Частина3

7.7 Розрахунок на міцність при згині.

При поперечному згині балки її матеріал знаходиться в неоднорідному плоскому напруженому стані. Умова міцності повинна записуватись для так званої небезпечної точки, де матеріал перебуває в найбільш напруженому стані. Такою небезпечною точкою може бути одна з трьох точок (рис.7.17): а, б, в.

M Q M

рис. 7.17.

В точці “а” нормальне напруження s =smax , а дотичне t рівне нулеві. В цій точці має

- 51 -

місце одновісний напружений стан.

В точці “б”, посередині висоти перерізу, t = tmax , а s = 0 . В цій точці має місце плоский

напружений стан чистого зсуву.

В точці “в”, яка знаходиться між точками “а” і “б”, s і t не досягають кожне окремо найбільших значень, але в своїй комбінації дають найбільше еквівалентне напруження по вибраній для розрахунку теорії міцності. Така точка може бути одна або декілька. Для розрахунку балок із пластичних матеріалів найчастіше використовують умови міцності заIII

або IV теорією.

Умови міцності для точок а, б, в перерізу мають вигляд

міцність балки. Проте, якщо балка має тонкостінний переріз і до неї прикладено значне поперечне навантаження, то потрібно перевірити всі три умови міцності(7.19)-(7.21). При

профілю поперечного перерізу (прямокутник, круг, двотавр), підбирають його розміри. Коли переріз за основною умовою міцності (7.22) підібраний, то потім можна виконати його перевірку за всіма умовами міцності.

З питанням підбору поперечного перерізу балки пов’язане питання його раціональної форми. Оскільки основний вплив на міцність балки при згині мають нормальні напруження, які збільшуються при віддалені від нейтральної ,осіто найбільш раціональними з точки зору економії матеріалу і зменшення ваги балки, є такі перерізи, в яких щонайбільше матеріалу розташовано найдальше від цієї осі. Прикладами таких перерізів є перерізи типу двотавра.

Приклад 7.5 Для балки, схема якої показана на рис.7.18 а:

а) підібрати круглий, прямокутний (з відношенням h = 2 ) і двотавровий перерізи балки, b

якщо [s ] = 16 кН / см2 .

- 52 -

б) для підібраного двотавра виконати повну перевірку міцності.

Епюри поперечної силиQ(x) та згинального моментуМ(х) показані на рисунку. Як видно з епюри М(х), M max = 40 кНм .

Тоді момент опору, що визначається з умови (7.22) дорівнює

- 53 -

Умову міцності за III теорією (7.21) перевіримо в точці “П” перерізу (рис.7.18 б) (в точці переходу від полички двотавра до стінки). Для цього за формулами (7.9) і (7.18) знаходимо

Тоді

sеквIII = s2 + 4 t2 = 14,672 + 4 ×3,052 =15,89 кН / см2 <16 кН / см2 .

Всі три умови міцності виконуються, отже міцність балки забезпечена.

7.8Переміщення при згині балки. Диференціальне рівняння зігнутої осі балки.

Убагатьох випадках практичного розрахунку елементів конструкцій, що працюють на згин, крім розрахунку на міцність треба проводитирозрахунокі на жорсткість. Для проведення такого розрахунку необхідно вміти визначати переміщення точок.

При плоскому згині вісь балки скривлюється. Ця вісь є плоскою кривою, що лежить в одній з головних площин балки. Її називають пружною лінією балки.

При згині точки осі балки переміщаються відносно свого початкового положення. При малих деформаціях нехтують горизонтальними складовими переміщень осі і беруть до уваги

осі балки дотична до неї утворює з

рис. 7.19.

віссю Oх кут q(x)- кут повороту осі балки.

- 54 -

Користуючись геометричною інтерпретацією першої похідної функції у(х) y' (x) = tgq

Виражаючи, з іншого боку, кривизну кривої у(х) через її похідні, нехтуючи величинами вищого порядку малості і приводячи у відповідність знаки згинального моменту із знаками похідної функції у(х), отримаємо наближене диференціальне рівняння зігнутої осі балки

Для визначення переміщень з цього рівняння, його потрібно інтегрувати два рази. При цьому виникають дві постійні інтегрування, що знаходяться з умов закріплення балки:

а) на защемленому краї балки прогин у і кут повороту дорівнюють нулеві; б) на шарнірно опертому краї прогин у дорівнює нулеві.

Приклад 7.6. Скласти рівняння прогинів і кутів повороту для балки, зображеної на рис.7.20.

y(l) = 0; y ' (l) = 0 . (в)

Підставивши другу умову (в) в вираз (а) знаходимо C1 = - q l3 .

6

З виразу (б), після підстановки в нього знайденого значення С1, і першої з умов закріплення (в), одержуємо

- 55 -

Визначати переміщення балки шляхом інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі доцільно в тих випадках, коли навантаження на балку таке, при якому згинальний момент М(х) описується єдиним для всієї довжини балки виразом. Якщо в балці є декілька ділянок, то

цей шлях нераціональний, оскільки потрібно буде диференціальне рівняння інтегрувати стільки раз, скільки є виразів для М(х), причому на кожній ділянці потрібно визначати по дві постійні інтегрування. Для таких складних балок доцільніше при визначенні переміщень, користуватись універсальним рівнянням зігнутої осі балки.

7.9 Універсальне рівняння зігнутої осі балки.

Це рівняння, яке отримане шляхом інтегрування диференціального рівняння(7.26), дозволяє визначати переміщення в довільних точках балок, навантажених будь-якою системою сил.

Для складання рівняння в балці вибирають систему прямокутних координатхOу, розмістивши початок координат на якомусь краю балки і направивши вісь у вниз (рис.7.21).

Рівняння має вигляд:

де прийняті позначення:

E I z - жорсткість балки при згині;

y(x) - прогин в довільній точці балки (в точці з координатою х);

y(0), y' (0) - прогин і кут повороту в початку координат; ці величини називають початковими параметрами;

ai - відстань від початку координат до моменту Mi ; bi - відстань від початку координат до сили Fi ;

ci , di - відстані від початку координат до початку і кінця розподіленого навантаження qi .

Рівняння прогинів записується по ділянках балки. При записуванні рівняння для якоїсь ділянки балки в нього входить тільки те навантаження, що знаходиться на відстаніх (відстані від початку координат до довільного перерізу на цій ділянці балки).

Суми (å ) в рівнянні розбиваються на стільки членів, скільки силових факторів кожного типу знаходиться на відстані х.

- 56 -

ai bi

ci

(рис.7.22): те навантаження, що переміщає початок координат в напрямку додатньої осі у входить в рівняння зі знаком “+”, а ті що в протилежному напрямку - зі знаком “-“.

закріплення балки.

Приклад 7.7. Для балки, показаної на рис.7.23, скласти рівняння прогинів, визначити прогин т. С (балка – двотавр № 20, стальна) та перевірити її на жорсткість, якщо допустимий прогин

вибираємо на лівому (закріпленому) краї балки. В цьому випадку у(0)=0. Рівняння прогинів по ділянках

- 57 -