2.2. Расчёт потенциала и напряжённости в конденсаторе при поменянной полярности электродов.

При поменянной полярности электродов имеем, что U₂=-U₀=-10кВ и U₁=0.

Значит система уравнений (18)–(21) примет вид:

Подставим численные значения:

Таким образом, выражения распределения потенциала и напряжённости электростатического поля между электродами цилиндрического конденсатора будет иметь вид:

Для определения поверхностной плотности заряда на электродах, воспользуемся формулами (10) и (11):

В данном случае , и обе величины положительные.

На следующей странице приведены графики распределения потенциала и напряжённости поля в конденсаторе.

Из графиков следует, что потенциал скачков не имеет, а функция напряжённости терпит разрыв. Модуль напряжённости имеет убывающий характер на первом участке, а затем возрастающий. На втором напряжённость убывает. Потенциал же имеет сначала убывающий, а затем возрастающий характер на первом участке, на втором участке потенциал возрастает. Напряжённость равна нулю, в точке минимума потенциала. Из графика распределения напряжённости видно, что максимальное по модулю значение наблюдается при r = R₁ и оно равно |E_max|=3191000 В/м.

2.3. Расчёт потенциала и напряжённости при изменённом значении радиуса границы раздела R₁₂ (R₁₂ = 1,2R₁ и R₁₂ = 0,8 R₂).

Система уравнений (18)-(21) не изменится. Меняется только значение R₁₂. Поэтому, подставляя конкретные величины, получаем следующие значения постоянных интегрирования:

Таблица 1. Постоянные интегрирования при различных R₁₂

	R12=1,2R1=0,012 м	R12=0,025 м	R12=0,8R2=0,04 м
C1, В	-6777,34	-30282,04	-50963,09
C2, В	-34741,88	-142985,02	-238224,78
C3, В	6784,3	27712,75	124062,52
C4, В	30323,96	93019,99	381658,1

Получаем следующие зависимости при R₁₂=1,2R₁=0,012 м:

Для определения поверхностной плотности заряда на электродах, воспользуемся формулами (10) и (11):

В данном случае и противоположных знаков.

При R₁₂=0,8R₂=0,04 м получаем следующие зависимости:

Для определения поверхностной плотности заряда на электродах, воспользуемся формулами (10) и (11):

В данном случае и одного знака.

Далее приведены графики распределения потенциала и напряжённости.

Из графиков следует, что потенциал скачков не имеет, а функция напряжённости терпит разрыв.

Из графика распределения напряжённости видно, что максимальные по модулю значения наблюдаются при r = R₁ для R₁₂=0,04 м и R₁₂=0,025 м и они равны соответственно |E_max|=4390000 В/м и |E_max|=2322000 В/м. Для R₁₂=0,012 м максимально по модулю значение напряжённости достигается при R=R₁₂ со стороны ε₂ и |E_max|=565400 В/м.

2.4. Расчёт потенциала и напряжённости при изменённом значении диэлектрической проницаемости внутреннего слоя изоляции ε₁ (ε₁ = ε₀ и ε₁ = 6ε₀).

Система уравнений (18)-(21) не изменится. Меняется только значение ε₁. Поэтому, подставляя конкретные величины, получаем следующие значения постоянных интегрирования:

Таблица 2. Постоянные интегрирования при различных ε₁

	ε1 = ε0	ε1 = 2ε0	ε1 = 6ε0
C1, В	-54842,2	-30282,04	-11303,7
C2, В	-259619,81	-142985,02	-53232,49
C3, В	33434,64	27712,75	20454,64
C4, В	110161,22	93019,99	71276,61

Получаем следующие зависимости при ε₁ = ε₀:

Для определения поверхностной плотности заряда на электродах, воспользуемся формулами (10) и (11):

В данном случае и одного знака.

При ε₁ = 6ε₀ получаем следующие зависимости:

Для определения поверхностной плотности заряда на электродах, воспользуемся формулами (10) и (11):

В данном случае и одного знака.

Далее приведены графики распределения потенциала и напряжённости.

Из графиков следует, что потенциал скачков не имеет, а функция напряжённости терпит разрыв при ε₁ = 2ε₀ и ε₁ = 6ε₀. При ε₁ = ε₀ разрыва нет.

Из графика распределения напряжённости видно, что максимальные по модулю значения наблюдаются при r = R₁ для всех значений ε₁.

Для ε₁ = ε₀:  |E_max|=4072000 В/м.

Для ε₁ = 2ε₀:  |E_max|=2322000 В/м.

Для ε₁ = 6ε₀ по графику тяжело определить |E_max|, поэтому на рисунке для этого графика представлены две точки (r = R₁ и r = R₁₂ для второго участка), которые подозрительны на достижение |E_max|:  |E_max1|=895000 В/м и |E_max12|=818200 В/м. Следовательно – |E_max|=895000 В/м в точке r = R₁.

2. Выводы

В цилиндрическом конденсаторе, который имеет двухслойную изоляцию с различной диэлектрической проницаемостью слоёв и не имеет объёмного заряда, потенциал всё время возрастает и имеет положительные значения. Модуль напряжённости всегда убывает (рисунок 1.1).

Также были рассчитаны поверхностные плотности заряда на электродах и определена ёмкость конденсатора на единицу длины ( ).

При внесении объёмного заряда во внутренний слой изоляции, форма кривых потенциала и напряжённости изменилась (рисунок 2.1). Напряжённость имеет сначала убывающий характер, затем возрастающий на первом участке и убывающий на втором. Потенциал же имеет сначала убывающий, а затем возрастающий характер на первом участке, на втором участке потенциал возрастает. Напряжённость равна нулю, в точке минимума потенциала. Относительно случая, когда объёмного заряда нет, максимальная напряжённость увеличилась. Также рассчитанные поверхностные плотности заряда на электродах оказались не равными по модулю и одного знака.

При изменении полярности (рисунок 2.2) электродов форма кривых потенциала и напряжённости не изменилась. Однако увеличился максимальный модуль напряжённости электрического поля.

Были построены графики распределения потенциала и напряжённости при различных значениях радиуса границы раздела R₁₂ (рисунок 2.3). Форма кривых не изменяется, но чем больше R₁₂, тем при большем r напряжённость меняет своё направление. Также, чем меньше R₁₂, тем меньше максимальный модуль напряжённости. Графики U(r), E(r) имеют большую крутизну при большем R₁₂.

Были построены графики распределения потенциала и напряжённости при различных значениях диэлектрической проницаемости внутреннего слоя изоляции ε₁ (рисунок 2.4). При ε₁ = ε₀ нет разрыва графика напряжённости. Чем больше значение ε₁, тем меньше крутизна U(r) и E(r). При меньшем значении ε₁ максимальный модуль напряжённости больше.,