Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

ˆ

ϕn власними ункцiями H:

ˆ

озкладемо пробну ункцiюHϕn =ðÿäEnϕn.

ченняi обчислимоенер

ψ = X Cnϕn

XпростiX′

X

n |Cn|2

= 1:

= Z ψ Hψˆ dq =

X X

E = hHˆ

n n′

CnCn′ Z ϕn′Hϕˆ n dq

=

CnCn

Enδnn′

= Cn

|

2

En.

Далi робимо

′

|

перетворення, пам'ятаючи, що

n

n

n

P

X

X

E =

En|Cn|2 = (En − E0 + E0)|Cn|2

n

n

X

X

X

442 =

(En − E0)|Cn|2 + E0

|Cn|2

= E0 + (En − E0)|Cn|2,

n

n

n

å

якому точнеозначенняменер i¨ основного стану системи. При будь-

E0

оданок

, çà

основного стану,

i отже, другий

у рiвняннi ¹ додатним, т му отриму¹мо:

ä

n

En ≥ E0

Нехрiвнiстьайотр.миму¹тьсяпiдiбралиговорить,значенндеякущо,ÿкунормовануенерб миi¨ основногонепробнувзялипробнустанувище,ункцiю,нiж

справжн¹вжди

E ≥ E0.

залежить вiд змiнно¨

ψ- ункцiю,параметрияк

q i, крiм того, мiстить собi вiльнi

a1, a2, . . . :

ψ = ψ(q; a1, a2, . . .),

Пiдраху¹мо з ¨¨

допомогою енер iю

2

dq = 1.

Z |ψ(q; a1, a2, . . .)|

Вона залежить вiдˆвеличин

ˆ

, a2, . . .) dq.

E(a1

, a2, . . .) = hH = Z

ψ (q; a1, a2, . . .)Hψ(q; a1

ти з умови ìiíiìàëüíîñòi

åíåð, i¨:

, якi ми ма¹мо змогу пiдiбра-

a1 a2

, . . .

dE

dE

Iз цих рiвнянь знаходимо= 0значення,

= 0, . . . .

da2

da1

íiìóì åíåð i¨

a¯1, a¯2, . . . , якi приносять мi-

деякутнаочiку¹мо,У результатiнавичок

будодесправжньо¨близькоюверхнюзбудженихмежудо.Успiхточеíероготутстанiвi¨значензалежитьоснов.Зновуíогоякщовiдпiдберемостаiнту¨цi¨проб.Мия, -

Перейдемонкцiяпробнущо.подiбнаотриму¹мовонадоункцiювизначенняE = E(¯a1

, a¯2, . . .).

ψ1 = ψ1(q; b1, b2, . . .)

443

Наклада¹мо,ункцi¨ крiм цього, ще

додатк2ву умову

ортогональностi

Z

|ψ1(q; b1

, b2

, . . .)|

dq = 1.

ψ1

до вже знайдено¨ ункцi¨ основного стану ψ:

Z ψ1 (q; b1, b2, . . .)ψ(q; a1, a2, . . .) dq = 0.

Знову пiдрахову¹мо середн¹ значення

параметриi просимо виконатийенерiюумови екстремуму, якiˆ

iксують нам вiльнi

E1 = E1

(b1 b2, . . .) = Z ψ1 (q; b1

, b2, . . .)Hψ1

(q; b1

, b2, . . .) dq

принципi,

E1:

dE1

dE1

Зрозумiло, що додàòêîâà= 0,ìîâà ïðèâîäèòü= 0, äî. . . зсуву.

db1

db2

ëþ¹òüñï

E1

iнту¨тивномуедоерайти,в'язанийзв'язкуенерВарiацiйнийi¨. i¨прибагатьосновногозiснуваннямвгсвiдомленнiадуваннiпiдхiдзастансi¹чпевно¨хвильовióпотужнимквантово¨пробно¨. Цюго,симетрi¨процедурущоункцi¨ункцi¨механiкипринципнепервзадачi.òурбацiйнимможна.вiдповiднiмiнiмальностi€.рунту¹тьсяСамепродовжитивона6уверхзначенняметоiвiнвловтiсдомщоíà--i

Приклад 1. Ангармонiчний осциëÿтор. Задано гамiльтонiан

ˆ

pˆ2

4

.

ЗнайтиБачимо,енервузлiвщоiю основногозадачi¹станусиметрiя:H. =

çàìiíà+ αx

2m

станукiнетично¨вонаана. Томума¹енерпробнуi¨ вiдповиннаункцiюдруго¨похiдно¨основногобутиладкою,.Отже,станущобнехxвибира¹мона(−x)

òîãî,i-

чення

айнепрона наiглоепарноюзмiнункцiявелике¹.гКрiмамiльосновногоз

4446Âiä

àíãë.

perturbationψ = Ce−

a1x2

−

a2x4

−

a3x6+

···,

збурення.

2

Для простоти обiрвемо урахуваннямяднаквадратичному|ψ| dx = 1. членi, i нехай

вiльний параметр. З

умови нормування,

a1 = mω/2~, ω

óíêöiþ

mω

2

ма¹мо хвильову

1/4

2

/2

ψ =

e−mωx

тотою

осцилятора з час-

π~

2

ω. Середн¹ значення енер i¨

легк розрахувати:

E = h

pˆ2

i + αhx

4

i

2m

hp

2

/2mi =

~ω

,

4

Îòæå,

hαx4i = 3α

~

.

2mω

1/3

~

4

2mω

ω знаходимо з умови

m2

ÿêà äà¹

dE

= 0,

dω

~

3

2

збурень,

тобто

4 − 4 α m2

ω3

= 0,

Тепер обчислю¹мо величину

ω =

6α

~

.

ципа такожневизнаiз нерiвнiстю,ченостей якуайзенбермиотрималиа:

â Ÿ

7 (приклад2), застосовуючи прин-

1/3

3

~4

1/3

E =

8

6α m2

яка да¹ верхню межу для значення

нер i¨ основного стану

E0. Öiêàâî ïîðiâ-

няти цей результат iз результатом тåîði¨

1

~4 1/3

E =

2

3α m2

E0 ≥

3

~4

8

2α m2

.

445

Îòæå,

значенíÿ åíåð i¨ основного ñòàíó àíгармонiчного осцилятора

x

4 знах диться в таких межах:

точне

ункцiю основного стану з двома варiацiйними

−параметра~ (Виберi∂/∂x1, è. .ïðîá. , ∂/∂xхвильовуN ).

3

~4

1/3

3

~4

1/3

8

2α m2

≤ E0 ≤ 8

6α m2

.

Прикл д 2. Основний стан

Z ∞

∞

амiльтонiонст

ˆ

pˆ2

α

4

äå

H =

2m

+

N

|x| ,

àìè,

âèìiðí

α ê

àíò

зв'язку, а N -вимiрнi вектори x = (x1, . . .

xN ), pˆ = − ~ =

a ò

k:

−axk

З умови

Z

ψ(x) = Ce

, x = |x|.

умовузнах д мо сталу

dx1 . . .

dxN ψ2(x) = 1

−∞

Z

−∞

Z

èтак:хполярнихC.координатОскiлькиZ i, ункцiяпроiнтезалежитьрувавши

çàâiäêóòx,

перейдiмозапишiмдо цюN -

Z

∞

N

äå

îá'¹ì

ψ2(x) dVN = 1,

0

N -âèìiðíî¨

êóëi

VN

=

CN xN

,

dVN

= NCN xN −1dx,

N/2

/ (1 + N/знайдемо,2) (x) гаммаункцiя

7

(див. Ÿ44). Iнте руючи, зна-

CN7Сталу= π

Z

CN ëåãê

ÿêùî iíòå ðàë

двома способами.∞

∞

2

розрахувати

З одного боку,

I =

dx1 . . .

−∞

dxN e−x

−∞

а з iншого

I =

∞ dx1 e−x12

= (√

π

)N ,

I

=

∞ e−x2 NCN xN −1dx =

çàìiíà x2 = y

=

NCN

∞ e−y y N2 −1dy

2

0

0

Порiвнюючи=

NCN

N

N

öi

äâà âèрази,= Cодержу¹моN 1 +

.

2

2

2

ходимо

p

1

Для середнього значенняC =

åíåð i¨

.

CN (2a)−N/k (1 + N/k

отрима¹мо

ˆ

E = hHi пiсля нескладних перетворень

N

~2

k

N

−

2

α

4+N

З умовиE ìiíiìóìó=

(2a)2/k 2 +

+

k

(2a)−4/k .

N

8m

k 1 +

N

1 +

k

k

)k/6

k

dE/da =(0 ìà¹ìî

4+N

1

16mα

Тепер енер iя на одинa =ñòóïiíü âië

ьностi

k

N −2

.

2

~2

N k2

2 +

k

1/3

N −2

äå

E

=

3 2α~4

E ,

N

8

1/3

1/3

4+N

/3

2 +

k

k

k

парамåòð

1 +

N

.

Якщо за iксуватиE =

N

k

24213

k подано в таблицi.

045

7984

1234567

31669265301270976805

4166617175332808949215

N

k

E

8

10

2307 8

57 3

9

5

63

∞

2.44949

447

ця неЯкзалежитьбачимо, вiдl m

E/N = 3

2α~4/m2 1/3 /8 ункцiй,причо у цiкаво, що ця грани-

N →∞

+

k. Öå ëåãê

довести також руками . Якщо у вираз для

E пiдставити асимптотичнi îрмули для -

обчисленнями оператв √

−

(aN + b)

aN

aN +b+1/2

→ ∞, a > 0,

òî

2πe

(aN )

, N

динвиразядок знахо имо

Приклхiднiй3.Знайти

äëÿ ñåðåäнього

E = 1

N → ∞

i значення

бурення

ˆ

E через

середн¹

ористзааймосьдеякимтеоремоюпараметромпроте, що

похiдно¨ ермiтового Vоператора.Ск

ðiâíþ¹ ïî

вiд середнь

значення цього оператора за

λ äî-

äî Ÿ18):

*

λ (див. Приклад

ˆ

∂E

∂H

=

,

∂λ

∂λ

ßêùî â ðîëi

ˆ