Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ

Построим три модели этой нелинейной цепи:

1.Линейную.

2.Нелинейную с выделенной линейной частью.

3.Нелинейную с невыделенной линейной частью.

Нелинейная модель с выделенной линейной частью

Описания емкости и индуктивности оставим линейными:

C tgα1 , L tgα3 .

Ампер-вольтовую характеристику резистора выберем такой:

iR t auR4 t , a const .

Составим систему уравнений Кирхгофа:

iL t iC t iR t 0

u t LDiL t C 1D 1iC t uC (0 ) 0 .

u t iL t a 0,2 5iR0,25 t 0

Запишем еѐ в матричной форме:

Нелинейная модель с невыделенной линейной частью

Вольт-кулоновую характеристику емкости оставим линейной: C tgα1 . Характеристики остальных элементов выберем следующими:

iR t auR4 t , Ψ t biL0,5 , a const,b const .

2

Составим систему уравнений Кирхгофа:

iL t iC t iR t 0

u t 0,5biL 0,5 t DiL t C 1D 1iC t uC (0 ) 0 .u t 0,5biL 0,5 t DiL t a 0,2 5iR0,2 5 t 0

Запишем еѐ в матричной форме:

4.1.2Выделение класса решений

Процессы в цепях и системах протекают в фазовом пространстве координат, доступных для наблюдения и регистрации. Эти процессы в общем случае характеризуют разрывы первого рода для координат и воздействий, разрывы второго рода для координат, чередование временных интервалов быстрого и медленного изменения координат, неустойчивость координат в конечных или полубесконечных временных интервалах, хаотическое изменение координат.

Предположим, что все перечисленные особенности изменения координат и воздействий могут быть описаны обобщенными функциями в виде суммы сингулярной и регулярной составляющих

xl t xl t xl t , l 1, Lx .

Сингулярная составляющая по определению представляет собой сумму импульсных функций с соответствующими весовыми коэффициентами. Регулярная составляющая имеет произвольную форму. Поэтому, если мы хотим построить универсальный метод решения уравнения (4.1), необходимо регулярной составляющей придать универсальную форму. Представление регулярной составляющей должно иметь следующую форму (отвечать следующим требованиям):

1.Приводить любое, в рамках формулы (4.3), описание нелинейной цепи к единому и пригодному для дальнейших преобразований виду.

2.Выявлять особые точки (точки разрыва второго рода).

3.Описывая приближенное решение уравнения (4.1) это представление регулярной составляющей должно определенным образом и в замкнутой форме соотносится с неизвестным, но существующим точным решением.

4.Желательно, чтобы унифицированное описание регулярной составляющей было не только

формальным, но и содержательным.

Перечисленным требованиям и пожеланиям отвечает представление регулярной составляющей с помощью ряда Тейлора.

Во-первых, если искать решение в виде обобщенной функции с регулярной составляющей в виде ряда Тейлора и подставлять это решение в матрицу H x, f ,t уравнения (4.1), то тогда произвольное описание нели-

нейности в матрице H x, f ,t будет тождественно заменено на унифицированное описание этих нелиней-

ностей по целым степеням времени t.

Во-вторых, можно вычислить радиус сходимости ряда Тейлора и следовательно выявить особые точки (точки потери аналитичности).

В-третьих, в пределах радиуса сходимости ряд Тейлора сходится абсолютно и равномерно, то есть стремится к точному решению.

Заменяя на практике ряд Тейлора полиномом Тейлора мы получим возможность дать верхнюю оценку отбрасываемому остатку.

И наконец, описание регулярной составляющей рядом Тейлора не только формально, но и содержательно в виду известного смысла его коэффициентов.

Модель составлена. Формулы (4.1)–(4.3) описывают модель, которой мы замещаем цепь, а формула (4.4) описывает класс решений, в котором мы будем отыскивать реакцию этой цепи. Модель, описываемая уравнениями (4.1)–(4.3) — это наше представление о системе, которое справедливо лишь при допущениях, сделанных ранее. Поэтому эта модель, как и всякая другая, ограничена. Даже при том, что эта модель ограничена, мы вводим дополнительное ограничение: ее реакция должна описываться уравнением (4.4).

Замечания

1.Мы будем отыскивать решение в форме (4.4), подставляя его в описание (4.1)–(4.3), в частности в формулу (4.3), описывающую матрицу H x, f ,t . При этом может произойти пере-

множение сингулярных составляющих, а эта операция не определена. В силу этого, подставляя искомое решение (4.4) в формулу (4.3), необходимо следить, чтобы в любом произ-

3

ведении только один из сомножителей содержал δ-функцию. В случае невыполнения этого условия необходимо выбрать или сформировать другую модель, в которой это исключено.

2. Для корректности всех последующих преобразований, Лапласов интеграл необходимо

брать от 0 до , и, следовательно, учитывать предначальные условия.

Задача поставлена. Будем решать ее аналитически-численным методом. Из его названия следует, что он состоит из двух частей — аналитической и численной.

4.2Краткое описание процедуры аналитически-численного метода

4.2.1 Аналитическая часть метода

Искомое решение

в таком виде, при заданных предначальных условиях, подставляем в нелинейную часть H x, f ,t сформированной системы нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений (4.1), взамен неизвестных коор-

еще не известны. При подстановке, во-первых, отделяем старшие производные по всем координатам, если это необходимо; во-вторых, следим, чтобы не перемножались сингулярные составляющие.

Благодаря этой подстановке, все разнообразные описания нелинейности в матрице H x, f ,t будут приведены к одной унифицированной форме, в зависимости от времени в степени t i и теперь будут иметь

вид H(t i ) . Получим унифицированное описание всех нелинейностей. Очень важно то, что это преобразование тождественно, благодаря тому, что регулярную составляющую мы описали рядом Тейлора. Отметим,

что всегда возможно преобразовать по Лапласу матрицу H(t i ) , так как она содержит только полиномы от времени.

Преобразовав матрицу H x, f ,t , мы получим возможности для последующих преобразований с помощью Лапласова интеграла. Вместо

A(D)x(t) G(D)f (t) H(x, f ,t)

получили

A(D)x(t) G(D)f (t) H(t i ) .

Далее, полученное тождественными преобразованиями уравнение преобразуем по Лапласу и вместо интегрально-дифференциального уравнения получаем линейное алгебраическое относительно изображений искомых координат, тождественное исходному. Это алгебраическое уравнение решаем, например, по Крамеру, полученное решение раскладываем в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. И с помощью предложенных и описанных далее алгоритмов переводим результат в t-область. Этот результат описывает формула (4.4), в которой коэффициенты сингулярной и регулярной составляющих теперь известны.

Если функционально-степенные ряды, описывающие регулярные составляющие этих решений сходятся, то это ряды Тейлора. Далее следует установить существование и единственность полученного решения, определить радиусы сходимости рядов Тейлора, после чего можно переходить к численной части метода. Графически мы получили

xl t

Rl ,i t i i 0 i!

Jl

Sl , j δ j t j 0

4.2.2Численная часть метода

Начнем с ограничения ряда Тейлора конечным числом членов, то есть с замены ряда Тейлора полиномом Тейлора. Ограничимся суммой

4

Отметим, что, сделав шаг, мы получили точки, а не все промежуточные решения, но благодаря тому, что это решение описано аналитически мы можем взять сколь угодно много точек для расчета.

Получив это приближенное значение на шаге h, с помощью предложенных далее формул оцениваем его погрешность по модулю

Тогда мы найдем те пределы, в которых находится искомое решение.

После этого, опираясь на предначальные условия, найденные в конце первого шага расчета, повторяем, если необходимо, аналитическую часть метода и вновь получаем описание реакции цепи в виде обобщенных функций с известными коэффициентами, вновь доказываем сходимость функционально-степенного ряда, существование и единственность решения, вновь вычисляем радиус сходимости, определяем новый шаг расчета и делаем этот шаг.

Однако, описанная процедура может натолкнуться на одну трудность — разрыв второго рода в искомом решении. Благодаря аналитической форме описания искомого решения эта трудность преодолима.

xl t

При подходе к разрыву второго рода, мы будем получать все меньшие радиусы сходимости, и поэтому метод не позволит произвести ошибку, связанную с переходом через разрыв второго рода.

Вывод: Существо аналитически-численного метода состоит в замещении динамических систем, в частности цепей, детерминированными кусочно-линейными моделями с сосредоточенными параметрами и последующим поиском решений уравнения динамики цепи в виде обобщенных функций, регулярная составляющая которых описана рядами Тейлора.

Процедура метода заключается в пошаговом, с оценкой погрешности, построении динамических процессов в этих моделях с помощью математического аппарата, корректно учитывающего разрывы первого рода, в том числе дифференцируемые, для координат и воздействий, разрывы второго рода для координат, чередование быстрых и медленных составляющих для координат. Процедура метода состоит из аналитической и численной частей.

5

4.3 Формулировка условий существования и единственности регулярных составляющих решений обыкновенных нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений

Доказательство существования и единственности решения в классе обобщенных функций (4.4), целесообразно выполнить, используя характеристики самих функционально-степенных рядов, описывающих решение (4.4) и не выполняя никаких бы то ни было операций над уравнением (4.1). Так как численная часть аналитически-численного метода реализуется пошагово, то и исследовать существование и единственность решения целесообразно тоже пошагово.

Упростим задачу, доказывая существование и единственность для l-й строки столбца X t , то есть для xl t . Решение имеет вид

Если доказать, что это условие выполняется всюду при t 0 , то функционально-степенной ряд сходится абсолютно и равномерно и оказывается рядом Тейлора своей суммы. Таким образом существование в

заданном интервале регулярной составляющей xl t непосредственно следует из равномерной сходимости

ее функционально-степенного ряда.

Согласно признаку Вейерштрасса абсолютная и равномерная сходимость функциональностепенного ряда (4.5) на множестве t 0 следует из сходимости его числовой мажоранты

на предмет наличия среди них максимального. Возможны следующие случаи: 1. Последовательность Rl ,i ограничена

Если все коэффициенты возрастут до Rl,m, то ряд, построенный из них, будет больше, чем ряд, построенный из исходных коэффициентов. Ряд в правой части сходится при 0 ηl , следовательно, и мажорирующий ряд в левой части сходится, согласно признаку сравнения числовых рядов. Тогда по теореме Вейерштрасса ряд (4.5) сходится при 0 ηl . Таким образом, если среди Rl ,i есть максимум Rl ,m , то

при всех t 0 существует регулярная составляющая xl t и она может быть разложена в ряд Тейлора.

6

разложена в ряд Тейлора (4.5). Далее, мы выделяем τ — минимальный радиус, в пределах которого ряд гарантированно сходится:

1.Модель, описываемую уравнением (4.1), не трансформировали.

2.Каких-либо других математических аппаратов, отличных от первоначально выбранного, не привлекали.

3.Существование и единственность решения доказываем параллельно с получением самого решения.

4.Существование и единственность решения доказываем единообразно на каждом шаге его построения.

4.4Аналитическая часть процедуры формирования аналитически-численных решений уравнений динамики кусочно-степенных моделей

A D x t G D f t H x, f ,t

Уравнение (4.1) и формулы (4.2), (4.3) могут описывать следующие классы моделей:

1.Кусочно-линейные: H x, f ,t const H0 .

2.Нелинейные автономные стационарные с выделенной линейной частью. В A(D), G(D) и H коэффициенты не зависят от t. Все старшие производные находятся слева, в A(D).

3.Нелинейные неавтономные, нестационарные, с невыделенной линейной частью. В H есть по крайней мере одна из старших производных.

Формирование аналитической части начинаем с преобразования матрицы H. Описав искомые решения уравнения (4.4), подставляем их в матрицу H и выполняем все действия, которые диктуют нам выражения, записанные в H. При этом используем известные формулы:

В результате всех действий над H получим

где матрица-столбец T(x, f ) — матрица, тождественно заменившая собой H(x, f ). Мы просто подставляем в H ряды Тейлора, а они точно описывают рассматриваемые функции. Именно благодаря представлению решения в виде ряда, его можно интегрировать и дифференцировать. Важно лишь следить при этом, чтобы не возникало перемножения сингулярных составляющих, эта операция не определена: δ0(t) δ0(t) = ?, но δ0(t)

δ1(t) = δ0(t).

7

Полученное уравнение (4.7) нелинейное, интегрально-дифференциальное, и, в отличие от исходного, допускает преобразование по Лапласу. Пользуясь правилом

переводящим независимую переменную t в независимую же переменную p, получим

A p X p G p F p T p Q p C p ,

где матрицы A(p) и G(p) получены из A(D) и G(D) путем замены оператора дифференцирования D на независимую переменную p в соответствующей степени (по теоремам о дифференцировании и интегрировании):

Dn p n , D n 1 p n ;

X(p) — матрица-столбец изображений искомых переменных, F(p) — матрица-столбец известных воздействий, T(p) — матрица-столбец «бывших нелинейностей», полученная из T(t) заменой /. t k k ! p k 1 , Q(p)

— матрица-столбец предначальных условий, появляющаяся в силу теорем о дифференцировании и интегрировании.

Врезультате, мы получили линейное алгебраическое уравнение относительно вектора X(p), тождественное исходному нелинейному интегрально-дифференциальному уравнению относительно искомых координат.

Витоге имеем A(p) X(p) = C(p). Удобнее всего такое уравнение решать по Крамеру:

i 0

Старшая положительная степень ряда числителя может оказаться выше порядка знаменателя на Jl. При Jl ≥ 0 полученная дробь неправильная и, следовательно, для того, чтобы воспользоваться теоремой Хевисайда, из нее необходимо выделить целую часть:

Получили результат в виде суммы главной (степени p отрицательные) и правильной (степени p неотрицательные) частей ряда Лорана, где коэффициенты Sl,j и Rl,i теперь известны.

Выведем рекуррентную формулу для коэффициентов ряда Лорана:

8

4.5 Численная часть процедуры аналитически-численного метода. Верхняя оценка абсолютной локальной погрешности аналитически-численного расчета. Формирование верхней оценки абсолютной полной погрешности расчета. Выделение областей, содержащих неизвестные точные значения решений уравнений динамики кусочно-линейных моделей (систем)

1.Нелинейные интегрально-дифференциальные уравнения (4.1), описывающие динамику цепи корректным образом преобразуем к нелинейному интегрально-дифференциальному уравнению, в котором все нелинейности описаны унифицировано степенными рядами относительно независимой переменной t.

2.Сформированное нелинейное интегрально-дифференциальные уравнение преобразуем по Лапласу и получаем линейное, относительно изображений искомых решений, алгебраическое уравнение.

3.Полученное алгебраическое уравнение обычным образом решаем и получаем изображения искомых решений и переводим результат в t-область. Этот результат описывают обобщенные функции с регулярными составляющими в виде функционально-степенных рядов:

4.Исследовав на сходимость регулярную составляющую решения устанавливаем радиусы сходимости

этого ряда, внутри которого следовательно он обращается в ряд Тейлора. В пределах радиуса сходимости τ можно выбрать шаг расчета h η , после чего можно перейти к численной части метода. В численной части метода ряд Тейлора ограничиваем полиномом Тейлора выбранного нами порядка и делаем шаг, подчиняющийся записанному неравенству.

Возникают две задачи:

1.Оценить погрешность, которую мы допускаем на этом шаге (локальную погрешность).

2.Оценить погрешность, которую мы будем допускать далее, на втором и последующем шагах, вызванную, во-первых, ограничением ряда полиномом, во-вторых, неточностью предначальных условий для второго и последующих шагов, вследствие погрешности допущенной на первом и предыдущих для последующих шагов.

4.5.1Верхняя оценка абсолютной локальной погрешности расчета

Для простоты положим, что абсолютная локальная погрешность оценивается на первом шаге расчета. Предначальные условия известны точно, приближенное решение равно xl h, Il . Требуется выделить промежуток, в котором находится неизвестное точное решение.

xl t

9

Погрешность на этом шаге