Часть 1. Расчёт электрического поля в пространстве между электродами цилиндрического конденсатора без объёмного заряда.

1.1. Расчёт потенциала и напряжённости поля в конденсаторе.

					, кВ
0,01	0,05	0,025			10

Дано:

Решение:

Область расчёта электрического поля конденсатора представляет собой пространство между его электродами и состоит из двух подобластей: 1 – внутренний слой диэлектрика и 2 – внешний слой. Согласно условию задачи, во внешнем и внутреннем слое диэлектрика объёмный заряд отсутствует, и распределение потенциала находится с помощью уравнения Лапласа. Принимая во внимание условие, что поле конденсатора изменяется вдоль координаты, перпендикулярной поверхности электродов (координаты r) выбираем цилиндрическую систему координат для записи уравнения:

Учитывая симметрию поля относительно оси конденсатора, принимаем E_φ=0 и, следовательно, Кроме того, поле цилиндрического конденсатора является плоскопараллельным (картина поля во всех плоскостях, перпендикулярных оси конденсатора, одинакова), и, следовательно, E_z=0 и . Таким образом, уравнение Лапласа принимает вид:

Рассмотрим зависимость потенциала от радиуса цилиндра.

Вследствие наличия между обкладками двухслойного диэлектрика необходимо рассмотреть два случая. Однако, так как нигде нет объёмного заряда, то формулы получатся аналогичными:

При ≤ r ≤ после двукратного интегрирования уравнения Лапласа по переменной r получаем следующую зависимость:

(1)

При ≤ r ≤ после двукратного интегрирования уравнения Лапласа по переменной r получаем аналогичную функцию:

(2)

Где С₁, С₂, С₃, С₄ постоянные интегрирования, которые необходимо найти.

При этом, используя формулу

находим распределение напряжённости электрического поля:

(3)

(4)

Для определения констант C₁, C₂, C₃, C₄ воспользуемся граничными условиями:

1. При r= потенциал равен U=0, тогда:

(5)

2. При r= потенциал равен U= , тогда:

(6)

3. При r= на границе раздела двух диэлектриков нормальные составляющие вектора электрического смещения равны, тогда: D_1n=D_2n

(7)

4. При r = на границе раздела двух диэлектриков потенциалы и  равны, тогда:

(8)

Запишем систему уравнений для нахождения постоянных:

Подставим численные значения:

Таким образом, выражения распределения потенциала и напряжённости электростатического поля между электродами цилиндрического конденсатора будет иметь вид:

На следующей странице приведены графики распределения потенциала и напряжённости поля в конденсаторе.

По построенным зависимостям можно сделать вывод о том, что потенциал скачков не имеет, а функция напряжённости терпит разрыв. Потенциал имеет возрастающий характер. Модуль напряжённости всегда убывает. Из графика распределения напряжённости видно, что максимальное по модулю значение наблюдается при r = R₁ и оно равно |E_max|=434300 В/м.

1.2. Определение радиуса границы раздела r12, при котором напряжение делится поровну между слоями.

Для определения радиуса границы раздела R₁₂, при котором напряжение делится поровну между слоями, к системе уравнений (5), (6), (7), (8) добавляется ещё одно:

Подставляя выражения выражаем R₁₂:

Тогда постоянные интегрирования будут иметь следующие значения:

Значит функции распределения потенциала и напряжённости имеют вид:

На следующей странице приведены графики распределения потенциала и напряжённости поля в конденсаторе.

Из графика распределения потенциала видно, что при значении R₁₂=0,0292 м потенциал делится примерно поровну между слоями. По распределению напряжённости видно, что максимальное по модулю значение наблюдается при r = R₁ и оно равно |E_max|=466000 В/м.