Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B
.pdfмають скiнченну |
|
|
|
|
|
|
|
|
життя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
âíiñòü öèõ ïðî |
|||||||||||||||||
вонидобре визначеними ¹ елементарнiквазiчастинки,збуджIнтенсня отже, настiльки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
÷à¹,çiñò |
|
нятривалiсз антовою |
ðiäè |
|
|
|
þ |
ако¨ моделi газу |
|||||||||||||||||||||||||||
цесiв визна |
|
|
як довго жи |
|
òü |
|
|
|
|
вiльного |
тобто |
|
|
- |
|||||||||||||||||||||||
вазiч с инок. У ипадку |
квантування |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
адекватним, îñê ëüêè ãàìiëü |
|
|
|
|
|
ïîëÿ òî÷íî зображу¹тьсяеëåктромагнiтноамi- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ãî ïîëÿ |
àêå |
|
|
авлення |
полю системи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îòîíiâ ¹ |
|||||||||||||||||
üòîíiàíîì |
для безмежно¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
невза¹модiючихмiж собою |
|||||||||||||||||||||||||||
ëiнiйних гармозiстí ÷íèõ осцилятоðiâ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Поклада¹мо nc = ns = 0сукупностiтонiанзнахдимо енер |
iю основного стану |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або пiсля просто¨ вправи |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
νk |
|
|
|
|||||||||||
|
|
X |
~ω |
N (N |
|
1) |
|
|
|
|
~2k2 |
|
|
N |
|
|
|
||||||||||||||||||||
E0 = k=0 |
|
2 k + |
|
2V− |
|
ν0 |
− k=0 |
|
4m + |
2V |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
~2k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i хвильову |
|
óíêöiþNосновног(N 1)о стану |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
E |
0 |
= |
|
|
− |
ν |
0 |
− k6=0 |
|
|
|
|
|
|
(α |
|
− |
1)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2V |
|
|
|
|
8m |
|
|
|
|
k |
|
î, ìà¹ìî |
- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
s |
|
|
ßê áà÷è |
|||||||||||||
Тепер енер |
|
|
¯для довiльного4 k=0 k |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
íà записати так: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
стануk k |
ìîæ′ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
P |
|
|
α ρ ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αk |
|
|
|
|
|
|
||||||
nc |
|
|
|
iþψ0 = e− |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
− |
|
k=0 r |
π . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
òà ns . Õâèëüîâi óíкцi¨ запишåìî òàê: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де головне квантовеEчисло = E + |
|
|
~ω |
k |
n |
k |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
...,nk,... |
|
|
0 |
|
|
k6=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
чиселродження станiв, оскiльки еnkåð=iÿn залежить+ n . |
|
вiд суми квантових |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 P |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hnc (ξc )Hns (ξs ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
||||||||||||||||
в цьому¯Ùîá íçàближеннiвершити нашвагову4 k=0ðîçâ'ÿçîê,k óíêöiþk k випише′ |
мо ще знайденó âèùå |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α ρ ρ |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
k |
k |
k |
|
|
|
|||||
ψ...,nkc ,...;...,nks ,... = e− |
|
6 |
|
|
|
|
− |
k=0 r π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2nkc +nks nc |
!ns |
! |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
722 |
|
|
|
|
|
|
|
J = Ce−21 Pk6=0 ρkρ−k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Сталу C знаходимо з умови нормування для J :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V N = Ck=0′ |
|
Z N dρkc |
|
Z N dρks e−ρkc2 e−ρks2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
√ |
N |
|
|
|
|
√ |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тут ми врахували, що |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
c2 |
s2 |
||
перебува¹астиноксво¨хрозрахункахдослiджуванами завждисистем розводимо,на ′ |
ìåæi îá'¹ìóòî é |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
кiлькiстьуОскiлькиякомуρkρ−k |
= |
|ρk |
| |
|
= |
|
|
|
(ρk |
|
+ ρk ) = 2 |
|
(ρk + ρk ). |
||||||||||||||||||||||
k6=0 |
|
|
k6=0 |
|
|
|
|
|
|
|
k6=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k6=0 |
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ρc |
òà ρs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
безмежнiсть, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
âiäáó à¹ться актично в безмеж- |
|||||||||||||||||||||||||||
щоб зберегти |
|
алоюNгустинунеобхiдно спрямувàêти до безмежностi ак, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ний граничний перехiд), |
|
|
|
|
|
ρ = N/V (ò |
|
званий термодинамiч- |
|||||||||||||||||||||||||||
Отже, iнте руванV → ÿ∞çà, |
|
N → ∞, |
|
ρ = N/V = const. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
них межах i кожен iнте kðàë òóòk äîðiâíþ¹ √ |
|
. Òîìó |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а вагова ункцiя остаточноC = V N |
|
|
|
|
|
′ π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k6=0 π |
|
k6=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
новногоТеперстанумиможемоJ = V |
|
|
|
e− |
|
|
|
6 |
|
|
|
− . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
Y |
1 |
|
|
|
|
|
1 P |
ρ ρ |
|
|
|
óíêöiþ îñ- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
виписат′è é âèõiäíó2 k=0 хвильовуk k |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При вiдсутностi вза¹модi¨¯ |
мiж частинками′ |
4 |
|
|
k=0 |
(α |
k |
|
k |
k |
|||||||||||||||||||||||||
ψ0 = J − |
1/2 |
ψ0 |
= √ |
1 |
|
|
|
|
|
√αk e− |
1 |
P |
6 |
|
− |
1)ρ ρ |
− . |
||||||||||||||||||
|
|
V N |
k6=0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
частинокх димо до хвильово¨ ункцi¨ осно ного стануν =системи0, α = iдеальних1 ми при- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
45* |
ψ0 |
= 1/ |
V |
N , знайдено¨ в прикладi 1 до Ÿ 81. |
723 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
вiдпов да¹ таким квантовим числ м: |
|
|
|
|
|
|
|
E0 + ~ωq |
|||||||||||
Найнижчий збуджений |
òàí áîçå-ðiäèíè ç åíåð i¹þ |
|
|
||||||||||||||||
äëÿ âñîâiõ |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
nc |
|
= 1, nc |
= 0, ns |
= 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s k=q |
|
|
|
s |
k6=q |
|
k |
|
||
хвиль |
k; óíêöi¨àáînk¹= акими:0 äëÿ óñiõ k, à nk=q = 1, nk6=q = 0. Âiäïîâiäíi |
||||||||||||||||||
Можна взяти |
ψ1 |
|
|
√ |
c |
√ |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= ψ0 2ξk, ψ1′ = ψ0 |
2ξk. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
нормовану лiнiйну суперпозицiю цих станiв |
|
||||||||||||||||
муванняяк вiдповiда¹ тié |
1æе енер i¨ збудження |
√ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ψ = |
|
|
|
(ψ + iψ′ ) = ξ |
ψ = |
|
|
α |
|
ρ |
ψ , |
|
|
|
||||
|
|
|
√2 |
1 |
|
|
1 |
−q 0 |
|
|
|
q |
|
−q 0 |
|
|
|
||
Eq = ~ωq . Iз умови нор-
ZZ
знахкутовiдимо dr1 . . . drN |ψ|2 = 1
деункцi¹ю |
дужки |
означають усереднення за основним стан м iз |
|||||||||||||||
|
|
αq hρqρ−qi = 1, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
ψ0.якаЗвiдсиперебува¹знаходимовосновномструктóрнийстанi: актор бага обîçîí- |
||||||||||||||||
но¨ системи, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sq = hρqρ−qi = |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
αq . |
|
|
|
|
||||||||
Отже, хвильова ункцiя збудженого сòàíó |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
спектр |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ψ = pSq ρ−qψ0, |
|
|
|
|
|||||||||||
Самеенер етичний |
|
|
|
збуджень |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
iншимтакуетодомхвильовудлярiдкункцiюо |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
вiдповiдну енер iюлiнiйнимизнайшли |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Eq = ~ωq =é |
~ |
q /2mSq . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
îãли HeбзапровадивширазуПрикладiпрацювати3оператори:дозŸ81. |
|
|||||||||||
бiнацiяЗауважимо,хвильовихщоми мункцiй,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
êîì- |
||||||||
|
ˆ+ |
= − |
∂ |
1 |
|
|
|
|
ˆ |
|
∂ |
1 |
|
|
|||
724 |
bk |
∂ξk |
+ |
2 |
ξ−k, |
|
|
bk |
= |
∂ξ−k |
+ |
2 |
ξk, |
|
|||
тобто
ç |
|
ãàìiëüòˆ |
1 |
|
|
ˆ |
ˆ |
1 |
ˆ |
ˆ |
|||
|
îíiàíˆ |
|
|
|
|||||||||
|
|
+ |
= √ |
|
+ |
|
+ |
bk = √ |
|
|
− bk,s), |
||
|
якими |
bk |
|
(bk,c |
+ ibk,s), |
|
(bk,c |
||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
X |
ˆ+ˆ |
|
|
|
îвимилiно |
мiвнихтноюДалiункцiямиЕрмiтстанiв,обчислюватихемоюа,причовстякузнахановлю¹доводимоудитиможнаНьютоназв'язокH′ =хвиль~ωkb bk + E0. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
акшляхмовзванаполiномiвмiжîвуюновиминовихтерункцiюремазкриттяоператдостдаваснримиîðiâíняогоiстепеняхвильдлязаазбуджандар |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k6=0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратора |
|
|
|
|
|
|
|
|
nk-îãî |
ïå |
|
ˆ+ |
ÿê áiíîìà |
|
|
|
|
|
ˆ+ pk |
||
|
bk |
|
суму добуткiв операторiв (bk,c) |
|||||||
ˆ+ nk |
− |
pk |
pk = 0, 1, . . . , nk |
|
|
|
|
|
|
|
(bk,s) |
|
|
|
|
квантово¨дi¨Ермiтнаосновний.рiдини |
àí i ïîðî |
||||
джуютьДослiдимвiдпî енерiднi детичнийбутки, спектрщо |
||||||||||
лих значень хâильовîго вектора |
|
|
Eq . Äëÿ ìà- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
q, як видно з ормули для αq , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mN |
1 |
|
q → 0. |
|
|
|
|
|
αq = 2róV |
ν0 ~q , |
|
|||||
Т му енер етичний спектр |
|
öié |
ìåæi ¹ ëiíiéíèì çà |
|
||||||
ïîширенню звукових хвиль у рiдинi: |
q i âiäïîâiä๠|
|||||||||
де швидкiсть звуку |
Eq = ~cq, |
|
|
|||||||
r
N ν0
Цюцiйдiлянкудовгохвильовiйспектраувектора, межi,називаютьтобтоc = приономалихнною. . значенняхСтруктурнийхвильовогоактор
V m
Для великих начень |
|
Sq = |
|
~q |
|
q → 0. |
|
|
|
|
2mc , |
|
|
|
|||||
|
хвильоâèõ векторiв |
|
|
|
|||||
частинково¨ вза¹модi¨ |
|
|
|
|
|
|
q êîå iöi¹íò Ôóð'¹ïðîìiæíèõ- |
||
а¹ квадратичним за |
νq → 0, |
òîìó |
αq → |
1 |
i енер етичний спектр |
||||
|
|
2 |
2 |
|
725 |
||||
|
|
q, Eq |
= ~ q |
/2m, q → ∞. Äëÿ |
|||||
знача¹нь хмiжчастинкьовоговектора |
q |
åíåð |
iÿ |
Eq |
óíêöi¨ |
|
|
|
||||
ÿâèù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
iíêóняхвильстiово¨торкнемосьбозевза¹модi¨-рiд нiпита.. О кiлькинясутт¹вомехвеличинаанiзмуалежвиникненнять вiд ха |
||||||||||
|
надплинза ерше |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïîâå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рактеруНа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çíà |
|
|
â ¨ óíêöi¨ çâîð |
|
|
|
αq |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ñновного стану |
|
, ÿêà - |
||||
¹приводитьоберненотобто |
пропорцiйнимю до |
|
|
|
|
|
ψ0, ïðè q → 0, |
|||||
того,ихщоспаданнявiдстпок зникквадратх, тоiн експонентiа вiдстанейтнеперетворенняхвильово¨мiжчастинкявищаункцi¨Фур'¹- |
||||||||||||
ìè, |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
èприкнельноскорельатомирухуiзсповiльню¹невеликрозведеннiквантовиймiжняе емензамасамеоюми-. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
непальногоамизбудженийокремiапiлярореляцi¨винсапiляра, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
ðóõ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хвильа¹тьсованостi)дi¨цiлеперебуваютьанi,¨¨причиноюзiяово¨пост(акрiзьтобто |
|
|
|
|
|||
|
|
слабкщо,Якщоенерсильно¨зайкiврештiатомирахуноквза¹мнiiярiдинарiдину¨¨скорель-вза¹морештрухдиниенервiдстяк, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
âåëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
швидкiстю,¹чОтже,далекномудплинностiстинокне, щíàðîзбума¹модiючимиканi,дившиперекинути¨хньо¨то. |
|
|
|
1/|r − rj | |
|r |
− rj | → ∞ |
||||||
плиннiстьлою,внаслiд |
|
|
|
|
||||||||
ñïå |
дження енер i¹ю ~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ωq |
|
|
|
|
|
|
|
|
ìiðüñÿê.труванняПримакроскопiчно¨принагрiваннiпотребуютьдеякiйрiдтемпературiсисттоншогонимиця ск¹.квазiнеорельТомуика¹збуреннязу,ованi.Наîñêiëüêèрiдинправдiтьвнимруйну¹тьсянеенерцiпринашiетичнийякiснiнад-
ренняТiдстаньâàомузбктеристдиджен,здавалосьèöþмiжйкоюенерстанрiвнями¹би,.густинаi¨Однак.Удьпряму¹нашому-якдлястанiв,неперервногодоевеликипадкутобтонулякiлькiстьдляспектравимiрностiста¹переведеквантовихважливоюнеперервнимпросторусистемуV →àíiâõ∞.
вiдкореняiдеальномуDîþ=ðiäê3неункцiприквадратногомагелiю,тривимiрномумалих¹ кудиенернезначенняхзакидатиi¨,¹е отже,адплиннимербозеi¨, енер¹тому-квантовугазiдужi¨.густинаiдеальнийгустиназбiдрiдину)еноюстанiвбозе.анiв(тобтоДля-прогаз,¹ïквадратичорцiйнарикмавiдмiнуëаду,збудо-
|
|
|
|
|
|
Ë |
À XII |
|
|
|
|
||
|
|
|
ОСНОВИ КВАНТОВОˆ IНФО МАЦIˆ |
|
|
||||||||
|
|
Квантова |
Ÿ 92. Сплутанi EPR-стани |
|
|
|
|||||||
|
|
|
це наука, яка |
вча¹ пособи збере |
|||||||||
ження, переробн ормацiяпередачi iн ормацi¨ з |
|
îðè |
|
âàí |
|||||||||
íàприклад, |
ñïiíîâi |
àíè двох електр |
нiв у парагелi¨ (див. Ÿ82). |
||||||||||
|
|
|
увагудночастакi ани привернули до себе черезсистемiаннямк званий |
||||||||||
|
|
законiв |
явищ. оловним при цьому ¹ вик рист |
такзва- |
|||||||||
товихсплутаних кв нтов х ст |
îëè, ñêàæiìî, â |
|
äâîõ |
||||||||||
п радок |
¨õíi |
|
íê |
анiв,стани ¹ сильно скорельов ними, як |
|||||||||
Айнштайна Подольського озена, |
який ми розглянули |
||||||||||||
ОсобливуŸ4. |
|
|
|
цьому |
|
ñi |
îâà éäå ïðî |
|
äâîõ |
||||
íà |
Нагада¹мо, що |
|
|
||||||||||
|
EPR-пари частинокпарадоку оординатному зображеннi. Для |
||||||||||||
простстинок |
розгляневiдомими дновимiрний випадок. |
|
|
|
|
||||||||
÷ |
|
|
iç |
дновимiрному |
просторi потрiбно знайтисистемувлас ун- |
||||||||
|
|
|
|
повним ¨хнiм i |
пульсом i в дст нню мiж |
||||||||
|
ими. Поставимо завдання знайти хвильову ункцiþ |
êî¨, ÿê ¨¨ |
|||||||||||
|
парадокзивають,ОператориОтжраторiв сумарного |
iмпульсу |
истеми двох частинок |
pˆ = |
|||||||||
êöiþ |
сi Айнштайна По |
|
xˆ = xˆ1 −xˆ2 |
|
|
|
|||||||
pˆ1 +pˆ2 |
|
|
|
|
|
||||||||
â |
|
|
зницi ¨хнiх координат |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
дольського зена, що. опису¹ EPR-пару |
||||||||
|
|
|
|
|
xˆ |
pˆ комутують мiж собîþ, |
|
|
|
|
|||
|
[ˆx, pˆ] = [ˆx1 − xˆ2 |
, pˆ1 + pˆ2] = [ˆx1, pˆ1] + [ˆx1, pˆ2] − [ˆx2, pˆ1 |
] − [ˆx2, pˆ ] |
||||||||||
i отже, мають= i~ +ñïiëüíó0 − 0 −системуi~ = 0, власних ункцiй: |
|
727 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
(ˆx1 − xˆ2)ψ(x1, x2) = x012ψ(x1, x2), (pˆ1 + pˆ2)ψ(x1, x2) = p012ψ(x1, x2),
äå x0 |
p0 |
|
повнийщоз аченняiмпульсiксують. |
можливi вiд- |
станiальнийIз12мiжпершогот частинками12 рiвнеперервнiяннясистемиабачимо,¨хнiйвласнi |
|
|||
îñêi |
ки дiя оператора |
ψ(x1, x2) δ(x1 − x2 − x120 ), à |
||
заг другого рi няí |
pˆ на цювипдеëèâüòà-¹ ункцiю дорiвню¹ нулевi |
|||
|
ðîçâ'ÿçîê |
àêèé: |
ψ(x1, x2) eip120 x2/~, òî |
|
ψx012,p012 (x1, x2) = Cδ(x1 − x2 − x012)eip012x2/~
ванняC стала нормування. Пiдставля¹мо цей вираз в умову норму-
Z Z |
ψ 0 |
′ |
0 |
′ |
(x |
1 |
, x |
2 |
)ψ 0 0 (x |
1 |
, x |
2 |
) dx |
1 |
dx |
2 |
x12 |
,p12 |
|
|
x12,p12 |
|
|
|
i знаходимо сталу= δ(x012′ − x012)δ(p012′ − p012),
C:
ZZ
|
|
|
|
|
óíêöiÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C |
2 |
dx |
1 |
dx |
2 |
e (p120 −p120 ′)x2/~δ(x |
1 |
− |
x |
2 − |
x0 ′)δ(x |
1 |
|
− |
x |
2 |
− |
x0 ) |
||||||||||||||
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
0 |
äî′ |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Îòæå, ç òî÷íiñòþ~ |
азового′ |
множникано¨ст ла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |C| |
2π δ(p12 |
− p12)δ(x12 |
− x12). |
|
|
|
|
|
такою: |
|
|
|
. Îñ- |
|||||||||||||||||||
аточно хвильова |
|
|
|
|
EPR-сплут |
|
|
|
ïàðè ¹ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
~ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 1/ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ip0 |
x2 |
/~ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Iç òî÷íiñòþ0 äî0 |
сталого àç |
âî |
ãî ì12 |
|
ожниксумарногоцей вираз, завдяки |
|||||||||||||||||||||||||||
|
ψx12,p12 |
(x1 |
x2) = |
√2π~ e |
|
|
|
δ(x1 − x2 |
− x12). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
δ- óíêöi¨ |
|
|
|
|
до уваги, що |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
x |
0 |
= |
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
беручисиметричноОскiлькихвильоординатнiвiдхиленp = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||||||||||||
частинзаписатиîимчногок,Отже,знаднакчензначенмивíiямотрималичастинки,внооордината,рiзницiя. |
|
|
iмпуову вигунталядi |
|
|
частинокопису¹iмпульсустанне, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ëüñ |
кцняжно¨ю,.21,ÿêç |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
12 |
|
− |
|
|
21 можначiзточсти |
|||||||||||
( 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
âèìiðè, |
p1 |
= |
− p2 |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = x2 |
|
|
|
|||||||||||
силуЯк728x бачимо,,якp и,¹длязадаяко¨нашièìè),недвiторкчастинкиаютьсянадспiввiдношеякою¹, провоí розв'яневиятьсплутçна¹ченостейанiEPRмiж-парадокаксобоюмаютьi äëÿ. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справдi,це |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Е. Шредин ер придум в для таких хвильових ункцiй дуже попу |
||||||||||||||||||||||||||||||||
кцi¨ EPR-стану з цьогопарагра а |
дозволя¹ записати ¨¨ так: |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
ярну тепер назву сплутан стани (з нiмецько¨ Versсhrankung |
||||||||||||||||||||||||||||||||
à àíãëié üêîþ öå |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ÿê entanglement ). |
знайдену тут х и- |
|||||||||||||||||||||
|
У наступному |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми використа¹мо |
|
|||||||||||||||||||
льову ункцiю EPRпереклалидля побудови теорi¨ явища |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Приклад. EPR-стани в дi |
|
|
кiвському ормалiзмi. Вигляд хвильквантово¨ун- |
||||||||||||||||||||||||||||
телепортацi¨. |
|
|
|
|
|
åííi |
|
|
|
|
|
|
|
|
належнiсть |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обчислю¹мо, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
ipˆ1xˆ2 |
/~ 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
частинкинижнi iндекси.Справдi,кет-вектуоператором |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рiвдинатномууказують назображеннi,¨хню |
за означенням,до першо¨ма¹мо:бо друго¨ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|x12 |
p12 |
= e |
|
|
|
|
|
|x12 |
1 |
|p12 2, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− координати1 2 |
¹ звичайним числом |
||||||||
оскiльки у власному з браж |
|
|
операт |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ipˆ x |
/~ |
0 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
hx1, x2|x12, p12i = hx1|e |
|
|
|
|x12ihx2|p12i, |
|
|
|||||||||||||||||||||
xóˆ2якому=Матричнийx2. операторелемент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
використовуючи iмпульсне зображення, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
pˆ1 ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
hx1|e−ipˆ1 x2/~ |x120 i = dp1hx1|p1ie−ip1 x2/~ hp1|x120 i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
óíêöi¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Îòæå, ìà¹ìî |
eip1x1/~ |
|
−ip1x2/~ e−ip1 x12/~ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
= |
dp1 |
√ |
2π~ |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
2π~ |
|
= δ(x1 − x2 − x12) = hx1 |
− x2|x12i. |
|||||||||||||
|
ó |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hx1, x2|x12 |
, p12 |
|
= hx1 − x2|x12ihx2|p12 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
àáî |
|
звичайних позначеннях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
eip120 x2/~ |
|
|
||||
|
|
|
|
ψx12 ,p12 (x1, x2 = δ(x1 − x2 − x12) |
|
√2π~ . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
званатетуз тим,УЦейвщо1997квантоваIнсбруцiвиразбувроцiзнайденийдля0 (Австрiя)телепортацiяхвильово¨Ÿ0 Iнститутi93у. згадКвантовабулаомуекнаспериментекприкотонахтелоординатномуадiпорт. 1ально¨. Пiдальноацiязображеннiтелепортацi¹юреалiзованаiзикиунiверсизбiга¹тьсятакро |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dik Bouwmeest |
Jian-Wei Pan, Klaus |
|
|
|
Manfred Eibl, Harald Wein |
||||||||||||||||||||||||||
furter, and Anton Zeilinger, Nature (London)Mattle,390 575 (1997). |
729 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
çóìiþòü |
|
деякого об'¹кта в однiй точцi простору i ви- |
||||
про якийзникненняiшлос Ÿ4. |
2 |
|
|
3 |
||
íèê åííÿ |
|
iíøié |
. Сама iдея була вислов ена 1993 року |
|||
унту¹тьсйогона на парадоксi Айнштайн Подольського озена, |
||||||
|
iäå¨ |
сво¨й першiй роботi працюв ли |
частинк |
|
||
легкАвторищостаницi¨,наскретнихсплутроюмаютьвикбудеозгано¨ретьо¨перелянемористовуючиляризацi¨EPRанiв,спiнжливiстьормчасти-~паридеквантовомехлюва/.2,мики,Туттобтодвострозглянутиобговоримоищоанимиперебува¹частинокзобговоримоздискретнимианiчнуотони,непертелепортдлясамрвнимисисустiдеюнякеканiмувза¹мостанспериментацiюпараграхквазмiннимитякаакдiючо¨тово¨акж.склада¹тьсЦi¹.жi,два.телепортiзПiзнiшезульдляможлцi¹юункцiяами,дисатипавiзi-
p0 |
диницюцi частиíêè EPR 1 2 -парою. Вважа¹мо, що |
||||||||||||
ако¨ EPR-пари, з айдена |
попередньому |
ϕ. Хвильова |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
eip120 x2/~ |
|
|
|
||
оп су¹ скорельован0 0 |
й стан двох частинокчастинкиiз |
оорди |
натами |
|
|
||||||||
|
ψx12 |
,p12 (x1, x2) = δ(x1 − x |
− x12) √2π~ |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
þ¹ x120 |
|
|
|
|
|
|
x1 òà |
|
x2, вiдстань мiж як ми дорiв |
, |
повний iмпульс дорiвню¹ |
|||||||||||
хвиль. Будемоункцiяназиват |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нормована12 |
|
|
|
i¨ |
îâèé |
àí |
|
|
|
çìi- |
|||
x . У резуль атi цi¹¨ опера |
|
|
|
||||||||||
тинок дорiвню¹на |
ϕ = ϕ(x3) |
третьо¨ |
|
|
|
з координатою |
x3 |
||||||
|
|
добутковi:.Хвильова ункцiя всi¹¨ системи трь х час- |
|||||||||||
|
|
звичайно для неперервних значеньквантових |
|||||||||||
чиселВона нормованаψ 0 0ÿê(x1 |
, x2, x3) = ϕ(x3)ψ 0 |
0 (x1, x2). |
|
|
|
|
|||||||
|
x12,p12 |
|
|
|
x12 |
,p12 |
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
p0 |
|
|
|
|
|
|
|
(1993) |
Jozsa, |
|
|
|
730 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ïîñò12âèìî,12 передльтсобоюункцi¨завдання. телепортувати ст |
|
|
|
||||||||||
|
|
першутаннятретьою.З.Спочатку¹ючастинкамиметоювимiрпроведемоя¹мойпознíàøî¨й нашiйчимосистемиiку¹¨¨ зчерезвiдемi |
|||||||||||
станьдвiтьо¨оперчастинкижцi¨другоювимрюв |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|||
нитьс23 лепортацiя¨¨хвильова ункцiя зредуку¹тьс |
äî |
ψ′ |
|
|
|
|
|||||||
перево2Т |
: âiä ãðåö. |
|
|
|
|
|
x1, x2 x3). Íà |
||||||
Peres,3Chandдити;rlesWilliamHзводити,.Bennett,K.доставляти,Wootters,Gillesτ ηλε˜Brassard,Phys¨хати;далеко;.RevClaudeпередавати;.Lettвiд.Criтал70epeau,1895.наносити;orto,Ri portarehard.скеровуватиносити,Asher.
другому етапi вимiря¹мо повний iмпульс p0
хвильтинок. ваПiсляункцiяцього стан системиЗнайдемотрьхчастин23 д уго¨к будеi третьо¨описуватичас-
′′
ìiïîâiäíèõоператорииннiункцi¨яд,Перехтобтонасампере(у.нашомуоператорiвдвимiрберемоäятивипадкухвильψобчислень(îîðx ,âóxдидинатi, xатите.ункцiю)Для.рал)друго¨тогоункцiямипочазавлщобтретьтепеснимиовогопровестио¨ явнийчастинок,ануункцiямипершийвиглядрозкластимивiдцi¹¨пови
1 2 3
нi, ¨хнi власнiми |
óíêöi¨ |
xˆ2 = x2 |
à |
xˆ3 = x3 |
|
|
|
||||
|
власному¹ дельт, тобто- |
оординатному,i отже,. Оскiлькима¹мо:зображенцi |
|||
|
|
У результ |
поча ковий |
àí ñ ñòåì |
|
ψx120 ,p120 (x1, x2, x3) = |
Z dx2′ Z dx3′ |
δ(x2′ − x2)δ(x3′ |
− x3) |
||
ча¹,Вимiрюваннящоцьому озкладiвiдстанiмимiжψповиннiдругою0 0 (xатiбрати, xтретьою′ , xií′ ).е ралич стинкамиза озна- |
|||||||||||||||||
|
|
× |
|
x12,p12 |
1 |
2 |
3 |
ò |
|
|
|
|
|
|
|||
óìîâi, ùî |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2′ , x3′ ïðè |
|
трь х частинок(x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
редукуx′ ) = x¹òüñÿ. äî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 − |
3 |
23 |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äèìî, |
|
||||
ψ′(x1, x2, x3) = C′ |
dx2′ |
dx3′ δ(x2′ |
− x3′ |
− x230 ) |
|
|
|||||||||||
тут стала |
× |
δ(x′ |
− |
x |
2 |
)δ(x′ |
− |
x |
3 |
)ψ |
0 |
|
0 |
(x |
1 |
x′ , x′ ), |
|
|
2 |
|
3 |
|
x12 |
,p12 |
|
|
2 3 |
||||||||
ванняункцiям,зредуковано¨берутьсведенаяхвильово¨тутдляелементарно,того,ункцi¨щоб.iзабIнтмиåзпечзнрàли,хотизавдякиумовущо дельтанорму- |
||||
|
C′ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
iВикористаймознайдемо,ψ′(x , ùîx ,явнийx ) =виглядC′δ(xхвильово¨x x óíêöi¨)ψ 0 0початкового(x , x , x ). стану |
||||
|
1 2 3 |
2 − 3 − 23 |
x12,p12 |
1 2 3 |
eip012x2/~
ψ′(x1, x2, x3) = C′ϕ(x3)δ(x2 − x3 − x023)δ(x1 − x2 − x012) √
або, беручи до уваги властивостi дельтаункцi¨, запишемо2π¨¨~ òàê:
eip012x2/~
ψ′(x1, x2, x3) = C′δ(x2 − x3 − x023)δ(x1 − x3 − x013)ϕ(x1 − x013) √731 ,
2π~