ИЭ / 4 семестр / Лекции / Лекц 02

5

Лекция 2

Электростатическое поле

Электростатическое поле создается неподвижными (по отношению к наблюдателю) электрическими зарядами. В таком поле отсутствуют электрические токи (J=0), а, следовательно, (при отсутствии намагниченных тел) и магнитное поле (H=0; B=0).

Из полной системы уравнений электромагнитного поля для электростатического поля получаем:

; ;

(в изотропной среде направления векторов совпадают).

В реальных устройствах объемные заряды в диэлектрике не могут находиться в покое, т.е. появляются электрические токи, что нарушат статичность поля. Поэтому во многих случаях второе уравнение имеет нулевую правую часть:

.

Из-за равенства нулю ротора вектора напряженности электрического поля такое поле называют безвихревым.

Применяя теорему Стокса к первому уравнению, можем записать:

Последнее соотношение определяет независимость интеграла между фиксированными точками от пути интегрирования.

Поэтому для анализа электростатического поля удобно ввести вспомогательную скалярную функцию, называемую электрическим потенциалом. Потенциал некоторой точки поля определяется как интеграл от этой точки до точки нулевого потенциала от скалярного произведения векторов E и dl:

Потенциал точки определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной, зависящей от выбора координат точки «p» – точки нулевого потенциала. Разность потенциалов между двумя точками не зависит от выбора точки нулевого потенциала и, конечно, от пути интегрирования.

.

При выбранном и фиксированном положении точки нулевого потенциала потенциал точки «а» зависит от координат этой точки, т.е. U_a = U (x,y,z).

Обозначим криволинейную переменную координату точки «а», лежащей на некотором расстоянии от начала координат через l_а = l, а фиксированную координату точки нулевого потенциала – через l _p (см. рисунок 2-1). Запишем выражение для потенциала точки с координатой l:

.

Дифференцируя полученное соотношение по переменному нижнему пределу, получим:

.

p

E



dl

l_a a

l_p

0

Рисунок 2–1

Скорость изменения потенциала вдоль некоторого направления равна проекции вектора напряженности электрического поля на это направление со знаком минус.

Так как потенциал точки «а» не зависит от пути интегрирования, то, проводя кривую «l» через точку «а» по разным направлениям, получим:

1. Проходя через точку «а» в направлении осей координат, запишем:

; ;

2. Проходя через точку «а» по линии l₁ перпендикулярно вектору напряженности электрического поля (₁ = 90⁰) и вдоль него по линии l₂ (₂ = 0) (см. рис. 2-2), получим:

l₁ E l₂

a

Рисунок 2-2

;

При перемещении перпендикулярно вектору напряженности потенциал не изменяется, т. е. остается постоянным. Поэтому поверхности, перпендикулярные силовым линиям, называются равнопотенциальными (эквипотенциальными). Это направление обозначают через «a»

Направление вдоль линии напряженности перпендикулярно поверхности равного потенциала. Часто это направление обозначают через «n», имея в виду нормаль к равнопотенциальной поверхности, тогда последнее соотношение можно записать иначе:

.

Производная ведет себя как вектор, имеет составляющие, определяемые направляющими косинусами, и называется градиентом потенциала.

 grad U = – .

Используя векторный оператор «набла», можем записать последнее выражение в декартовой системе координат:

– = grad U = = .

Представление напряженности через потенциал позволяет свести всю совокупность уравнений электростатики, записанных для векторов и , к одному дифференциальному уравнению, относительно потенциала. Разыскание скалярной функции – потенциала, является более легкой задачей , чем определение векторных характеристик поля. Поэтому нахождение потенциала является основной задачей электростатики. По найденному потенциалу U(x,y,z) легко определяется напряженность электрического поля.

Уравнения Пуассона и Лапласа.

Преобразуем уравнения электростатического поля, выразив векторные величины через потенциал:

; ; .

Последнее уравнение справедливо в общем случае для диэлектриков с изменяющимися в пространстве свойствами –  (x,y,z). Такие случаи встречаются достаточно редко, обычно диэлектрическая проницаемость постоянна во всей рассматриваемой области, либо в отдельных ее частях.

Т огда, вынося диэлектрическую проницаемость за знак дифференциального оператора, получим:

div grad U = –

Это уравнение называется уравнением Пуассона для скалярного электрического потенциала, записано в инвариантной форме и справедливо в любой точке поля. В декартовой системе координат, применяя оператор «набла», можем записать:

div grad U = =  ² U = = – = U.

В тех точках поля, где отсутствуют свободные заряды (  = 0), потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа:

div grad U =² U = U = 0.

Уравнения Пуассона и Лапласа являются самыми распространенными уравнениями математической физики. Они описывают различные потенциальные поля: электростатическое поле, электрическое поле постоянных токов, магнитное поле вне областей с токами, стационарные тепловые поля, течение идеальной жидкости и др.

Рассмотрим частные решения уравнения Пуассона для различных случаев распределения зарядов.

Определение потенциала по заданному распределению заряда.

Для уединенного точечного заряда из первой части курса ТОЭ нам известно выражение для потенциала: .

Для совокупности точечных зарядов, распределенных в ограниченной по размерам области пространства, решение для линейной среды получаем на основе принципа наложения, принимая потенциал равным нулю в бесконечности:

,

r_k - расстояние от соответствующего заряда до точки, в которой определяется потенциал.

Если задана система тел с зарядами, причем известно распределение зарядов в пространстве, то можно все распределенные заряды разбить на элементарные заряды dq , каждый из которых можно рассматривать как точечный. Составляющая потенциала от каждого элементарного точечного заряда равна:

.

Потенциал от совокупности элементарных зарядов получаем интегрированием:

.

Рассмотрим частные случаи распределения зарядов в пространстве.

1.Объемное распределение заряда: dq =  dV.

В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:

.

2. Распределение зарядов на поверхности проводников dq =  ds.

В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:

.

3. Линейное распределение зарядов вдоль тонких проводников dq =  dl.

В этом случае решение уравнения Пуассона имеет вид:

.

Во всех случаях следует помнить, что полученные выражения справедливы только в том случае, если система зарядов (рис.2–3) расположена в ограниченной области пространства. Они являются частными решениями уравнения Пуассона. Ввиду линейности этого уравнения его полное решение записывается как сумма частного решения и общего решения однородного решения, т. е. уравнения Лапласа:

Физически это означает, что поле в любой точке может быть создано не только зарядами внутри рассматриваемой области, но и зарядами вне ее, например, на границе области.

V  S

dV 

r ds

r

r

l dl



Рисунок 2–3

Способы задания граничных условий в электростатических задачах.

Полученные решения уравнений Пуассона для расчета потенциала, а затем и остальных характеристик поля практически малоприменимы, так как в реальных технических задачах поле создается зарядами, распределенными на поверхностях проводников. Однако неизвестно, как они распределены на этих поверхностях. Наиболее часто в качестве граничных условий задаются значения потенциалов на поверхностях проводящих электродов |(тел).

Случай, когда на границах заданы значения разыскиваемой величины (потенциала), называется заданием граничных условий первого рода или условий Дирихле. Чаще всего задается разность потенциалов между электродами, и возникает вопрос о выборе точки нулевого потенциала. Традиционно поступают следующим образом:

1. В системе тел ограниченных размеров принимают потенциал равным нулю в бесконечности.

2. В системе проводящих тел неограниченных размеров за нулевой потенциал принимается потенциал одного из проводников (земля), либо проводника, охватывающего все остальные проводники

Если заданы потенциалы не всех тел (или не все разности потенциалов), то для некоторых проводников должны быть заданы их полные заряды. Для определения неизвестных потенциалов тел следует использовать дополнительные условия, связывающие полные заряды с рассчитываемыми характеристиками поля – напряженностью и смещением:

.

При решении задачи расчета поля в кусочно-однородных диэлектриках получаем общее решение уравнения Пуассона в каждой области и сопрягаем их на границах областей с различными диэлектрическими проницаемостями, используя известные соотношения:

; ; U_k = U_k+1.

Из второго уравнения, после преобразования получим:

или .