2. На поверхности раздела проводника и диэлектрика.

₁ ₂ ₁ ₂

E₁ (D₁) = 0 E₂ (D₂) D₂

а) б)

Рисунок 2

В статическом поле заряды располагаются на поверхности проводника ( ≠ 0), поэтому внутри проводника поле отсутствует (E₁ = 0, D₁ = 0). Используя соотношения, полученные выше можем записать:

; ; .

В электростатическом поле векторы напряженности и смещения перпендикулярны поверхности проводника.

Граничные условия в электрическом поле токов.

На границе раздела двух сред с различными удельными электрическими проводимостями, применяя аналогично рассмотренному выше закон электромагнитной индукции и принцип непрерывности электрического тока, можем записать:

и ; откуда ; ; ;

На поверхности раздела сред с различными удельными электрическими проводимостями равны касательные (по отношению к границе) составляющие векторов напряженности электрического поля и нормальные составляющие векторов плотности электрического тока.

Граничные условия в магнитном поле.

На границе раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями, применим аналогично рассмотренному выше закон полного тока и принцип непрерывности магнитного потока:

, считаем, что по поверхности раздела магнетиков не протекает электрический ток. . Запишем граничные условия на поверхности раздела магнетиков:

; ; .

На поверхности раздела сред с различными магнитными проницаемостями равны касательные (по отношению к границе) составляющие векторов напряженности магнитного поля и нормальные составляющие векторов индукции магнитного поля.

Теоремы Остроградского – Гаусса и Стокса.

Теорема Остроградского – Гаусса позволяет преобразовать объемный интеграл в поверхностный, а теорема Стокса – поверхностный интеграл в линейный для произвольных функций, непрерывных вместе со своими первыми производными в исследуемых областях. Эти теоремы известны из математики, и мы их только проиллюстрируем на примере уравнений электромагнитного поля.

З апишем выражение для электрического заряда в некоторой области V, ограниченной замкнутой поверхностью S, и применим постулат Максвелла к левой и правой части этого уравнения:

; ;

Теорема Остроградского – Гаусса: Интеграл от дивергенции вектора D по некоторому объему равен интегралу от вектора D по замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем.

И спользуя выражение для электрического тока через некоторую поверхность S , ограниченную контуром l , и применив закон полного тока к обеим частям этого уравнения, получим:

; ;

Теорема Стокса: Интеграл от ротора вектора H по некоторой поверхности равен интегралу от вектора H по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.