Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ

Замечание. Переход от исходной цепи к дуальной, с переходом от метода контурных токов к методу узловых напряжений, то есть как мы и сделали на примере, возможен только для планарных цепей, потому что для непланарной цепи невозможно определенным образом указать окружающее ее внешнее пространство. Переход же от метода узловых напряжений к методу контурных токов возможен всегда (это ещѐ одно достоинство метода узловых напряжений).

5.5Методы эквивалентных источников напряжения и тока

5.5.1Метод эквивалентного источника напряжения (теорема Тевенина)

Если есть некая разветвленная цепь с R, L, C, ИТ и ИН и в ней выделена ветвь, названная ветвью нагрузки, то такую цепь можно заменить ей эквивалентной с одним источником напряжения и одним сопротивлением.

сопротивление цепи с исключенными ИН (замена на КЗ) и ИТ (замена на ХХ). В этих цепях токи нагрузки будут равны.

Доказательство (нестрогое).

Включим в цепь два встречно направленных ИН U0(p). Поскольку потенциалы на зажимах 3 и 1 одинаковы, то такая цепь будет эквивалентна исходной:

(Соответственно, сумма токов в нагрузках (1) и (2) равна току в нагрузке исходной цепи).

Рассмотрим первую цепь. По определению теоремы, сопротивление цепи со стороны выхода равно Z0(p), тогда

I Н1 p Z Н p Z0 p .

Во второй цепи проделаем следующий опыт: оборвем ветвь 1–2. По определению теоремы, между зажимами 1 и 2 возникает напряжение холостого хода U12 = U0(p). Ток I Н2 p 0 .

Уравнение Кирхгофа для контура γ:

U34 U0 p U12 0 2U0 p U34 .

22

Но ведь U34 — это напряжение короткого замыкания! Следовательно, U0(p) = 0, т.е., цепь (2) не содержит источников. Тогда при восстановлении обрыва ничего не изменится: I Н2 p 0 (можно записать

ЗНК для контура γ и убедиться). Отсюда

I Н p I Н1 p Z0 p ZН p .

Формулировка теоремы совпадает с полученным результатом.

Примечание. Для доказательства мы использовали принцип суперпозиции, который справедлив лишь в линейном случае. Но в итоге оказалось, что суперпозиция нам не нужна, т.к. I Н2 p 0 . Отсюда

следует, что теорема Тевенина справедлива и в случае нелинейной нагрузки.

5.5.2Метод эквивалентного источника тока (теорема Нортона)

Если есть некая разветвленная цепь с R, L, C, ИТ и ИН и в ней выделена ветвь, названная ветвью нагрузки, то такую цепь можно заменить ей эквивалентной с одним источником тока и одним сопротивлением.

сопротивление цепи с исключенными ИН (замена на КЗ) и ИТ (замена на ХХ). В этих цепях токи нагрузки будут равны.

Доказательства этой теоремы мы не приводим, поскольку оно дуально доказательству теоремы Тевенина. То есть, последовательное соединение меняется на параллельное, КЗ — на ХХ, ХХ — на КЗ, ИН

— на ИТ.

23

6Анализ линейных пассивных и активных, планарных и непланарных цепей в области комплексной переменной s = + j! (метод

комплексных амплитуд)

6.1Постановка задачи. Понятия обобщенного сигнала, комплексной амплитуды и комплексной частоты. Переход из t-области в s-область и обратно.

6.1.1Постановка задачи

Рассмотрим уравнение динамики цепи

Решением этого уравнения является вектор x(t), регулярная составляющая l-й компоненты которого равна

x+l (t) = x+l св(t) + x+l вын(t):

Во многих важных практических задачах интерес представляет лишь вынужденная составляющая x+l вын(t)

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения (6.1), существенно зависящее от входного воздействия f(t). Назначением метода комплексных амплитуд является как раз поиск частных решений уравнения динамики цепи в случае некоторых характерных входных воздействий.

6.1.2Понятия обобщенного сигнала, комплексной амплитуды и комплексной частоты

Рассмотрим сигнал вида

Такой сигнал называют обобщенным. Смысл названия в следующем: обобщенный сигнал есть композиция частных сигналов:

1.f(t) = Fm = const (константа),

2.f(t) = Fme t (экспонента),

3.f(t) = Fm cos (!t + ) (гармонический сигнал),

т.е., их обобщает.

Заметим, что частные решения x(t)1 уравнения (6.1) при воздействиях (1–3) имеют тот же вид, что и воздействия:

1.x(t) = Xm = const,

2.x(t) = Xme t,

3.x(t) = Xm cos (!t + ).

Отсюда следует, что если на вход линейной цепи подать обобщенный сигнал f(t), то реакция x(t) также будет обобщенной:

Отметим, что реакция и воздействие не только совпадают по форме. Показатели экспоненты и круговые частоты на входе и выходе цепи одни и те же, в силу ее линейности. То есть, при прохождении обобщенного сигнала через линейную цепь изменяются только лишь его амплитуда и начальная фаза гармонической составляющей. Это и является исходной позицией для построения метода. Наша задача заключается в том, чтобы придать обобщенному сигналу на входе и обобщенному сигналу на выходе такую форму, при которой по заданным на входе величинам Fm и можно было бы определить искомые Xm и (поскольку все остальное мы заведомо знаем).

Воспользуемся формулами Эйлера, и представим входной сигнал в форме

Отметим следующее обстоятельство: изменяющиеся величины (начальная фаза и аплитуда) сосредоточены в множителях Fmej и Fme j и отделены от неизменных и !.

1Начиная с этого момента, для краткости вместо xвын(t) будем писать x(t).

24

ω

Рис. 6.1: Отображение из t- в p- и s-области

Введем понятия комплексной амплитуды F_m = Fmej и комплексной частоты s = +j!. Их комплексно-

сопряженные значения равны m m j , . С учетом введенных понятий мы можем записать

F = F e s = j!

Отсюда, для нахождения x(t), нам достаточно оперировать с комплексными амплитудами, а именно, построить метод, обращающий F_m в X_ m, то есть, осуществляющий перевод независимой переменной t в независимую переменную s, а амплитуды входного сигнала F_m — в амплитуду выходного сигнала F_m:

t : s; F_m : X_ m:

Таким образом, метод комплексных амплитуд (МКА) в своей основе заключается в преобразовании времени (независимой переменной t) в независимую переменную s со всеми вытекающими отсюда последствиями. Сравним p и s-области между собой:

Несмотря на то, что переменные p и s определяются одним и тем же выражением: + j!, между преобразованием Лапласа и переходом в s-область есть существенные различия. При преобразовании Лапласа полуось t отображается в комплексную полуплоскость (см. рис. 6.1); константа C взята из условия сходимости Лапласова интеграла), в то время как при переходе в s-область — в точку. Вывод: анализ в s-области весьма ограничен по сравнению с анализом в p-области (хотя, безусловно, полезен).

6.2Законы Ома для элементов цепи и постулаты Кирхгофа для элементов структуры цепи в s-области

6.2.1Законы Ома для элементов цепи

1. Резистор

Для линейного резистора

u(t) = Ri(t);

где

u(t) = Ume t cos (!t + ) i(t) = Ime t cos (!t + ):

25

Комплексная схема замещения показана на рис. 6.2.

2. Индуктивность

i(t) L

+

u(t)

Для индуктивности

+

u(t)

26

Y s sC

Рис. 6.4: Комплексная схема замещения емкости

Для емкости

Комплексная схема замещения показана на рис. 6.4.

Отметим, что дифференциальные (а, следовательно, и интегральные) уравнения, описывающие ток в индуктивности и напряжение на емкости, становятся алгебраическими. (Это совпадает с результатом в p- области). Следовательно, в методе комплексных амплитуд будут применимы собственные теоремы теории электрических цепей: эквивалентные преобразования источников, МКТ, МУН, МЭИН, МЭИТ.

6.2.2Преобразование источников

1. Обычные источники

2. Зависимые источники

3. Управляемые источники

27

6.3Процедура расчеты вынужденных режимов в s-области с помощью комплексных

схем замещения

1.Для входных сигналов формируем их комплексные амплитуды и записываем их комплексную частоту.

2.Все источники и элементы цепи замещаем их комплексными амплитудами и комплексными сопротивлениями Z(s) (комплексными проводимостями Y (s)).

3.Полученную комплексную схему замещения обычным образом описываем алгебраическими уравнениями Кирхгофа относительно комплексных амплитуд искомых реакций. (Построение графа цепи, сечения и т.д.)

4.Сформированную систему уравнений решаем, и найденные комплексные амплитуды реакций обычным образом переводим в t-область.

5.Проверка. Полученный результат подставляем в независимые уравнения Кирхгофа для узлов и контуров и обращаем их в тождества.

Замечания.

1.Перед началом процедуры необходимо сформировать и решить характеристическое уравнение цепи, и убедиться, что ни один из его корней не совпадает с комплексной частотой. В случае совпадения

корней

f(t) = F_me t cos (!t + ); + j! = v ) x(t) = X_ me tt cos (!t + );

и реакция x(t) не является обобщенным сигналом.

2.Принцип суперпозиции. Если в цепи действует несколько источников сигнала с разными комплексными амплитудами, их рассматривают поочередно, а результаты решения суммируют, пользуясь линейностью цепи.

Пример.

i(t) +

R +

Дано:

R; L

u(t) = Ume t 1(t) iL(0 ) = 0

Найти: i(t) = iвын(t)

Решение

1.U_m = Um; s = :

2.Проверим, можно ли использовать метод комплексных амплитуд. Собственная частота цепи

= RLэкв = RL :

Пояснение. Мы составили дифференциальное уравнение динамики цепи и решили характеристическое

уравнение:

LDi(t) + Ri(t) = u(t) =:Dni(t) ! n L + R = 0:

Вывод: Для решения по МКА требуется

= RL 6= :

28

3. Комплексная схема замещения:

I m +

R +

Из закона напряжений Кирхгофа находим

4. I_m = Im, поскольку мнимая составляющая решения равна нулю. Отсюда

6.4Процедура расчета цепи в комплексной области с помощью уравнений Кирхгофа

1.Описываем динамику цепи в t-области уравнениями Кирхгофа:

XX

uk(t) = 0; ik(t) = 0

kk

иприводим их к общей форме записи (6.1):

A(D)x(t) = G(D)f(t) + H0;

отбрасывая при этом матрицу H0 (матрицу предначальных условий). Действительно, знание предначальных условий для получения частного решения вовсе не требуется. В качестве примера рассмотрим входной сигнал — синусоиду:

f (t)

T 2πω

Fm

t

0

Это обобщенный сигнал. При решении задачи по МКА нам важны только амплитуда Fm, период T = 2 =! и начальная фаза , а расположение сигнала по оси y значения не имеет.

2. В соответствии с уравнениями Ома для элементов цепи в записанном уравнении заменяем

3. Сформированное алгебраическое уравнение решаем обычным образом:

A 1(s)A(s)X_ m = A 1(s)G(s)F_ m

X_ m = A 1(s)G(s)F_ m:

4.Полученный в s-области результат известным образом переводим в t-область, т.е., находим x(t).

5.Проверка. Записав в t-области любое из уравнений Кирхгофа и подставив в него x(t), обращаем его в тождество.

29

Пример. Анализ линейной планарной активной цепи

kiL(t) +

Дано:

R = 4; L = 1; C = 1=16 u(t) = 10 cos (4t + 30 )

Найти: i(t) = iвын(t)

Решение

1. Определим комплексную амплитуду U_m и комплексную частоту s:

U_m = Umej = 10ej30 = 5p3 + j5; s = + j! = j4:

2. Изобразим граф цепи:

При таком выборе сечения в t-области H0 O, так как в качестве искомых переменных мы взяли iL и uC и сформировали дифференциальные, а не интегральные уравнения. Таким образом, тождественное равенство нулю матрицы предначальных условий — это результат нашего выбора искомых переменных. Выбери мы, скажем, uL и iC — тогда бы нам пришлось отбросить ненулевую H0.

3. Уравнения Кирхгофа в t-области:

8

< u(t) + LDiL(t) + RiR(t) = 0; iL(t) = iR(t) + CDuC(t);

: u(t) + LDiL(t) + uC(t) kiL(t) = 0:

В матричной форме

4. Выполним переход в s-область:

5. Обычным образом решив полученное матричное уравнение, и подставив значения U_m и s, найдем

При k = 4 корни характеристического уравнения чисто мнимые: 1;2 = j4, и один из них совпадает с комплексной частотой: s = j4 = 1. В этом случае метод комплексных амплитуд неприменим, поскольку все реакции запишутся в виде x(t) = Xmt cos (4t + ), а это не обобщенный сигнал. Это видно и из нашего решения, которое при k = 4 не определено.

30

Замечания.

1. Можно решить эту задачу с использованием (очевидной) комплексной схемы замещения:

kI L +

2.Так как в s-области цепь описывают алгебраические уравнения, то для решения задачи может быть использован любой из методов расчета; в данном случае самым подходящим является МКТ (поскольку у нас источник напряжения).

6.5Процедура расчета цепи в комплексной области с помощью уравнений состояния

1.Описываем в t-области динамику цепи уравнениями состояния

Dx(t) = Ax(t) + Bf(t):

2. Переводим эти уравнения в s-область, предварительно сформировав F_ m и s:

sX_ m = AX_ m + BF_ m:

3. Решаем полученные уравнения обычным образом:

(sI A)X_ m = BF_ m

(sI A) 1(sI A)X_ m = (sI A) 1BF_ m X_ m = (sI A) 1BF_ m:

4.Переводим полученный результат в t-область.

5.Проверка. Подставляем полученное решение в любое уравнение Кирхгофа и обращаем его в тождество.

Пример. Воспользуемся примером из п. 6.4.

Решение

Из полученных уравнений Кирхгофа имеем:

Сравнивая применительно к этой задаче МКТ и метод переменных состояния, делаем вывод, что МКТ проще в данном конкретном случае.

31