Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

×

N

+

N eiqRj

(qpˆj )

~q2

X

√

m

+

2m

ρ−q .

Цiкаво знайти класичнó

ìå

æó öüîãî ðiâíÿ íÿ. Êîëè

j=1

ì âàòè

äî óëÿ,

оператор

~ ñïðÿ

ðiâíîñòi

çàìiíèòè

нарiдиния сторякихнадиба¹руктур.Порiвня. 607)рiзняого. -

pˆj

пульс

частинки

середн¹а класичний iм-

i

взяти до

уваги,

ùî

температура,

hòî(qpj )(qpl)i/m

2

pj

2

2

/3m

2

= δlj q

2

hpˆj i

= 0

= δlj q

hpj

T /m, T

рiвняньДопитдë

Z

ω

S(q, ω) dω =

m ,

~ → 0.

∞

2

q2T

яивийдругогоЧитперекиданнямчзменту

ïðàâих частин обох знайдених

−∞

îструктурнийдляшеньтекстi,другого(див, .солимоментуïîакасхiдно¨торжбикласично¨виноскуотримдинамiчногоза часом,н

стинипро1. Статичнийтимпiввiднрiвняньосновному

знайденiч

ω2

¹монизкутьсактора,Пп лишеавiикладцiкавих

Sq = hρqρ−q

. Ï

отенцiалüíó åíåð iю запису¹мо як суму

íÿ:

N

X

äi

отрима¹мо аке

ÿí-

~ → 0,

q2T

Sq

XN eiqRj (q j Φ)

=

q2T

тут ми скристовóm

+ hρq

√N

m

m ,

ëèñü òèì, ùî

νk = R e− kRΦ(R) dR. У результàòi íàøå ðiâíяння ста¹ таким:

j=1

структурнпарнихго ктора

h(qpj )2i = q2T /m, i означенням статичного

якихенер iйвикпî

¹момiжчастинкрозкладовиху рядвза¹моФур'¹,дiй Φ(то|R −Rj |), i, j = 1, . . . , N , для

832

пiдсумовуваннÿ

k, можна знехтуватирiвняння,знайти

äå

j Φ =

V

νk e−ikRj (−ik) ρ−k,

k6=0

N

√N X (kq)

βνk hρqρk−qρ−ki

Sq 1 + β V

νq

= 1 − V

q2

k6=0

k6=q

βмiстить= Ó1/Tнульовомуоберненанаближеннiтемпературазахвильовимдругим.доданквекторому правiй частинi

ùî

N

òðèдлЦешеймiчного¹простимдинструктурiзперекиданнямцiкавихогорезульакпохiдно¨атiв,ораакторякийза чсумиàñом,знайобчислюючили актичнодругийз моменiчогослити

Sq

= 1

1 + β V

νq .

й наступ е наближення для

S(q, ω). Ùîáiëüøе, ми можемо о ч

астинковий

турнийSq

якщо припустити, щоакторiвцьому наближеннi

S3(q1, q2

, q3) = N hρq1 ρq2 ρq3 i

S3(q1 q2 q3) =

Sq1Sq2Sq3 i взяти ¨х

рiвняннi пiд знаком

çà k íóëü

i:

äå óíêöiÿ

Sq = 1/

1 + β

N

νq + Πq

,

X

V

Πq =

1

(kq)

1

,

V

k=0

q2

1 + βρνk

1 + βρν|k−q|

6

k6=q

густ на части

ок у системi. Вел

÷èíó

îòàêi

òвиразуиницюкцi¨перетводиницеюпiд.Вир

ρнепавiднiма¹мощоразомобиос= N/V

çíàêняомiз.доданоюПосуми-перше,(вiнробипiдсумовувандинзмiдознакдорiвню¹ьогоприможнамножниказамiнiнулевi внаслiдокда¹моякй-

èîñòþ¹öåþ

Πq

спростити,

æí êiç ïiä

¹ìî, щозамiнужникма¹ структуру першого),

мноНарештi, мiнуз с

ом суми. Поцей-друге,остннiй

k (−k)

þ÷è íàø

íà два доданки,

зауважу

äèí iç íèõ äîðiâíþ¹′ , розбива-

k = −(k

− q)

(−Πq).

ïiñëÿ ç ìiíè íiìîãî iндексу

ÿ

çíàõ äèìî

X

k′ íà (−k) остаточно

1

βρνk

βρν k+q

Отже,Дпарногоямиiлюстрацi¨зновуструктурногодля з нiчогообчислèìзнайшлиакторавеличо класичнинуÿâí é âî¨иглядрiдини| íàñò. | упного наближення

Πq

=

−

2N

k=0

1 + βρνk

1 + βρν|k+q| .

6

k+q6=0

çó, ê ëè

Πq для класичного електронного га-

νk = 4πe2/k2, k 6= 0:

Πq = −

1

X

κD4

2N

k6=0

(k2 + κD2 )((k + q)2 + κD2 )

k+q6=0

1

X

1

1

κD4

= −

−

2N

k=0

(k2 + κ2 )

((k + q)2 + κ2 )

(k + q)2

−

k2

D

D

6

k+q6=0

49 I. О. Вакарчукпiсля замiни в другому доданку

k =

−(k

′

+ q)

833

= (

з пiзнiшим зняттям штриха)

p

1

X

κD4

äå

= −

,

N

(k2 + κD2 )(q2 + 2qk)

k6=0

k+q6=0

κТеперD =

2

переходи4πe βρ отаквiдзванийпiсумовуванняоберненийзарадiус Дебая.

координатах, вибираючи вiсь

k до iнте рування у с еричних

те рування за кутами знаходимоуздовж вектора

, пiсля елементарного iн-

βe

2

κ2 zZ

∞

x

q

κ

D

Öåé iíòå ðàë äîðiâíþ¹Πq = −

D

dx

x + q/2

ln

.

2πq

0

x2 + 1

x − q/2κD

πarctg(q/2κD ), i остаточно ма¹мо2

βe2κD2

рiдиниактор,ОбчисПрикладвпорiвнюючиосновномуимо2.хвильовуДругийстанiмiжΠ.моментqсобою,ункцiю= −

якдинамiчногоосноструктурâ попередньаструктурногому пратчастиничнийкладi,актораструктудвавиразибозений-

2q

arctg(q/2κD).

äëÿ другого2. Для моментуцьогорозпишемо в явн му виглядi прàâi

двох виразiв

ω

кцiяосновномуосновноготекстiануцьогобозепарагра2 -динамiчногрiдиниа. Використа¹мо той актора,акт що хвильякiнаведенiоваун-

ω

та ПрикладОтже,розпису¹мо3доŸ81). праву частинуψ0 ¹ першогодiйсною виразуема¹длявузлiв (див. так

æ Ÿ91

* XN

+

óíêöi¹þ

2

qR

2

ω2 2:

метромвикорист2Для

обчисленнявуваψ0. трюкКрiмцьоготз iíòå

2

~q

iлюстрацi¨

~

e

j

ω2 =

ρq

√

(q j ln ψ0) +

hρqρ−q

m2

2m

N

j=1

äîðiâíþ¹

q = 0

N q2νq

1

X N (kq)νk

новногоТут кутовимистану+

V

m

hρqρ−q

−

√N k6=0

V

m

hρqρkρ−k−q .

äóæê

àìè п знача¹моруваннс

ередненям

íÿ çà хвильовою

îñ-

îго, приладержаннiпочаткучасцьогодиинамиеренцiю¹мовиразу.Для йогонеоднораззацьпараîâîã-

ïðè

q i беремо iн

ðàë çà x,

наступне iнте рування за q, з умовою, що

834нас до виписаного, шуканийвтекiнтестiралрезультату.

нулевi,

елементарним i приводить

наведемо перетвореííÿ îдного з ÷îòирьох вихiдних доданкiв, якi виникають

=

(iíòå ру¹мо частинами за координатами j-о¨ частинки)

при розписуваннi право¨ частини ω

Z

Z

i~ Z

Z

XN eiqRj (qpˆj ) +

XN eiqRj

ρq j=1

Z

m Z

= −m

dR1 . . . dRN ψ0 ρq j=1

(q j ψ0)

√

N

√N

~

XN eiqRj

2

= −

dR1

. . . dRN ρq

√

(q j ψ0 )

N

j=1

i~

XN

eiqRj

2

=

2m

дiюdRоператора1 . . . dRN ψ0

(q j )ρq

.

озписуючи

j=1

D

j , знаходимо таке спiввiдношення:

няння:

çíàéäåíi

ω2, остаточно знаходимо таке рiв-

XN eiqRj

(qpˆj ) E

~q2

Анал iчно знаходимоρq √ ïð

m

=

2m

(1другого− hρqρвиразу−qi) . äëÿ

àâó ÷астину i

j=1

N

тексту цього парагра а:

ω2 з основного

~

2 D XN

e

qR

2 E

2

q

4

~q

2 2 D

E