1.3. Определение поверхностной плотности зарядов на поверхности электродов и ёмкости на единицу длины.

Для определения поверхностной плотности заряда воспользуемся одним из граничных условий:

,

где – нормальная к поверхности электрода часть электрического смещения.

Учитывая симметрию поля относительно оси конденсатора получаем, что на внутреннем электроде поверхностная плотность заряда определяется выражением:

(10)

Подставляя числа, получим:

Аналогично получим поверхностную плотность заряда на внешнем электроде, с учётом знака , так как вектор направлен к внешнему электроду:

(11)

Подставляя значения, получим:

Ёмкость на единицу длины определяется следующим выражением:

где С-ёмкость конденсатора и – осевая длина цилиндра.

Ёмкость определяется следующим образом:

(13)

Подставив выражение (13) в формулу (12), сократив и подставив численные значения получим:

Часть 2. Расчёт электрического поля в пространстве между электродами цилиндрического конденсатора с объёмным зарядом.

2.1. Расчёт потенциала и напряжённости поля в конденсаторе.

Дано:

					, кВ	ρ, 10—4 Кл/м3
0,01	0,05	0,025			10	-25

Решение:

Область расчёта электрического поля конденсатора представляет собой пространство между его электродами и состоит из двух подобластей: 1 – внутренний слой диэлектрика и 2 – внешний слой. Согласно условию задачи, во внутреннем слое диэлектрика присутствует объёмный заряд, и распределение потенциала находится с помощью уравнения Пуассона. Принимая во внимание условие, что поле конденсатора изменяется вдоль координаты, перпендикулярной поверхности электродов (координаты r) выбираем цилиндрическую систему координат для записи уравнения:

Учитывая симметрию поля относительно оси конденсатора, принимаем E_φ=0 и, следовательно, Кроме того, поле цилиндрического конденсатора является плоскопараллельным (картина поля во всех плоскостях, перпендикулярных оси конденсатора, одинакова), и, следовательно, E_z=0 и . Таким образом, уравнение Пуассона принимает вид:

Для внешнего слоя распределение потенциала находится с помощью уравнения Лапласа, так как там нет объёмного заряда. И оно принимает вид:

Рассмотрим зависимость потенциала от радиуса цилиндра.

Вследствие наличия между обкладками двухслойного диэлектрика необходимо рассмотреть два случая. Однако, так как во внутреннем слое присутствует объёмный заряд, то зависимости будут различными.

При ≤ r ≤ после двукратного интегрирования уравнения Пуассона по переменной r получаем следующую зависимость:

(14)

При ≤ r ≤ после двукратного интегрирования уравнения Лапласа по переменной r получаем функцию:

(15)

Где С₁, С₂, С₃, С₄ постоянные интегрирования.

При этом, используя формулу

находим распределение напряжённости электрического поля:

(16)

(17)

Для определения констант C₁, C₂, C₃, C₄ воспользуемся граничными условиями:

1. При r= потенциал равен U=0, тогда:

(18)

2. При r= потенциал равен U= , тогда:

(19)

3. При r= на границе раздела двух диэлектриков нормальные составляющие вектора электрического смещения равны, тогда: D_1n=D_2n

(20)

4. При r = на границе раздела двух диэлектриков потенциалы и  равны, тогда:

(21)

Запишем систему уравнений для нахождения постоянных:

Подставим численные значения:

Таким образом, выражения распределения потенциала и напряжённости электростатического поля между электродами цилиндрического конденсатора будет иметь вид:

Для определения поверхностной плотности заряда на электродах, воспользуемся формулами (10) и (11):

В данном случае , и обе величины положительные.

Из рисунка 2.1. следует, что потенциал скачков не имеет, а функция напряжённости терпит разрыв. Модуль напряжённости имеет сначала убывающий характер на первом участке, затем возрастающий. После скачка напряжённость убывает на втором участке. Потенциал же имеет сначала убывающий, а затем возрастающий характер на первом участке, на втором участке потенциал возрастает. Напряжённость равна нулю, в точке минимума потенциала. Из графика распределения напряжённости видно, что максимальное по модулю значение наблюдается при r = R₁ и оно равно |E_max|=2322000 В/м.