Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

=

2 "h↑1

|σˆ1x| ↑1ih↓2 |σˆ2y | ↓2 − h↑1 |σˆ1x| ↓1ih↓2 |σˆ2y | ↑2

x

y

+ h↓1

x

y

#.

Ó

−h↓1 |σˆ1

| ↑1ih↑2 |σˆ2 | ↓2

|σˆ1 | ↓1ih↑2

|σˆ2 | ↑2

ментиi чесiрезульцiвертийматричнiдорiвнюютьатiсередданкиелементи¹улевi,матдругийицьнуПаулiвза¹мнооскiлькимидобреорочу¹тьсязна¹мо:зпершийеле-.

викона¹мозьмемоi тому середнiтеперакixсередн¹-вiджтаобчислення,усiхy-êâiä

добуткiв

Ми вибрали

Ψ− σˆxσˆy

Ψ−

= 0.

(бутку:−1). Теперпозначмоочевидно,йогщо штрихом)наше âèõiäíåзводитьсясередн¹до(наскалярноговiдмiну вiд-

h 12| 1 2

| 12

ìпоiшанихдобуткiвнаприклад:и,алезднаквсiдвовимирiвнюютьни¹компонентамирiвноправними,нулевi.Вi-

класичноговнаслiдок

рiвноправностi x

x

hΨ12− |σˆ1

σˆ2 |Ψ12− = −1,

yyта zz-середнi також дорiвнюють

K′(ϕab) = hσ1(a)σ2(b)i

цi результати,= −(ab)запишемо= − cos ϕab.

такомуВикористовуючивиглядi:

нерiвнiсть Белла в

або, зважаючи на(abòå,) +ùî(ab′) + (a′b)

−

(a′b′)

| ≤

2

|

ùî

a та b ¹ одиничними векторами, ма¹мо,

|

−

| ≤

попередньвектораìиу.прикладi, введено кути мiж вiдповiдними

762одиничнимиде, як i в

cos ϕab + cos ϕab′ + cos ϕa′b

cos ϕa′b′

2,

У тому, що ця нерiвнiсть порушу¹ться для деяких розташувань

íèìè:

з кутами в 45

◦

ìiæ

векторiв, перекону¹мось на вiялi (a′, b, a, b′)

cos ϕab + cos ϕab′ + cos ϕa′b − cos ϕa′b′

áiëüøà,

π

3π

√

Äëÿ âiÿëà

2.

π/2,

= 3 cos 4 − cos

4

= 2

рiвностi Белла.

âiäñóò

|Ψ12±

|Φ12±

зивають

àê æ

стан ми Белла у зв'язку з тим, що вони

максимально

лiва частина

нерiвностi

i

ϕa′b′ = 2ϕ,

ϕaa′ = ϕab′ = ϕ

Ця величина|1 + 2 cos ϕ −íiæcos22äëÿϕ| =âñiõ|2 +êóòiâ,2(1 − cosÿêiäîðiâíþ¹ϕ)меншимиcos ϕ|

çà

творцiвдячуìåïðîíåçiбезвнiсй,ннятрiв,хсуперпЗагалЗванiцiте,кiòü¹обчисленьнерiвнiсдсищонаявмквантовомехБелламзицiйноюжгiпотезаробимонашсправдикажучи,остiьбудепогакторБеллазрозумiло,перехреснихвисновок,проляд,хванiчнiсправджасьтакiснуваннянезуватильовою.нема¹омудоведенняiнтер¹щощомiсцяажватисьщодляпорушенняункцi¹юхованихтакимеренцiйнiанкiв.першо¨квантовомехА.Самеце,несуперечливприпереконливим,.сво¹юпараметДляеiнедобчисленнiстiеуго¨iвностiехреснiхвильовихчети,ðхованихгою,частинок,щопорушуюБеллаквантовiйдоданкиговоритьоскiлькисередчужимисередпараунезiх--

точно випадку лiва2. Принагiдчастина-

0î<çàϕуважимо,< π/äëÿ2. Ттакогощодi спляквiялаяктанiдлявекторiвстаникласичного

ñóïå

вильовою ункцi¹ю çëiêâiäîâó¹ iíòåð åðåí

безйнихс аних

î¨

¹ внуквантовомехрiшнь

òåîði¹þ.

äëÿ

класичхова

àíiêè. Ò

запроваджен я

ласичного опису

÷åð

параметри

àíi÷ èì

середн нням iз

ö

е ектiв. езюмуючи, с верджу¹мо, що

àíiêà

ðiÿ

Урпозицiйною'язку зi сказ ним, можна навести такуквантоваанал гiю. омет-

Åâêëiäà

вистоялпараметрiвдвi тисячi рокiв перед спробами вивмехсти ¨¨

763

де нкцi¹ювiдповiдальна за де ормацiю величина f

¹, взагалi кажучи,

ˆ ˆ

ˆ ˆ

звичайному неде ормоваоча

у просторiQ âîíàP , äîðiâíþ¹f = f (Q, Pдиницi,) à

де ормацiйно¨

то вважати незначною,iнварiантностiтобредн¹f значен= 1. Дея ормацiю прийíÿ

перетворень¹ди умоваповиалiлеяно ду-

релятивiстськж вiдрiзнятись вiд

диницi. Ц

f

hçàP i

d

~2

нерiвностi

2

h1 + βhPˆi2 + βh( P )2ii

,

Ïðè(

заданомQ)

2

h

ˆ 2

2

+ 2β(1 + β Pˆ

2) + β

(

P ) .

ó

i

)

2

2

~

(1 + β P

2

h d

i ≥

4

"

h

h

d

#

h( P )2i

ного значення

ˆ умови,права частинащо цi¹¨

набува¹ мiнiмаль-

Використовуючи звiдси

h

ˆ

2

2

+ β = 0.

i

)

−

(1 + β P

2

значення

h(d

i

P )2

2

ˆ 2

знаходимо, що

(

P )2

i

=

1 + βhP i

,

h

d

β

β > 0

òî dмiнiмальне

альненi

h(

Q)

ðîçóìiòè

iìïó

äå

h(d

≥ h

d

min

,

Q)2

( Q)2

вiдхилен

h(

Q) imin =

β

2

2

ˆ

2

Îñêiëüêè

h(

Q) min = ~

β(1 + βhP

).

Q, Pдужкою

Пуассона,узаг

що здекоординатиормованатаd

2

,

é

значення величини

дорiвню¹Якщо нулевiпiд.

ˆ

íå

¹þñè ó ïð ñòîði

ˆç

óíêöiëü-

äèìî

ˆ

2

ˆ

äîõîf = 1висновку,+ βP , прощовля¹що акомуйшла просторiмова в Ÿ9,iсну¹то квант(при

hPдовживласних= 0)

q

~√

Q

величини, яку

середн¹ квадратичне

Áîðà

d

iнецьднозуŸ9змiннихрозглянемо.(

умову

квантуванняˆ ìà¹

2

предст. Оскiльки

ÿ

ùî

Зоммерзначень,Насамкзгельда

Q

Q,

P ).

Äëÿ

анонiчно-спряжених767

P , класична дужка Пуассона яких дорiвню¹ f :

Îòæå ìà¹ìî

{Q, P } = f.

äå ÿêîáiàí

Z Z

J dQ dP = 2π~(n + ν),

переходу

i îñêiëüêè

ÿêîáiàí∂(Q, P )

∂(q, p)

обернений

переходу

∂(Q, P )

∂Q ∂P

−

∂Q ∂P

мованимито умова ква∂(q, p) =

∂q ∂p

∂p ∂q = {Q, P } = f,

дужкаминтуванняПуассБоронаа Зом¹ такоюìåð åльда у просторах iз де ор-

требуюЩодо

Z Z

f

= 2π~(n + ν),

0 ≤ ν < 1.

dQ dP

умовьдетальнiзастосошоговностiдцьогоослiдження,правилазокремаантування,величиосциляторавони по-

ò

iд параметрiв

óíêöiþν ìîæå

залежПриклад

де ормацi¨, якi вх дять

тонiаном . Знайти оцiнку знизу енер

гармонiчного

ç ãàìiëüf .

ˆ

ˆ2

mω

2

ˆ2

P

у простДля рiсередньо¨змiнiмальноюенерi¨ довжиноюприпущеннi,. що

H =

+

Q

2m

2

"

ˆ

ˆ

того, що тепер

hP i

= 0,#hQi = 0 i з урахуванням

ˆ

2

~2

1

2

ˆ2

768

Q

≥

4

ˆ2

i

+ 2β + β

hP

i ,

hP

канонiчнозбiга¹тьсячерезспряжвихiденiим,динамiчнiотже,

змiннi,оператори p

òà

ˆ

Q являють собою

ïèñó¹ìî

íîâó çìiííó

ˆ

[Q, p] = i~. амiльтонiан за-

p:

ˆ

tg2(p√

)

mω2~2 d2

β

−

H =

àáî

2mβ

2

dp2

mω2~2 d2

1

1

граЯк бачимо,Ÿ23,якщоˆìè çâелиньомуцю зрозадачубитидотакiзадачiзамiни:прик

ëàäó 1 äî ïàðà-

H =

−

2

dp2 +

2mβ cos2(p√β) −

2mβ .

√

зразу

x → p, m → 1/mω2,

прикладу

випису.¹мТ му,шуканiвк ðистовуючиiвнiенерi¨:результат iз цього

a → 1/ β U0 → 1/2mβ

2

βm~2ω2

2

2

1

−

En =

8

1 + 2n + s1 + βm~ω

2mβ

öi¹þ

n

квадратè÷íîþ,

àòîì,

En = ~ω n + 2 s1 +

2

+

2

n + n + 2 .

1

βm~ω

2

βm~ω

1

2

Вираз для

íåð i¨ îсновного стану,