Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

Од е зi стандартних означень

ïîëiíîìà Ëà åððà ç

усталеíою в теоретичнiй iзицi iíäïри¹днаногоексацi¹ю таким (див. виноску

íà ñòîð. 344):

dx

Lp(x),

äå ïîëiíîì Ëà åððà Lpk(x) =

k

d

Якщо взяти

Lp(x) = ex dx

e−xxp

ïîëiíîì

k = 2l простих,+ 1 à p = n + l, òî ç òî÷íiñòþ

перетворень,стало¨наш

2l+1

безма¹м ментарiвL(x) збiга¹тьсяряд з полiномомдiбнихL

до попереднiх(x). Справäi, виконуючи

n+l

d

2l+1

d

n+l

Ln2l++1l (x) =

ex

e−xxn+l

=

d

2l+1

d

− 1

n+l

xn+l

dx

dx

= (−)n+l

2l+1 n+l

−

k

d

X

−

d

xn+l

dx

k=0

(n + l k)!k!

dx

n−l−1

(n + l)!

(n + l)!

= (−)n+l

(−)k

xn−l−1−k

(n + l

−

k)!k! (n

−

l

−

1

−

k)!

X

k=0

= (−)n+l(n + l)!

1

xn−l−1 −

(n + l)

1

xn−l−2

+ · · · + (−)n−l−1

(n + l)!

(2l + 1)!(n − l − 1)!

= (−)n+l(−)n−l−1(n + l)!

(n + l)!

(2l + 1)!(n

−

l

−

1)!

23 I. О. Вакарчук( x)n

l 1 + (2l + 1)! (n − l − 1) (

x)n

l

2 +

+ 1353.

×

(2l + 1)!

−

− −

−

− − · · ·

2l+1

[(n + l)!]2

Використовуючи для

−(2l + 1)!(n

l

1)! L(x).

Ln+l (x) =

−

−

записати, що

L(x) його компактний вигляд, можна також

2l+1

(n + l)!

(2l+1)

x

d

n−l−1

x n+l

чином, отриму¹мо

e

dx

e− x .

ТакимLn+l

(x) =

−(n − l − 1)! x−

(2l + 1)!(n

l

1)!

2l+1

радiально¨разомперепозначаючихвильово¨ункцi¨сталiв таве-

комуличини,Збираючивиглядi:запишемодержанiw(x) =виразрезультатиa äëÿ

− −

L

(x).

− 0

[(n + l)!]2

n+l

Rn,l(r) = Cn,l

2ρ

l

2ρ

2l+1

äå

e−ρ/nLn+l

,

n

n

Cn,l постiйна нормування. Повна хвильова ункцiя

повинна нормуватисьψ íà (одиницю,r) = Y (θ,тобтоϕ)R

n,l

(r)

n,l,m

l,m

à ó

координатах

2

с еричних

(r)| dr

= 1,

Z

|ψn,l,m

2π

π

2

∞

2

2

Iнтеункцi¨:одиницю,рализакутамиiзвiдси черезвиплива¹нормованiстьумова нормуванняс ерично¨для радiально¨ункцi¨да-

þòü

Z0

dϕ Z0

sin θ dθ

|Yl,m(θ, ϕ)|

Z0

r

|Rn,l(r)|

dr = 1.

Z0

∞

354

r2Rn,l2 (r)dr = 1.

Óâåäiìî Cn,l

Z0

n

2l

e−

Ln+l

n

2

r dr = 1.

2

∞

2ρ

2ρ/n

2l+1

2ρ

2

çìiííó

x = 2ρ/n = 2r/naB,

äå iíòå ðàë

Cn,l2

2

I = 1,

naB

3

зОбчпрè

I =

Z0

∞

2l+2

e−

x

h

2l+1

i

2

x

Ln+l

(x) dx.

Iíòå= − Z0

∞

2l+2

2l+1

(n + l)!

x−

(2l+1)

d

n−l−1

x

n+l

x

Ln+l

(x)

e−

x

dx.

ру¹мо частинами:

− −

0

(n + l)!

d

n−l−2

∞

I

=

−

(n

l

1)!

(xLn2l++1l (x)

dx

e−xxn+l

Z0

dx

)

−

dx

∞ d xLn2l++1l (x)

d

n−l−2

x

n+l

e−

x

dx .

Ïîçàiðóâàíтеня да¹льний

÷ëåí äîðiâíþ¹ íóëåâi, òîìó

багатократне iнте-

ð

− −

n

l

(n + l)!

x

n+l

2l+1

УнаслiдокI = (−)

−

Z0

e−

x

dx

xLn+l (x)

dx.

òîãî, ùî

полiнома:нi пiд iнте ралом

2l+1

(x)

внесок¹полiномлишестепенядвох найстарших(n −l −1), точленiвпохiд-

Ln+l

залишать

d

n−l−1

2l+1

n+l

23*

xLn+l (x)

= (−)

355

dx

(n + l)![(n −l)x −(n + l)(n −l −1)],

I =

(n − l − 1)! (n − l) Z0

∞ e−xxn+l+1dx

− (n + l)(n − l − 1) Z0∞ e−xxn+ldx

[(n + l)!]2

=

{(n − l)(n + l + 1)! − (n + l)(n − l − 1)(n + l)!}

−

−

[(n + l)!]3

=

{(n − l)(n + l + 1) − (n + l)(n − l − 1)}

(n

−

l

−

1)!

Тепер=

[(n + l)!]3

äля стало¨ нормування2n.

знаходимо

(n

− l

−

1)!