Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

спiввiдношення,

òà

ˆ

де компо енти операторiв ˆ

ˆ

ˆ

задовольíяють комутацiйнiP

= (P1 . . . , PN )

Q = (Q1, . . . , QN )

ˆ

ˆ

[Qj , Qk ] = 0,

U

óíêöi¹þ

Q = (Q1 + . . . +

[Qj , Pk ] = ~δjk f,

[Pˆj , Pˆk

] = − ~

∂f

ˆ Qˆ−1(Qˆj Pˆk − QˆkPˆj ),

∂Q

з де ормацiй оюi, j = 1, . . . , N,

слiдкомУЗглядалимiльтонiананашомучатотожностiполяга¹вŸ99щерозг .. ВонаЯкобiзнах,якщо¹.дженнiдеякимвзятивласнихузагальненнямдеñïiââiäíîøåííÿормацiйнузначень задачi,виписаногоункцiюякуP

винами

iÿ

ˆ

f = f (Q), яка, яквiдпотенцiальна енер-

, ì๠öåíтральну

i залежить

ˆ

ˆ2

ˆ2 1/2

.

О ератори ˆ

ˆ

QN )

Qj

Pk

акож тотожнiсть Якобi

(див. Ÿ9), причому

омутатор, задовольняють

ратораФактичноспiввiдношенняперестав[Pˆ , f ] =

−

~f

∂f Qˆ−1Qìiæˆ . компонент ми опе

j

ˆ

j

∂Q

ˆ

ˆ

оператораˆ ми стулю¹мо,

переставнiQ мiжвипадкуомпо

ентамимiжоператкомп

нентрiвQàìèò P

ˆ

-

òякь залежщоорму.Чèòучквазiкласичноговiдоординат ква,¨хзбiга¹тьс

-

îзбiБопозначеннямрадуЗоммерзци стало¨випадковимельда.Спо,що

диродженнямх772iâà¹ìîñü,äèf ,

Q

ν

значення ¨¨ кiнетично¨вiльно¨åíåð i¨

(U = 0) iсну¹ мiнiмальне

ˆ

ˆ

реднi значення hQ = 0, hP i = 0, ìà¹ìî ùî

Звiдки знаходимо,hùîQˆ ihзавждиPˆ ≥ 4

1 + νhQˆ2i .

2

2

~2

2

Öå

ˆ

2

частинкиˆ

2

означа¹, що для

hP

i ≥ hP

imin =

~ ν.

рiвнянняEmin

= h

ˆ

2

i

=

2

.

P

~ ν

Запишемо

min

íà âëàñíi çíà÷åííÿ åíåð i¨

2m

2m

ˆ

задовольняють стандартнi

комутацiйнiЦi оператори,спiввiдношення:яклегкперекqˆ = Q.

[qˆj , qˆk ] = 0,

[pˆj , pˆk ] = 0,

Отже, рiвняння на власнi значення[qˆ , pˆ ] =зводимоi~δ . до такого:

"

j

k

jk

участинки,

2m

+ N U

√N # Ψ = EΨ.

f 1/2pˆf pˆf 1/2

qˆ

Миякомуможемовонащойогома¹руха¹iн

773q

личинУведеннямоператорi, iз иметризовакiнетич о¨именеррозтi¨ашуванням. Операторин

комутуючих ве

m

→

mf −2

êîмутацiйспряж

q

àîðèpˆ, êçàнонiчвдяки

¯

1/2

наше рiвняння можна записатиψ = f ùåΨé òàê:

2m

+ N U √N ψ = Eψ.

f pˆf pˆ

qˆ

ψ хвильову ункцiю

çàìiñòü

Надалi працюватимемî â

¯

¯

q-зображеннi, коли

qˆ

рiвняння:

= q

= (q1, . . . , qN ),

, . . . ∂qN .

Уведемо теперpˆдо=розгляду− ~ = − ~

∂q1

∂

∂

¯

для яко¨ знаходимо

ψ = f

1/2

¯

ψ = f Ψ,

äî

f 3/2pˆf pˆf

−1/2

+ N U

q

"

2m

√N # ψ = Eψ.

Беручи

óâàãè, ùî óíêöiÿ

òîðà

f залежить лише вiд довжини век-

q, розпишемо це рiвняння в явному виглядi:

( − 2m 2 + N U √N

− 8m dq

~2f 2

q

~2 df

2

мук товi¹моДалi

+

~2

f

(N

−

1) df

d2f

ψ = Eψ.

+

альноÿê öå¨ ñõимевилдетальтрiьов¨о¨нонашо¨зробленоункцi¨задачi,в Ÿ44,роздiля¹моотри-

рiвнянняй радiальаслiдокдляцентрзмiннi,íó ðàäi

dq

dq2

)

4m

q

774

R(q)

ÿêå ïiñëÿ

~2f 2

~2f df

äå óíêöiþw(x) = U (q) +

l (l

+ 1) +

(N − 1),

2m q2

4m q

dq

ìiæ

q = q(x) ≥ 0 визнача¹мо згiдно зi спiввiдношеннями

x òà f :

стала велич

dq

на визнача¹ меæi îбластi змiни

x = Z f (q)

+ const,

è звелидо вихiднудновимiрногозадачурiвняннянавласнiШредизначен. íя ра ихзеднимек-

тивнимгамiльОтже,тонiаномпотенцiалом

x

Тепер е ективний потенцiалω.

äîðiâíþ¹:

mω2

~2ν2l (l + 1) ~2ν2

w(x) =

+

+

(N − 1) q2

2

2m

2m

776

+

+

~2ν

(N − 1)N +

~2

,

2m q2

2m

m

а з рiвняння, яке зв'язу¹ x òà q, ìà¹ìî, ùî

Пiдстановк цьогоперетвовиразуðåíü

√

1

рiвняння для

q = √νN tg(x

νN ).

до такого

ективногоприводитьпотеíàñöiàëó:ïiñ-

ля елементарних

å w(x)

~2ν

A(A 1)

B(B 1)

mω

2

w(x) =

(

−

+

−

−

),

2mN

cos2 y

sin2 y

~ν

1

1

s4l(l + N − 2) + N 2 +

2mω

2

,

A =

+

2

2

~ν

(див.адiальнеПриклад √

рiвняння2 до Ÿ23):з таким потенцiалом ма¹ точний розв'язок

y = x νN .

Enr ,l,

~2ν

mω

2

= (A + B + 2nr)2

−

,

2m

~ν

nr = 0, 1, 2, . . . радiальне квантове число. У нашому випадку

~2ν

N

+ l + 2nr s4l(l + N − 2) + N 2

2mω

2

Enr ,l =

(

+

2m

2

~ν

N

2

N 2

â'ÿç ê ïðè

+ l(l + N − 2) +

4

Öåé+ðîç2 + l + 2nr

÷ åë

N = 1, зрозумiло,

збiга¹завдякиьс для кв

нтових

потенцiальна осцилятора,

приз тим,очевиднихякиймизамiнах:вiльно¨òримали

â Ÿ100 ä

ÿ

гармонiчногn = 2nr + l

l = 0, 1

дискретний2спектрiенернавпакиiядля. енерЦiка i¨ iсну¹акж,длящо

νчастинки,акнаβ

æ

òîìó ùî

f

îëè

1/m mω

6= 1

U дорiвню¹ нулевi, ω = 0.

777

Приклад 1. Л гари мiчниé ïîòåíöiàë

озгляньмо мîдельну зада÷ó з логари мiчним потенцiалом:

8

<

Uзнаходимо0, q0 сталi величини. З рiвняння, ÿêå çâ'ÿçó¹ q ç x, у нашому випадку

з де ормацiйною ункцiю :

∞

q < 0,

U (q) =

U0

2

q

.

ln

,

q ≥ 0

N

q0

f

√

f = qν

N ,

p

Сталу iнте рування тут

q = q0eν√

N

x

пiдiбранотенцiалуак,щоб

q = q0 при x = 0, причому змiнна

x íàáóIçâа¹иразувсi значдляåнняективногоздiйсно¨

ñi: −∞ <ìà¹ìî:x < ∞.

2

2

~2

ν2

w(x)

=

U0ν

x

+

8mN

монiчнийIз цим потенцiаломосциляторр ×

iзвняннячастотоюна власнi значення зводиться до задачi про гар-

ν 2U0/m . Отже, власнi значення енер i¨

1

(

r2U0

~2ν2

En,l

=

~ν

n +

+

m

2

8m

×

[(N + 2l − 1)(N + 2l − 3) + 2(N − 1)] ,

Прикладозгляньмо2.

åльнунцiалсистему з потенцiалом, лiнiйним за

Лiнiйнийщеn îäíó= 0модпот, 1, 2, . . . .

q

U (q) =

−

õN

q, q > 0,

з екз тичною де ормацi¹ю

∞,

q ≤ 0

причому

f = −νN q2,

µ > 0, ν > 0. Тепер змiнна

778

x =

1

,

0 ≤ x < ∞,

νN q

√

q =

eν

N x − 1

в е ективний

ν√N

потенцiал знаходимо:

w(x) =

~2ν2

A (A − 1)

2B

8mN (

− th y

ν

sh2y

)

~2

2m

2

+

4m

e2 +

~2ν

l

(l

+ 1) +

N −

1

,

Ÿ23):

A = l + 1,

2m

e2 −

~2ν

~2ν

(N − 1) ,

B =

2m

l (l + 1) −

4m

(äèâ

√

y = xν

N /2.

адiальне.Прикладрiвняння3 з

з таким потенцiалом ма¹ точний розв'язок

E,

~2ν2

= − (A + nr)2 −

B2

8m

(A + nr)2

за умови

ν

2m

2

~2

+

4m

e2

+

~2ν

l

(l

+ 1) +

N −

1

Остаточно

2

спектра:вантове число

nr = 0, 1, 2 . . . .