Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ

6.6Понятие комплексной функции цепи. Связь комплексной функции цепи с дифференциальным уравнением ее динамики

6.6.1Понятие комплексной функции цепи

Комплексная функция цепи — это отношение комплексной амлитуды реакции цепи к комплексной амплитуде воздействия:

H(s) = X_ m = (R; L; C; k; s): F_m

Сравним с функцией передачи в p-области:

H(p) = X(p) = (R; L; C; k; p):

F (p)

H(s) и H(p) формально совпадают с точностью до обозначений.

6.6.2Связь комплексной функции цепи с дифференциальным уравнением ее динамики

1. В t-области

A(D)x(t) = G(D)f(t):

Если f(t) = o, то A(D)x(t) = o ) A( ) = o — одно характеристическое уравнение цепи, при x(t) = o, G( ) = o — второе характеристическое уравнение.

2. В s-области

A(s)X_ m = G(s)F_ m:

Пусть на входе F_ m, тогда A(s)X_ m = o ) A(s) = o. Полученное уравнение после замены =: s ! совпадает с первым характеристическим уравнением цепи.

Пусть теперь на входе X_ m, тогда G(s)F_ m = 0 и мы получаем второе характеристическое уравнение цепи: G( ) = o. Вывод: в s-области нас не интересуют уравнения динамики, чтобы узнать характеристическое. Действительно,

H(s) = X_ m = G(s):

F_ m A(s)

Записав комплексную функцию цепи в виде дроби, мы можем сформировать характеристическое уравнения цепи из ее числителя или знаменателя, в зависимости от вида входного сигнала и реакции. Затем, получим G( ) либо A( ), мы можем удостовериться, что k 6= s и можно применять метод комплексных амплитуд.

Пример. Найти корни характеристического уравнения, если в цепи: а) ИН, б) ИТ.

2.Если на входе источник напряжения U_m, тогда I_m = X_ m, и, полагая, что сигнал на входе равен нулю, получим

(R1 + L)(1 + R2 C) = 0;

откуда 1 = R1=L; 2 = R2=C. С точки зрения «физики» процесса, мы подключаем участки цепи R1–L и R2–C параллельно к короткозамкнутому источнику напряжения. В результате, две собственные частоты цепи независимы друг от друга и определяются только параметрами подключаемых участков.

32

3. Пусть теперь на входе источник тока I_m = F_m. Тогда, полагая, что сигнал на входе равен нулю, получим

2LC + (R1 + R2) C + 1 = 0;

что тоже физически объяснимо. Мы подключаем участки цепи последовательно к разрыву I_m = 0, и собственные частоты цепи теперь определяются всеми параметрами цепи, в отличие от предыдущего случая. Кроме того, здесь 1;2 могут быть как вещественными, так и комплексно-сопряженными. (В предыдущем случае возможны были только вещественные значения).

6.7Анализ цепей в переходном режиме в s-области

6.7.1 Общие соображения

Рассмотрим интегрально-дифференциальное уравнение динамики цепи (6.1):

A(D)x(t) = G(D)f(t) + H0:

Известно, что некоторая регулярная составляющая его решения имеет вид

n=1

Для отыскания xl(t) находят Xm, и n по методу комплексных амплитуд, причем предначальные условия знать для этого не требуется. Константы интегрирования An, напротив, узнают с использованием предначальных условий и правила коммутации. Это общий момент всех методов решения уравнения динамики цепи.

Вывод: При действии на цепь обобщенного сигнала задача отыскания переходного процесса в цепи может быть полностью от начала и до конца решена в s-области.

6.7.2Процедура расчета переходного процесса в линейных цепях в s-области

1.При t > 0 для действующего на цепь обобщенного сигнала записываем его комплексную амплитуду и комплексную частоту.

2.Анализируемую цепь, например, замещаем комплексной схемой замещения. (Можно также решать по Кирхгофу или через уравнения состояния).

3.Используя какой-либо из методов расчета, находим комплексную реакцию цепи.

4.Формируем какую-либо из комлексных функций цепи, в зависимости от вида входного сигнала, записываем характеристическое уравнение цепи и решаем его.

5.Убедившись, что ни один из корней характеристического уравнения не совпадает с комплексной частотой, формируем комплексную реакцию цепи и обычным образом переводим результат в t-область, получая в итоге xl вын(t).

6.На основании вида найденных корней характеристического уравнения формируем в общем виде свободную составляющую полной реакции цепи.

7.Обычным образом анализируем цепь до коммутации. Находим предначальные условия, и по правилу коммутации — начальные.

8.Обычным образом формируем алгебраическую систему уравнений относительно констант интегрирования и решаем ее.

9.Проверка. Полученное решение в t-области подставляем в какое-либо из уравнений Кирхгофа и обращаем его в тождество.

33

Пример.

Дано:

i(t) = 2e3t 1( t) + 3 sin (4t + 30 ) 1(t) R1 = R2 = 1=2

R = 1

C = 1

Найти: uC(t); t 0

Решение

1. Изобразим воздействие:

i(t)

3

2

1

t

-1

-2

-3

Налицо скачок в значении i(t) на входе, а, следовательно, коммутация. 2. Найдем вынужденную составляющую реакции uC вын(t).

uC вын(t) = UCm e t sin (!t + ) = UCm cos (4t + ); = =2:

Подлежат отысканию UCm и . Запишем комплексную амплитуду и комплексную частоту:

s= j4:

3.Комплексная схема замещения:

34

Воспользуемся МУН, объявив узел ( ) зависимым и заземлив его. Тогда U_1у и даст требуемый результат.

4. Найдем характеристическое уравнение. Комплексная функция цепи есть входное сопротивление цепи:

На входе ток, значит, полагаем I_m = 0; тогда

A(s)U_m = 0:

Заменив =: s ! , получим характеристическое уравнение

R= C

R1 + R2 + R + 1= C = 0;

может быть никаким другим, кроме как вещественным (поскольку коэффициенты уравнения вещественные, а порядок — как и у цепи — первый). Таким образом, 6= s = j4 и МКА применим при t > 0

и любых параметрах цепи.

5.Найдем предначальные условия, рассмотрев цепь при t < 0. В цепи действует другой обобщенный сигнал — экспонента. Для него

I_m = 2; s = 3:

Структурных изменений не произошло, поэтому воспользуемся для нахождения uC(0 ) полученным решением по МУН:

В t-области

uC(t) = 35e3t ) uC(0 ) = 35:

6.По правилу коммутации uC(0+) = uC(0) = uC(0 ). В момент времени t = 0+ напряжение на емкости равно

uC(0+) = UCm cos + A = uC(0 );

откуда константа интегрирования A = 403 8 + 3p6 + 4p2 0; 168. Окончательно

uC(t) = 0; 168e 2t + 0; 871 cos (4t + 3; 633) = 0; 168e 2t + 0; 871 cos (4t + 151; 829 ):

6.8Расчет линейных цепей в установившемся гармоническом режиме (s = j!)

Рассмотрим реакцию цепей (линейных, планарных и непланарных, пассивных и активных) при действии на них обобщенного гармонического сигнала f(t) = Fm cos (!t + ):

Гармонические сигналы удобны во многих ситуациях, поскольку:

Их легко создавать.

Они ограничены по амплитуде (в отличие от экспоненты Fme t).

В идеале являются незатухающими.

Хорошо регулируются: можно задавать разные частоты ! ( ) и получать на выходе совершенно другие характеристики сигнала.

35

+j

ω

Рис. 6.5: Отображение из t-области в область мнимой переменной s = j!

6.8.1Постановка задачи. Дополнительные определения. Законы Ома и постулаты Кирхгофа в области мнимой переменной s = j!

Пусть дана произвольная линейная RLC-цепь:

В случае гармонического воздействия мы всегда знаем вид реакции, и отыскиваем лишь вынужденную ее составляющую x(t) = xвын(t). Поиск сводится к решению методом комплексных амплитуд, при этом полуось времени t > 0 отображается в точку с координатами j! на комплексной плоскости (рис. 6.5).

6.8.2Дополнительные определения

Действующим значением периодического сигнала (тока или напряжения) называется такое значение постоянного сигнала (тока или напряжения), которое, будучи приложенным к резистору с сопротивлением R, за время равное периоду T вызовет в нем такую же потерю энергии, что и периодический сигнал.

1. Для постоянного тока

36

Замечание. Напряжение в качестве сигнала было выбрано для определенности. (Ток ничем не хуже). Действительное значение мы найдем, приравняв W=(t) к W (t):

Для гармонического сигнала u(t) = Um cos !t2. Тогда

ss

p

Вывод: Действующее значение гармонического сигнала в 2 меньше его амплитудного значения.

6.8.3Законы Ома для элементов цепи

1. Резистор

Легко видеть, что этот результат не зависит от s; следовательно, резистор, как и в общем случае, переходит сам в себя: Z(j!) = R.

Для упрощения рассмотрения процессов в синусоидальном режиме принято соотношения между комплексными амплитудами принято изображать векторными диаграммами, интерпретируя комплексные амплитуды как векторы. Например, для резистора векторная диаграмма имеет вид:

2. Индуктивность

I m sL

+

U m

Из (6.8) для индуктивности имеем

2Начальная фаза для вычисления площади несущественна, поэтому мы полагаем = 0.

37

Комплексное сопротивление индуктивности, таким образом, равно Z(j!) = j!L. Векторная диаграмма:

+j

U m

ω

αu

I m

Замечание. Иногда говорят, что на векторной диаграмме L-элемента вектор U_m опережает вектор I_m на =2.

3. Емкость

Комплексная проводимость индуктивности, таким образом, равна Y (j!) = j!C. Векторная диаграмма:

+j

I m

ω

αi

U m

Замечание. Иногда говорят, что на векторной диаграмме L-элемента вектор I_m опережает вектор U_m на =2.

Замечание. При качественном построении векторных диаграмм широко используются мнемонические правила, например ULICU («УЛИЦУ»), которые позволяют легко запомнить, что напряжение на индуктивности опережает ток на =2, а ток на емкости — напряжение на все те же =2.

6.8.4Постулаты Кирхгофа

В области комплексной переменной s были получены постулаты Кирхгофа:

XX

kk

Поскольку в постулатах комплексная частота не фигурирует, они точно так же справедливы в установившемся гармоническом режиме (при s = j!).

Можно построить векторную диаграмму, отображающую постулаты Кирхгофа:

38

U m2

U m1

Замечание. По идее, комплексные числа изображают векторами, выходящими из начала координат. Однако для наглядности диаграмм мы будем повсеместно пользоваться параллельным переносом.

6.9Частотные характеристики RL- и RC-цепей

6.9.1Постановка задачи. Дополнительные определения

Главное и существенное преимущество гармонического сигнала — легкость управления им с помощью частоты !. Естественно возникает желание изучить свойства цепей при воздействии на них гармонических сигналов с ! = var; = const; Fm.

Пусть дана линейная RLC-цепь с УИН и УИТ:

Представляет интерес изучение вариаций Xm и в зависимости от !. Из постановки задачи вытекает необходимость ввода новых обозначений.

Комплексной функцией передачи называют отношение реакции к входному сигналу:

Размерность комплексной функции передачи может быть самой разной, в зависимости от характера входного и выходного сигнала (ток или напряжение). Для определенности положим, что X_ m — напряжение, а F_m

— ток. Тогда комплексная функция есть входное сопротивление цепи и может быть записана в виде

Z(j!) = Z(!)ej'(!) = r(!) + jx(!)

(экспоненциальная и алгебраическая формы записи комплексного числа). Тогда на этом примере можно ввести следующие определения:

Z(!) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

'(!) — фазочастотная характеристика (ФЧХ),

r(!) — вещественная частотная характеристика (ВЧХ),

x(!) — мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Пары АЧХ–ФЧХ, ВЧХ–МЧХ однозначно характеризуют цепь. Можно построить и Z(j!) в комплексной области — это будет АФХ (амлитудно-фазовая характеристика). Она тоже однозначно характеризует цепь.

Далее мы изучим два важных класса цепей RL- и RC-цепи. Как обычно, сначала рассмотрим важный частный случай, а затем произведем обобщение.

6.9.2Частотные характеристики RL-цепей

Исследуем цепь

+ U m

39

Входное сопротивление (АФХ):

p

Z(j!) = R + j!L = R2 + (!L)2ej arctg (!L=R);

ВЧХ r(!) = R, МЧХ x(!) = !L.

Построим все характеристики попарно для описания свойств цепи и выявления ее особенностей.

ωL

R

6.9.3Частотные характеристики RC-цепей

Входное сопротивление (АФХ):

40

Построим все характеристики попарно для описания свойств цепи и выявления ее особенностей.

Вывод: Более сложные RL- и RC-цепи по сути эквивалентны рассмотренным ранее, поскольку все дополнительные элементы цепи учитываются сопротивлением R. Если в сопоставлении рассмотреть, например, аплитудно-частотные и фазочастотные характеристики RL- и RC-цепей, то можно заметить, что:

АЧХ всех RL-цепей с ростом частоты растут, а ФЧХ всегда неотрицательны.

АЧХ всех RC-цепей с ростом частоты убывают, а ФЧХ всегда неположительны.

Отсюда следует, что в RLC-цепях, объединяющих RC- и RL-цепи, должны появиться новые эффекты, отличные как от RC-, так и от RL-цепей свойства.

6.10Частотные характеристики RLC-цепей. Резонанс

6.10.1 Последовательная RLC-цепь

Изучим частотные характеристики RLC-цепи, взяв последовательный контур в качестве примера, и сделаем необходимые выводы. Схема цепи:

R

+

U m

1 jωC

41