Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

5.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Входное сопротивление (АФХ)
Z(j!) = R + j!L + j!C = R + j !L										!C
								1		1
АЧХ Z(!) = s
АЧХ Z(!) = s	R2 + !L !C								,
						1			2
ФЧХ '(!) = arctg		!L			1
		!L			!C		,
			R				,
ВЧХ r(!) = R,			R
ВЧХ r(!) = R,		1
МЧХ x(!) = !L		1		.

			!C

Построим графики АЧХ и ФЧХ:


= s	R2 + !L !C	2	ej arctg	R		;
1				!L	!C

Z(ω)			φ(ω)
			π
			2
			0		ω0	ω
R
0	ω0	ω	π
			2
	При малых ω доминирует 1 ωC ,		lim φ ω		π
	ω0 : ω0 L 1 ω0C ω0 1 LC		ω 0		2
	ω0 : ω0 L 1 ω0C ω0 1 LC		φ(ω0) = 0
	Z ω0 R,		lim φ ω π
	при ω > ω0	доминирует ωL.	ω	2
	при ω > ω0	доминирует ωL.		2

Вывод:

1.В промежутке 0 < ! < !0 RLC-цепь ведет себя как RC-цепь с некоторой эквивалентной емкостью Cэкв (АЧХ убывает, а ФЧХ неположительна).

2.В промежутке ! > !0 RLC-цепь ведет себя как RL-цепь с некоторой эквивалентной индуктивностью Lэкв (АЧХ растет, а ФЧХ неотрицательна).

3.При частоте ! = !0 RLC-цепь ведет себя как R-цепь: '(!0) = 0; Z(!) = R. Частота !0, как оказалось, от значения R не зависит, а зависит лишь от параметров реактивных элементов (L, C). Такое состояние цепи называют резонансом, а частоту !0 — резонансной частотой.

Более точно, резонанс — это такое состояние цепи, при котором ФЧХ '(!) скачком или плавно переходит через 0.

Отметим, что отличие электрического резонанса от прочих видов резонанса (механического, акустического...) заключается в том, что он связан с фазочастотной характеристикой и ни с чем другим.

Построим АФХ (рис. 6.6). Достаточно очевидно, что при низких ! < !0 АФХ такая же, как в RC-цепях, а при высоких ! > !0 — такая же, как в RL-цепях.

Нас интересует, что происходит в RLC-цепи при резонансе. При ! = !0 получим I_m0 = U_m=R, и тогда

U_mL0

(6.19)

= I_m0 ZL(j!0) = R j!0L =

R j pLC L = jU_m pR

L=C

Легко видеть, что L=C=R — безразмерный коэффициент, т.е. L=C имеет размерность сопротивления.

Обозначим этот коэффициент = L=C и назовем характеристическим сопротивлением RLC-цепи. С учетом введенного обозначения мы можем записать

_	_		_
UmL	= jUm	R	= jUmQ;	(6.20)
	0	R
	0

где обозначили Q = =R. Коэффициент Q назовем коэффициентом усиления RLC-контура в режиме резонанса. (Его также часто называют добротностью колебательного контура).

+j
	Z(j∞) = ∞
		Z(jω2), ω2 > ω1

		Z(jω1), ω1 > ω0
	Z(jω0)	+1
0	Z(jω0)	R

		Z(jω−2), ω0 > ω−2 > ω−1
		Z(jω−1), ω0 > ω−1 > 0
Z(j0)
Рис. 6.6: Амплитудно-фазовая характеристика RLC-цепи

Нетрудно предположить, что легко подобрать параметры R, L, C таким образом, чтобы Q 1. Если это так, то тогда в режиме резонанса UmL0 Um и цепь работает как усилитель напряжения.

С другой стороны, проделав аналогичные выкладки для U_mC0 , получим

R j!0C

R!0C

L=C

UmC0

= Im0 ZC(j!0) =

= j

jUm

= jUmQ:

(6.21)

Вывод:

1.В режиме резонанса напряжения на индуктивности и емкости в Q раз больше, чем на входе цепи.

2.В режиме резонанса напряжения на индуктивности и емкости одинаковы по величине и противоположны по знаку.

Проиллюстрируем полученные нами сведения векторными диаграммами:

Um		Um				U m

			R					R
Im						I m			U m

0
						φ

UmC0		U mL0		U mL						U mC

ω = ω0				ω < ω0					UmC	UmL
R-характер				RC-характер
				U m

					R
			U m	I m

				φ
U m						U m

	L						C

			UmL	UmC		ω > ω0

RL-характер

Векторные диаграммы и проведенные рассуждения показывают, что напряжения на индуктивности и емкости в режиме резонанса есть, но они равны по величине и противоположны по знаку. В итоге входное напряжение приложено к резистору. Что происходит в емкости и индуктивности с энергетической точки зрения? Для индуктивности

Li2

(t)

L(Im

cos !0t)2

LI2

cos2 !0t

(t) =

= LI2 cos2

! t;

где в силу того, что рассматривается последовательный RLC-контур, Im0 = ImL0 = ImC0 , I0 действующее значение тока.

Аналогичное выражение для емкости:

Cu2

(t)

CUm2 C

sin2 !0t

CI2 Z2

(!0) sin2

!0t

WC0

(t) =

m0 C

(6.22)

= Im0 = 2 —


				2				2	1		sin	2
2		1			2			CIm0	1		sin		!0t
	CIm0			sin		!0t		C2							LIm2	0 sin2 !0t	= LI2 sin2
			C!0
=			C!0				=			LC				=				!	t; (6.23)
=							=							=				!	t; (6.23)
		2							2							2	0	0
		2							2							2

где в силу того, что iC(t) = DuC(t) изменяется по закону cos, uC(t) изменяется по закону sin. Сложив WL0 (t) и WC0 (t), получим энергию, запасенную в режиме резонанса:

W	L0	(t) + W	C0	(t) = LI2	(cos2	! t + sin2	!	t) = LI2	= const:	(6.24)
	L0		C0	0		0	0	0

Вывод: В режиме резонанса сумма мгновенных энергий в индуктивности и в емкости постоянна, т.е. индуктивность и емкость обмениваются энергией между собой и ничего не потребляют от источника. В этом коренное отличие электрического резонанса от любого другого.

Общий вывод: Все отмеченные особенности последовательного RLC-контура распространяются на любые RLC-цепи, т.е. во всех RLC-цепях в режиме резонанса фаза скачком или плавно переходит через 0, а реактивные элементы, находящиеся в цепи, обмениваются энергией между собой, ничего не потребляя от источника.

Пример. RLC-цепь, в которой наблюдаются 2 резонанса с различными по характеру изменениями ФЧХ

jωL1

I m

jωL2

U m

1 jωC

Решение

1. Входное сопротивление

j!C

Z(j!) = R +

R2 +

!L1(1 !

L2C)

ej arctg

R(1 !2C(L1

+L2) :

j!L1

j!L2 +

!L1(1 !2L2C)

j!L1

+ j!L2

1 !2C(L1 + L2)

j!C

2. Фазочастотная характеристика

'(!) = arctg

!L1(1 !2L2C)

R(1 !2C(L1 + L2)

Функция '(!) переходит через 0 дважды: при обращении в ноль числителя и знаменателя:

1 !2L2C = 0 , !01 =

;

L2C

1 !2C(L1 + L2) = 0 ,

!02 =

C(L1 + L2)

Когда обращается в ноль числитель, переход происходит плавно, когда знаменатель — скачком. Сравнив !01 и !02 , видим, что !01 > !02 .

3. Построим качественно графики АЧХ и ФЧХ:

Z(ω)					φ(ω)
					π
					2
					0	ω0	2	ω0	ω
							2	1
R
0	ω0		ω0	ω	π
0	ω0	2	ω0	ω	2
		2	1

Пример. Цепь с вечным резонансом
			I m		R	R
			I m
			+		jωL1	1 jωC
			U m		jωL1	1 jωC

Из определения резонанса никак не следует, что это непременно только точка на оси !. В изображенной

цепи при условии R = = L=C наблюдается вечный резонанс ('(!) = 0 8!). Проверим это. Входное сопротивление (АФХ):

Rj!L

R2!2L2

R2!C

R2!L

Z(j!) =

j!C

+ j

R + j!L

R2!2C2 + 1

R2 + !2L2

R +

R2 + !2L2

R2!2C2 + 1

j!C

= r(!) + jx(!):

Фазочастотная характеристика

'(!) = arctg x(!) r(!)

проходит через 0 только тогда, когда x(!) = 0 (r(!) = 0 может быть только при комплексных значениях !, а это недопустимо).

Подставим R = = L=C в выражение для x(!):

L2!

x(!) =

= 0:

+ !2L2

C + 1

!2C2 + 1

+ !2L2

C + 1 L!

6.11Заключение

Метод комплексных амплитуд, имея узкий спектр входных сигналов (только обобщенные сигналы), предоставляет существенные возможности, во-первых, для отыскания вынужденной составляющей полной реакции; во-вторых, для получения свободной составляющей (при определенных ограничениях); в-третьих, при действии гармонических сигналов — для исследования частотных свойств цепей (систем), и, в частности, выделения резонансных явлений.

7Анализ установившихся периодических режимов в линейных планарных и непланарных, пассивных и активных цепях в области дискретной мнимой переменной s = jk!1, k 2 N0 (метод рядов Фу-

рье)

7.1Постановка задачи. Временное и спектральное представление гармонических и периодических негармонических сигналов, имеющих разложение в ряд Фурье

Периодическим называется сигнал, описываемый функцией f(t) такой, что f(t + T ) = f(t) (рис. 7.1). Наименьший интервал повторения функции T называется периодом сигнала.

При анализе будем условно считать, что периодическое воздействие приложено к цепи в момент t ! 1, т.е., к моменту времени t = 0 переходные процессы в ней затухли, и наблюдается установившийся (вынужденный) периодический режим.

Все множество периодических сигналов можно проанализировать, если оперировать в частотной области — то есть, работая не с функциями f(t), а с амплитудами Ak и фазами k. Особенно удобно это для периодических, но негармонических сигналов, имеющих разложение в ряд Фурье.

Функции, описывающие реальные периодические сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле:

1.В пределах периода непрерывны или имеют разрывы первого рода.

2.В пределах периода ограничены по уровню и имеют конечное число максимумов и минимумов. Такие сигналы могут быть представлены сходящимся при 1 < t < +1 рядом Фурье:

1
	X
f(t) = f(t + T ) = a0 +		(ak cos k!1t + bk cos k!1t);					(7.1)
	k=1
где !1 = 2 =T — частота первой (главной) гармоники.
Далее мы будем работать с разложением в ряд Фурье по косинусам:
	A0	1
			X
f(t) = f(t + T ) =	2	+ Ak cos (k!1t k):					(7.2)
			k=1
Связь между коэффициентами ak, bk и Ak дается известными соотношениями
< k = p
< k = p				ak
Ak =		ak2		+ bk2
8		arctg			bk	;	(7.3)
8		arctg
: ak = Ak cos
bk = Ak sin kk						:	(7.4)

f (t)	T	f (t)	T
			T

0	t	0	t
0		0
f (t)	T	f (t)	T
	T		T

0	t	0	t

Рис. 7.1: Примеры периодических сигналов

Коэффициенты ak и bk определяются по формулам Эйлера–Фурье:

8 ak =			T	f(t) cos k!1tdt

		T	0		:	(7.5)
>	2		Z T
>	2
< bk =	T Z0			f(t) sin k!1tdt
>

Поскольку сигнал имеет разложение в ряд Фурье по гармоническим функциям, то естественно для такого сигнала также использовать метод комплексных амплитуд (так как любой гармонический сигнал есть частный случай обобщенного).

Желая построить формальный метод, мы должны найти способ перехода из t-области в область мнимой дискретной переменной jk!1, решить задачу в этой области и перейти обратно в t-область. Таким образом, первичная задача состоит в получении двух взаимообратных преобразований для переходов t : jk!1 и jk!1 : t соответственно.

7.1.1Переход из t-области в jk!1-область

Введем понятие комплексной амплитуды k-й гармоники A_k = Ake j k . Сопряженная комплексная амплиту-

j k

да равна, соответственно, Ak = Ake

. Распишем Ak по формуле Эйлера:

f(t) sin k!1tdt!

A_k = Ake j k = Ak cos k jAk sin k = ak jbk = T 0

f(t) cos k!1tdt j

= T Z0

f(t)e jk!1t dt: (7.6)

f(t)(cos k!1t j sin k!1t)dt =

T Z0

7.1.2Переход из jk!1-области в t-область

Этот переход, очевидно, задается самим разложением (7.2):

f(t) = A20 + X

k=1

A0			1	ej(k!1t k) + e j(k!1t k)
Ak cos (k!1t k) =		+	X						=
Ak cos (k!1t k) =	2	+	Ak		2				=
			k=1
				=	A	+	1 1
				=	20	+	2 k=1 A_kejk!1t
								X

jk!1t (7.7)

+ Ake :

Легко видеть также, что выражение (7.7) можно упростить. Действительно, при k 1 Ak и Ak отличаются

только знаком; тогда можно записать

_ jk!1t

jk!1t

f(t) =

Ake

(7.8)

k=1

Замечание. Прямое преобразование получено нами в замкнутой форме — интегрирование обеспечивает точный переход из t-области в jk!1-область. Обратное преобразование получено в форме ряда (незамкнутой форме), и мы теряем остаток ряда при таком преобразовании (поскольку до бесконечности мы суммировать не умеем). Следовательно, возникает необходимость в оценке отброшенного остатка. Но такой оценки для ряда Фурье до сих пор не предложено.

7.1.3Свойства рядов Фурье симметричных сигналов

1.Для четных сигналов (f( t) = f(t)) в разложении (7.1) нет синусоид, т.е., все коэффициенты bk = 0, поскольку sin k!1t не обладает свойством четности. Следовательно, в соответствии с формулой (7.3), амплитуды Ak = ak, а начальные фазы равны либо 0, либо .

2.Для нечетных сигналов (f( t) = f(t)) в разложении (7.1) нет косинусоид, т.е., все коэффициен-

ты ak = 0, поскольку cos k!1t не обладает свойством нечетности. Следовательно, в соответстиви с формулой (7.3), амплитуды Ak = bk, а начальные фазы равны либо =2, либо =2.

3.Для сигналов, симметричных относительно оси t при сдвиге на половину периода, т.е., обладающих свойством f(t) = f(t T=2), в разложении (7.1) нет гармоник четных номеров, поскольку эти гармоники не обладают указанным свойством.

7.1.4Использование преобразования Лапласа для отыскания коэффициентов ряда Фурье

Согласно (7.7) комплексная амплитуда k-й гармоники равна

A_k = T Z0		T
A_k = T Z0		f(t)e jk!1t dt:
	2

Описание периодического сигнала внутри интервала интегрирования 0 < t < T назовем условным первым импульсом сигнала и обозначим f1(t). Очевидно, f1(t) = 1(t) 1(T t)f(t). С учетом этого можно в выра-

_
жении для Ak заменить f(t) на f1(t) и брать интеграл уже от 0 до 1:
A_k =	2	1	f1(t)e jk!1t dt =	2	Z0	1	(t)e pt dt p=jk!1 =	2	F1(p)jp=jk!1 :	(7.9)
A_k =	T	Z0	f1(t)e jk!1t dt =	T	Z0	f1	(t)e pt dt p=jk!1 =	T	F1(p)jp=jk!1 :	(7.9)

7.1.5Пример: получение дискретного амплитудного и фазового спектров меандра

f (t)			T

0	τ	T	t

Комплексная амплитуда k-й гармоники:

A_k = Ake j k = T Z0

Ae jk!1t dt =

f(t)e jk!1t dt = T

jk!1 e jk!1t 0

jk!1

jk!1 =2

jk!1

) =

( e

+ e

) =

jk!1

2A sin

k!1

ejk!1 =2 sin

k!1

e jk!1 =2

: (7.10)

k!1

Изобразим амплитудный дискретный спектр:

2 Aτ

A−1

A−4

A−2

−4ω1

−ω1 0

ω1

4ω1

kπτ

2Asin

A−3

kπ

и фазовый дискретный спектр:

αk

α−2

α−1

−2ω1 −ω1 0

ω1

2ω1

α1

kπτ

α2

αk

Из графиков видно, что амплитудно-частотный спектр — четная функция, а фазовый спектр — нечетная. Таким образом, периодический негармонический сигнал эквивалентно представлен при помощи амплитудно-

и фазово-частотных дискретных спектров. Если теперь выполнить обратное преобразование (просуммировать конечное число, например, 7, членов ряда Фурье), то исходного сигнала мы не получим:

f (t)

0,8

0,6

0,4

0,2

0			t
1	2	3	4

(График приведен для = 1; T = 2; A = 1.)

7.2Законы Ома для элементов цепи и постулаты Кирхгофа для элементов структуры цепи в области дискретной мнимой переменной s = jk!1. Процедура расчета

методом рядов Фурье

7.2.1Законы Ома для элементов цепи и постулаты Кирхгофа для элементов структуры цепи

Если входной сигнал гармонический или является суперпозицией гармонических сигналов, его ряд Фурье содержит конечное число гармоник. Если сигнал негармонический, его ряд Фурье состоит из бесконечного числа гармоник. И в том, и в другом случае ничто не мешает нам применять к отдельной гармонике с частотой k!1 символический метод (метод комплексных амплитуд); в этом случае s = jk!1. Отсюда следует, что все сведения для s = j! остаются справедливыми и в случае анализа методом рядов Фурье, с точностью до замены комплексной амлитуды сигнала A_m на комплексную амплитуду k-й гармоники сигнала A_mk , а аргумента j! — на аргумент jk!1.

Имеется и существенное отличие анализа в jk!1-области от анализа в s-области. В s-области спектральные характеристики (амплитуда и фаза) непрерывны, поскольку мы работаем с одним единственным гармоническим сигналом, частоту ! которого можем изменять непрерывно. В jk!1-области мы работаем с множеством гармонических сигналов, частоты k!1 которых жестко фиксированы, как диктуется определением ряда Фурье. Поэтому мы получаем дискретный амплитудный и фазовый спектр, который состоит лишь из точек с амплитудами Ak и k соответственно (рис. 7.2).

Всилу вышеизложенного комплексные схемы замещения из МКА справедливы и в методе рядов Фурье

ссоответствующей заменой =: j! ! jk!1.

Пример. Индуктивность

i(t) = i(t + T)

u(t) = u(t + T)

αk

A−2

α−2

α1

α−1

α2

A−1

α0

−2ω1 −ω1 0

ω1 2ω1

−2ω1 −ω1 0

ω1 2ω1

Рис. 7.2: Дискретный спектр (амплитудный и фазовый) периодического сигнала

Вs = j!-области U_m = j!LI_m (здесь частота меняется непрерывно).

Вjk!1-области U_mk = jk!1LI_mk (здесь частота меняется строго дискретно, в соответствии с разложением в ряд Фурье).

Соответственно, остаются справедливыми постулаты Кирхгофа для узлов и контуров:

_	= 0;	_	= 0:	(7.11)
Umkn		Imkn

7.2.2Процедура расчета методом рядов Фурье

	R, L, C
f (t) = f (t + T)	УИН, УИТ
f (t) = f (t + T)
периодический	линейная цепь
негармонический
сигнал

x (t) = x (t + T)

периодический негармонический сигнал с тем же периодом, имеющий разложение в РФ по тем же гармоникам, что и входной сигнал

u(t) =

R, L, C

= const

УИН, УИТ

= u(t + T)

≡ u1 = A1 ×

i0 = const

× cos(ω1t+α1)

i(t) = i(t + T)

i1 = B1 ×

× cos(ω1

t+β1)

В силу линейности цепи мы можем использовать принцип суперпозиции, то есть рассмотреть цепь под действием каждого из источников поочередно, исключая остальные, а затем просуммировать реакции цепи на каждое из воздействий. Сначала будем рассматривать воздействия i0, u0 (константы), затем i1, u1 (первые гармоники) и т.д. Таким образом, процедура расчета методом рядов Фурье сводится к n-кратному расчету цепи под действием гармонического сигнала (по методу комплексных амплитуд).

1.Раскладываем входной сигнал в ряд Фурье. По формуле (7.2) преобразуем его в дискретный частотный спектр, который подразделяем на амплитудный (Ak) и фазовый ( k).

2.Строим комплексную схему замещения цепи, в которой в качестве аргумента используем мнимую переменную jk!1.

3.С помощью метода комплексных амплитуд обычным образом (по Кирхгофу, через МКТ, МУН, уравнения состояния...) анализируем эту цепь под действием каждой из дискретных составляющих входного сигнала.

4.Ограничив по тем или другим критериям количество анализируемых гармоник (ограничив ряд Фурье конечным числом членов), завершаем процедуру анализа. Суммируем полученные результаты, переведя их предварительно из jk!1-области в t-область.

Замечания.

1.Процедура не завершается проверкой ни в jk!1-, ни в t-области, поскольку мы не оцениваем отбрасываемый остаток ряда Фурье как во входном, так и в выходном сигналах.

2.Если результат признается неудовлетворительным, либо требуется более высокая точность, повышают число суммируемых членов ряда Фурье.

7.3Вычисление периодической реакции цепи в замкнутой форме операторным методом

7.3.1Постановка задачи

Пусть на вход линейной цепи подается входной периодический негармонический сигнал. Тогда в установившемся гармоническом режиме на выходе будет периодический негармонический сигнал с тем же самым периодом, что и входной:

	R, L, C
f (t) = f (t + T)	УИН, УИТ
f (t) = f (t + T)
периодический	линейная цепь
негармонический
сигнал

x (t) = x (t + T)

Применим операторный метод:

	R, pL, 1 pC
F(p) = [f (t + T)]	УИН, УИТ	X (p) = [x (t + T)]
F(p) = [f (t + T)]		X (p) = [x (t + T)]

линейная цепь

Необходимо из изображения реакции цепи извлечь изображение только вынужденной составляющей, но получить это изображение в замкнутой форме (т.е., точно).

Поскольку цепь линейна, ограничимся случаем, когда она пассивна:

F(p) = [f (t + T)]	R, pL, 1 pC
F(p) = [f (t + T)]		X (p) = H(p)F(p)
	H(p)
А пассивную цепь можно характеризовать передаточной функцией H(p). Тогда
	X(p) = F (p)H(p);	(7.12)

где X(p) = Xсв(p) + Xвын(p):

Изображение свободной составляющей нам заведомо известно. Для простого случая некратных полюсов оно имеет вид

+ p

;

(7.13)

k=1

где pk — корни функции передачи H(p). Тогда

= Xвын1 (p)[1 + e pT + e 2pT + : : :] = Xвын1 (p)

Xвын(p) = X(p) Xсв(t) = F (p)H(p)

e kpT ;

k=1

k=0

(7.14)

где Xвын1 (p) — изображение вынужденной составляющей первого периода, а ряд 1 + e pT + e 2pT + : : :

(геометрическая прогрессия со знаменателем e pT ) получен по теореме запаздывания.

Тогда, чтобы получить результат в замкнутой форме, достаточно из вынужденной составляющей выделить изображение первого периода в замкнутой форме.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20251.01 Mб3лабы_электроника.doc
#
16.12.2018462.36 Кб25лампы.docx
#
01.07.2025833.02 Кб1лек 2.doc
#
09.02.20153.97 Mб210ЛЕКЦИИ (Расчет модели вект упр АД).doc
#
01.07.20251.65 Mб0Лекции 1,2.docx
#
09.02.20155.33 Mб70Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ.pdf
#
20.07.2019158.21 Кб3Лекции Гаркуши.doc
#
01.04.20251.52 Mб1Лекции КГ_2013(1).doc
#
17.09.20192.99 Mб27Лекции по МП и МПС.doc
#
09.02.2015360.6 Кб91Лекции по приводу.pdf
#
09.02.20151.32 Mб49Лекции по физике 3 семестр.doc