Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

äå

\

I

0

,

9

XOR =

0

σˆx

абодинична

матриця

,

множеннямчаюче9Абревiатура.матрицьXOR походитьлегко вiдпоказати,англiйськогощоматрицяex lusiveПаулior , .тобтоЗвичайнимвиклю-

752I

2×2

σˆx

еволюцi¹ю

XOR |00i = |00i,

|1i, то оператор

\

\

êâàáiò

XOR |01

= |01 ,

\

XOR |10i = |11i,

\

= |10 .

Отже, якщо перший квабiтXOR |11

, то оператор \

двоквабiтового стану, але якщо перший|0

¹ XOR íå çìiíþ¹

можна|1

-

âдту)чаткпрограму¹юiдтворюватиго.унiтарнихКвантовередукцi¨овогостануЗчитуваннянавпакилишерозрахункустанувсюхвильзiобчисленняоператорiвцю.iнстхвзчитуваннязнача¹рмацiю,во¨è.стичногольовуНайбiльшоюатократномуункцi¨¹вимiрювання,потрiбноаналiзу.кцiюкiнцевогоДляпроблемоюповтореннiмережi,.того,Опiслквантовогоприже,ÿсткщкбагщоанутримажногоб¹вилучитизадаюйну¹приго(тобтоатократномузчитiструрезьуванрезупотрiбнунтовогоунаслiванняльпiдкiнцельвимiяатидi

ã

юваннi, тобто при баг

îáî

êâ

÷àñ

ê

¹ éîãî íàäå èâ iñòü: для окремих зада

ê

. Але, як ми бачили, найбiл шою пе евагою квантово

омп'ютераêñïîíåíòi.

Ÿ 97. Квантова

ропорцiйний до степеня

розраху ку

í

квантовому

âiä

iлькостi необхiдних елемомп'ютерiарних

îïåðàöié,

íà

класичному

цiкриптоаналiз, тобто науку проникненнякриптограв а¹мницюiя

захищеного

Ùî àê

ðèï îãðà iÿ? Öå íàóê

збереження та¹м -

текзмiсту.

äåÿê

ексту за допомогою процедури ши рув

ÿ.

охоплю¹ так ж

Криптогра iяого¹ дним iз роздiлiв риптологi¨, як

48

I. О. Вакарчук

753

квантового комп'ютера засмутила любител в

а цНадепотрiективнiстьáåí ÷àñ, ïiñëÿ

ÿê

переста¹ бути

¹ì-

обмiнюватись он iденцiйною iн орм цi¹ю в

ìó è

швидк дi¨ омп'ютерà. Мова йде про надiйнiстьзаши рова

ó íñi, òî òî

ши ру в п инципi ¹ можливим,бчислювальноäíàê

ãëÿäi. i÷ ó òiì, ùî

дiйнiсть ши ру ¹ в оберненiй залеж

ñòi âiä

¹

ак званий широзкриттр

áë êíîò

повiдомленняназва ходить вiд

í

ю. Iнший характер дiйностi по яга¹ в тому, що без

ключа не

Прикладом

дноразового

ключем ¹ RSA-к д, за-

того, що опi¨ ключiв записанi на сторiнках блокнота,

ÿê òiëüêè

можна вiдтворити

криптотексту змiсту

10

. Таким

ключ використано, ця сторiнк

знищу¹тьсiн ормацiя.

ëiòåð ïðiçâèù

Ê

1977

êó (íàç

вiдкритимпiшла

перших

АлiсакриптограБоб (див.i¨ виноску

стор. 745) вибирають два

го авторiв P. Rivest, A. Shamir, A. Adleman). Ко

ïðàö

òàê

Пспiльнийвипадквел кi вимпростiчиномчиславибираютьдорiвню¹обчислюютьнатуральне добутокчисло вза¹мно.

ïðîñдпропонованийситiмнiденти

p

q

N = pq

ç ÷èñëî

ñåíñi,e

÷èñå

кажуть, щоed нашок(pчисла− 1)(q − 1)

одиницi. У

дорiвню¹Бобдиницi, пишуть цепiдноситьак:ed за модулем (p − 1)(q − 1)

Тепер

ed ≡ 1 mod ((p − 1)(q − 1)).

у критимеякуДалiпослiдовнiстьключемабоцебу крит-чисхто л,iншийпотiмключ,вiнпишежнужнелистлiтеруа¹мнийзацихАлiсi,тексту.селкористуючперевовiдкèòñü

(e, N )

вi. дьСпочатку

d

у¹, замiнюючи його на лишок чи ла

n çàøè î

öåé

e

ðè-

ктожнеперес ла¹сло

криптоòотекстуст Алiсi. Вона,n до маючистепенямодулемтобтоа¹мнийNСтороннi,ключ,

dрозкладузамолем

Nсобамотримудомiвихiднелише числачисло n, îñêiëüêè ned ≡ n mod N .

наднпросткльногочас,множникипотрiбнийчисланатурзбiльшенням

простi¹наа¹мницеюце,Nмножникивиявля¹ться,e., Iахочанебувpдужеалтвiдомийоритмq,швидкще Евзроста¹iдовi,наNзi-

цього часу

¹ критерi¹м надiйностi ши ру

11

.

àþ÷è, ÿàê

âñi, ¨¨

ключ, переда¹ iн ормацiю, яку,ключемiм

ã ðèòì

áóäü-õòî,

тому числi Алiса,Найвразливiшиму¹

тронний пiдпис

особи. Iдея ци рового пiдпису

óíòó¹òüñÿ íà òî

.

iñöåì

ого ши рування ¹ операцiя обмiну

à¹ìíèì

не¨, нiхто не розши ру . Подiбно

Áîá ìîæ

поширити свiй ал

документшиякрування,й

à¹

ëèøå .

Áîá,

Щоб уни нути цього, Алiса творить а¹мний ключ сама,

Ìiæ iíøèì,

прочитвiдкритийватний а¹мний ключ мож

ñë ãóâà

зашик елек

му, що операц ¨ ши рування ˆвiндеши руванняоперацiюˆ

якого повi

повiдомлення

E

D

пiдда¹вза¹мно оберненими: ˆ ˆ

ˆ ˆ деши .руванАлiса

øè ðó¹ ñâiéM

дпис-пiдписуак:споча ку викону¹EDM = DEM = M

ˆ

RSA

M сво¨м секретним при атним ключем

òриманий текст ши руванню âiдкритим

DA

-

чемiн ормацiю,Бобапотiм

ˆ

M

ˆ ˆ

отримавши цю

EB дешидержу

′ = EB DAM

ру текст¨¨сво¨м приватним ключем.Боб,

вiдкритим ключем Алiси

ˆ

ˆпiдробити,отри ¹ пiдпис Алiси

DB , øè ðó¹

M

, îñêiëüêè

EA

Ïiäïèñˆ ˆ

À

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

, òîìó ùî ˆ

ˆ

= 1

i ˆ ˆ

.

EADB M ′ =iñèEADB EB D M = M

DB EB

EADA = 1

альключемíàтуатакнеального.можна-числаши ру на квантовооскiльки унiхтокомп'ютневолодi¹рi,тоб¨¨-

топриватнимрозкладБрут

M

ïîñëiäîâíiñòü),отриму¹АлiсаБбу

÷öi

-

ñïiiç

iâ (спiнполяризаторауверхмволiв) iздиницькоповнюючужно¨(спiнEPR-пари,униз

A

îâi

óë

ï(об'¹ктклонуваннядорютьриклад,åревоможгрецькнципуеннiстворенняжлийоговиплива¹,iзьiанняуперптькопi¨)амплiтудвохпереводитьк.томуЦе,.чно¨амплiтуд,нувазицi¨Якщодупочаткдíпаросток,.деякопi¨няак,Справдi,перацiяма¹мойоговихiдногозабороненояковото,стансуперпозицiйнийневiдомому¹тпаàíóдногоехайаслiдкомiн)сумуоб'¹кткванто.пристрiйПiдакбоку,добуткiваклонуваннямогоантовомехлiнiйдобутокоюi,стдляоб'¹кттеоремоюамплiтуд,ийклонуванняоб'¹кта,омуопераамплiанiчногпривiнозумiзбепроòбувнаордз

âiä

κλων

-

iншого ми по иннi мати, за оз

÷å íÿì,

суперпозицiй

íèõ ñòàíiâ. Îñêiëüêè ñóìà

iâ

рiвню¹добуток

бутковi суми,

çâiäñè

ùî

клонування

квантîвомех нiчних

тоанiв ¹ неможли

. Отже,добутк жна спр ба

пiдслухати iн ор-

ñпотворення станiв

îòîíiâ,

ÿê

можна виявити.

мацiю, якою обмiнюоютьс Алiса

Боб, доконечно тягне зà собою

М ¹мо тепер

Ÿ 98. Íåðiâ

остi Белла

õîâà-

учну нагоду знову обговорити проблему

них п раметрiв,

аналiзуючи

âèìið

вання

ñòàíiâ

систем

äâîõ

.

стимо, що

iснують спiновихованi параметри, як ,

анонамичастинокласично¨ iзики, дають повну iн ормацiю про

çичнi велич

íè

àíi÷íî¨

системи. У

ðîçãëÿäi

àêèìè

величинаПрипубудуть

спiнiв частинокнашому певнi на

прямки.

ми-парума¹квантовомехзповнимд i частиспiпроекцi¨íомки, рiвниможна зiнулевiспiном.У деякий, якiпочатутво-

рюють756НехайEPR

~/2

Bнiрюють.векториУцихпроекцi¨точкахспiзвiдповiдноiвхдяьсяинок на

апрязаки,допомогоющозадютьякиходиничвимi-

a

b

. Цi проекцi¨ жуть ти значення

îáòî,

¨х вточнодиницях ~/2.

приладу,

A отриму¹мо зна

σ1(a λ), де a параметр

му¹мо значення. Аналогiчно для друго¨ частинкинабуватиточцi

B

îòðè-

σ1(a

λ) =

±1

σ2(b, λ) ÿê

àê æ

æå

äâà çíà

σ2(bПрилади, λ) = ±ñâiò1. точках

задовольняютьвiдстаньумовивекторазв'язкуспеак,зi-.

заальностi:ми,вимiрюваньнепройшлавеличинапроекцiйурозведенiцi¹¨iннихспiнуормацiя,вiдстанiнебулочастинокна.велякпрОтже,чинногокупоширю¹тьс

вимiрювання

B

принциприментушвидкiстюТщоб мiжщобзлокакт

A

à íå âiä

σ1 залежить лише вiд

a

що приладиa ò

b.точкахАналогi

σ2 залежить ли

вiд b. Зрозумiло,

нюючи

êè

диничнихт

векторiвможутьнаперелаштовуватись,iншi, наприклад, назмi

òà

íàïð

A

B

a′

Нехай.

ìà¹

b′

ðó¹ìî

äåìî тепераких EPRпарметрчастинок,то¨кжну з яких нуме

iндексо

N

åðåç

λj

j. Схований

à

äëÿ j-

вимiрюванихпапознача¹мо

öiþ:

-

ло б утворимовизначатипроводитизсереднiвимiрянихвимiризначеннявеличинзжноютакупароюконструкзвелитим,

÷щобинIз.можнацi¹ю. Буметоюбу

ëåâi,

çíàêiâ,

σ2äîðiâíþ¹äëÿb b′

Pj = σ1(a, λj )hσ2(b, λj ) + σ2(b′, λj )i

+ σ1(a′, λj )hσ2(b, λj ) − σ2(b′, λj )i

Якщо величини

j = 1, . . .

N.

квадратна дужка

нунабуваютьпершаоднаковихквадратна дужка,тодругаяк757i

N

1

X

íåðiâíiñòü

1964 принципiв

ãiï

îçóìiþ÷è, ùN j=1

σ1(a, λj )σ2

перименту з âизначення

анiв, у яких перебува¹ дослiджувана

(b) + hσ1(a)σ2

(b′) + hσ1

(a′)σ2(b) − hσ1(a′)σ2(b′)

мовиведеннiеханiкуетрiв.зауважСутт¹вим.поТе,.дiбнимТобтоористуцi¹¨щоняминерiвностi.мичиномДжонавиведеннiПоговорили-перше,зверталися¨хБелла,моми¹жнамипроговоритиотрималиспiнививестиякутезаякийсьдо кввiнпроч нтовстинцчаслишеустанiснуваннялуÏðîзабулинизкумехк,однувивзо.

ча¹,деякiБелла,

ованих-Çäêðроку¹уге,обимоантовуностейзнаменитпар.

всiмнiчнихпроПозЦенерi

íå îçíà

ùî

ê

¹

ось квантов ю мовою.

ñèñ

ми з двома

жливими

àíàì

можна

кл сичною

мовою,

нерi нiсть Белла це звичайний

аналiз резуль тiв ек -

758

ñïiíîì ÷àстинки. Величина

λ ¹

λ

чимодинат :

λ =

проекцi¨

0 ≤ λ ≤ 2π,

cos λ + j sin λ,

частинки,чн йтобтовектор

λ

вказу¹,j ортинпрямокдекартово¨власногосистемимоментукоорпершо¨.Один

σ1 = sign(λa) =

1,

(λa) > 0,

çàâæäè ìà¹

a

в знача¹момент прямок

ñïiíó−íà1,

(λa) < 0

частинки

протилежний напрямок. Власнийдо момент друго¨

íèé

äîðiâíþ

нулевi, тому

λ, îñêiëüêè ïîâ-

Ïiä

розумi¹мо iнте рування

усередненням σ2 = s gn(−λb) =

−sign(λb).

вiдповiда¹ великимh.значен. .i = 2π Z0

dλ(. . .),

1

2π

ùî

íÿì

ϕab

êóò ìiæ векторами a òà b,

су¹мо вздовж

N . Одиничний вектор a за iк-

x,

а одиничний вектор

a = i,

(λa) = cos λ,

759

12Див. також: A. Peres, Am. J. Phys.

745 46(7), 1978.

b = cos ϕab + j sin ϕab,

äå

(λb) = cos λ cos ϕab + sin λ sin ϕab = cos(λ − ϕab),

причомуОбчислимо0 ≤ ϕab

≤ π

середн¹.

2π

1

Z0

K(ϕab) = hσ1(a)σ2(b)i = −

dλ sign(λa)sign(λb)

2π

2π

= −

1

Z0

dλ s gn(cos λ)sign[cos(λ − ϕab)]

2π

π/2

3π/2

обимо= −

1

1

dλ sign[cos(λ − ϕab)].

çàмiну змiнно¨ iнте рування

2π Z

dλ sign[cos(λ − ϕab)] + 2π Z

−π/2

π/2

λ′ = λ − ϕab:

π/2−ϕab

3π/2−ϕab

K(ϕab) = −

1

Z

dλ′ sign(cos λ′) +

1

Z

dλ′ sign(cos λ′)

2π

2π

−π/2−ϕab

π/2−ϕab

−π/2

π/2−ϕab

π/2

3π/2−ϕab

1

Z

1

Z

dλ′

+

1

Z

dλ′ −

1

Z

dλ′.

= 2π

iíòådλ′ −ð2π

2π

2π

Åëåìåíтарне

óâàííÿ äà¹

−π/2−ϕab

−π/2

π/2−ϕab

π/2

K(ϕab) = −1 +

2ϕab

π

.

Пiдставляючи це середн¹ в нерiвнiсть

Белла, отрима¹мо, що

2

вектьсяри завя

− π (ϕab + ϕab′ + ϕa′b

2

− ϕa′b′) ≤ 2.

Неважк.починаючиНехай,перекнаприждилом, онатись,зêлад, щоми розташову¹моцеспiввiдношеннядиничвикону¹i

êè):

a′ ó

акому порядку (проти го

íниковî¨ ñòðië-

(a′, a, b′, b)

то нерiвнiсть перех дить у

760

2 −

π ϕab

≤ 2,

4