соединение «звезда-звезда»

		A	I A		a	I ab
						I ab
	U		× U	Zca		Z	ab
	CA	×	AB				ab
		×
C			B	I ca		I bc b
C		U BC	B	c	Zbc	I bc b
		U BC			Zbc
		+

I B

Рис. 12.8: Соединение «треугольник-треугольник»

Очевидно, что выполняется I_A + I_B + I_C = 0.

Трехфазная нагрузка называется симметричной, если Za = Zb = Zc = Zф = jZфjej'ф .

12.4Расчет трехфазных цепей

12.4.1 Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки звездой

Анализу подлежит цепь (рис. 12.7) при заданных фазном напряжении симметричного генератора Uф и комплексных сопротивлениях Za, Zb, Zc и Z0. Определению подлежат токи нагрузке и нулевом проводе.

Трехфазная цепь на рисунке 12.7 является цепью с двумя узлами, и поэтому ее расчет целесообразно осуществить методом узловых потенциалов (напряжений). Считаем узел 0 базисным (опорным) узлом, по-

узла 01

_у

тенциал которого равен нулю. Найдем потенциал U01

из уравнения Y11U01

= I1, где собственная

_у

есть сумма источников тока,

проводимость узла Y11 = Ya + Yb + Yc + Y0 = 1=Za + 1=Zb + 1=Zc + 1=Z0, а I

_ _

подключенных к узлу 01. Преобразовав источники напряжения UA, UB

и UC в источники тока, получим

_у

= YaUA + YbUB + YcUC. Тогда имеем

YaUA + YbUB + YcUC

(12.4)

U01

Ya + Yb + Yc + Y0

;

где U_A = Uф, U_B = Uфe j120 , U_C = Uфe j240 .

Определив потенциал узла 01, можно теперь найти токи, учитывая, что точки A, B, C генератора однопотенциальны с соответствующими точками a, b и c нагрузки:

Ua01

UA U01

;

U_b01

U_B

U_01

;

Uc0

I_C =

;

(12.5)

U_0 c0

U_0

A, a

U A

	I C	01	I A
	I C	0	φф
		I B
C, c	U C		U B	B, b
C, c				B, b

Рис. 12.9: ВД соединения «звезда-звезда» в режиме симметричной нагрузки

Рассмотрим возможные режимы работы:

1.Режим симметричной нагрузки. В этом случае имеет место Za = Zb = Zc = Zф = jZфjej'ф , т.е. Ya = Yb = Yc = Yф = jYфjej ф . Тогда в соответствии с (12.4) запишем

			_		_	_	_
			_	=	Yф(UA + UB + UC			= 0;
			U01
			U01			3Yф + Y0
						3Yф + Y0
_	_	_	= 0 (основное свойство симметричного трехфазного напряжения). Сле-
поскольку UA + UB + UC

довательно, узлы 0 и 01 становятся однопотенциальными, и ток нулевого провода будет равен I_0 = U_01 =Z0 = 0. В этом случае отпадает необходимость в нулевом проводе, и генератор с нагрузкой может быть соединен тремя линейными проводами. Многие трехфазные потребители по своей природе являются симметричными, например, трехфазные двигатели.

Таким образом, в этом случае токи симметричной трехфазной цепи в соответствии с (12.5) оказываются

8 I_A

= Za

Zф ej'ф

= Iфe j'ф ;

Uф

jUфej j120

j('ф+120 )

= I

;

(12.6)

Zф e

jj240

I_C

= Iфe j('ф+240 );

ej'ф

Uфe

= IB = IC

= Iл = Iф = Uф=jZфj

при симметричной нагрузке

. Расчет

причем отсюда следует, что :

в этом случае можно выполнить для одной фазы, токи в других фазах будут иметь ту же амплитуду, а начальные фазы будут отличаться сдвигом на 120 .

На рисунке 12.9 приведена векторная диаграмма для рассмотренного режима. «Звезда» токов нагрузки получается симметричной, повернутой относительно «звезды» фазных напряжений на угол фазного сдвига 'ф.

2.Режим несимметричной нагрузки при отсутствии нулевого провода. В этом случае Za 6= Zb 6= Zc, а

Y0 = 0. Тогда потенциал узла 01 в соответствии с (12.4) оказывается

U_01 = YaU_A + YbU_B + YcU_C 6= 0;

Ya + Yb + Yc

т.е. потенциал узла 01 отличается от потенциала узла 0 и на векторной диаграмме эти точки не совпадают. Это значит, что напряжения на фазах нагрузки будут различными, не равными напряжениям фаз

генератора. Токи в фазах определяются по выражениям (12.5), а так как нулевой провод отсутствует, то

I_A + I_B + I_C = 0.

На рисунке 12.10 приведен вариант векторной диаграммы напряжений этого режима. Такой режим работы называют зависимым, поскольку при изменении сопротивления одной из фаз изменяется потенциал узла 01 и, следовательно, меняются напряжения на всех фазах нагрузки.

3.Режим несимметричной нагрузки при наличии нулевого провода с нулевым сопротивлением. Так как в этом случае Z0 = 0, то потенциалы узлов 01 и 0 становятся равными при любой нагрузке, т.е. к каждой фазе нагрузки параллельно подключен источник. Для наглядности схему, соответствующую рисунку 12.9, можно изобразить так, как показано на рисунке 12.11. Режим работы фаз становится независимым,

U_CA

A, a

U a01

U A

C 0

Uc01

U B

Uc01

C, c

B, b

Рис. 12.10: Зависимый режим соединения «звезда-звезда» (Y0 = 0)

A, a

I A

I C

C, c

Z c

Z a

U A

× U C

B, b

U B

Z b

I B

Рис. 12.11: Независимый режим соединения «звезда-звезда» (Z0 = 0)

_ _

т.е. при любой нагрузке Ua01

= UA, Ub01

= UB, Uc01

= UC

. Токи в фазах будут IA

= YaUA, IB = YbUB,

IC = YcUC, а ток нулевого провода оказывается

I0 = IA + IB

+ IC.

Нулевой провод с Z0 = 0 обеспечивает независимый режим работы фаз нагрузки. Напряжение на фазах нагрузки не зависит от режима работы фаз, так как узлы 0 и 01 соединены друг с другом нулевым проводом. По такой четырехпроводной схеме питается вся бытовая нагрузка. К потребителю подводится одна из фаз генератора и нулевой провод.

На рисунке 12.12 приведен пример векторной диаграммы такого режима. «Звезда» токов будет в этом случае несимметричной, поскольку ток нулевого провода не равен нулю.

12.4.2 Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки треугольником

Анализу подлежит цепь (рис. 12.8) при заданных линейном напряжении генератора Uл и комплексах сопротивлений Zab; Zbc; Zca. Определению подлежат токи в фазах нагрузки и линейных проводах.

Направим на векторной диаграмме одно из напряжений генератора, например, U_AB по вещественной

оси комплексной плоскости, т.е. будем считать, что U_AB = Uл (рис. 12.13). Тогда имеем U_BC = Uлe j120 ,

= Uлe j240 .

A, a

				U A		Ua01

			01	0	I B
UC	Uc01			0
			A			U B	Ub01
		I	A
			I C
C, c			I 0				B, b

Рис. 12.12: Пример ВД для режима несимметричной загрузки соединения «звезда-звезда» при Z0 = 0

	+j
U CA
U CA		U BC

			U CA
		120°		+1



		−120°	U AB
		−120°

U BC
U BC

Рис. 12.13: ВД при соединении «треугольник-треугольник». U_AB = Uл

A, a

U CA	×	I ab	×
			×	U AB
		Zca	Zab
C, c	I ca	Zbc	I bc	B, b
		Zbc

U BC

Рис. 12.14: ВД при соединении «треугольник-треугольник». Иллюстрация независимости режима U_AB = Uл

I A I ca I ab

A, a

	U CA			U AB

	U ca			U ab

C, c		U BC	U bc	B, b	I bc

I C	I	I ca		I B	I ab
I C	I	I ca
	bc

Рис. 12.15: ВД несимметричного режима соединения «треугольник-треугольник»

		Ica
	I ab		I	A
	I ab	A, a
U CA		A, a		U AB
U CA				U AB

U ca				U ab

I C C, c	U BC	U bc		B, b

I ca				I bc
I ca				Iab
I				Iab
bc				I B
				I B

Рис. 12.16: ВД симметричного режима соединения «треугольник-треугольник»

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20251 Мб4лабы_электроника.doc
#
16.12.2018462 Кб25лампы.docx
#
01.07.2025833 Кб1лек 2.doc
#
09.02.20154 Мб212ЛЕКЦИИ (Расчет модели вект упр АД).doc
#
01.07.20252 Мб1Лекции 1,2.docx
#
09.02.20155 Мб70Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ.pdf
#
20.07.2019158 Кб4Лекции Гаркуши.doc
#
01.04.20252 Мб1Лекции КГ_2013(1).doc
#
17.09.20193 Мб30Лекции по МП и МПС.doc
#
09.02.2015361 Кб91Лекции по приводу.pdf
#
09.02.20151 Мб49Лекции по физике 3 семестр.doc