5. Метод Крамера

А = А^т =

B = (1,1,1)

Определим оптимальную стратегию x = (x₁, x₂, x₃) игрока А и цену игры ν.

∆а = = 1·(-1)·(-4) + (-1)·1·2 - 1·2·2 = 4 - 2 - 4 = -2

Заменим 1-й столбец транспонированной матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆а₁ = = 1·(-1)(-4)+(-1)·1·2 - (-1)(-1)1 - 1·2·2 = 4 - 2 - 1 - 4 = -3

Заменим 2-й столбец транспонированной матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆а₂ = = 1·1·(-4) + (-1)·1·1 - 1·2·1 - 1·1·(-4) = -4 - 1 - 2 + 4 = -3

Заменим 3-й столбец транспонированной матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆a₃ = = 1·(-1)·1 + 1·1·2 - 1·1·2 = -1 + 2 - 2 = -1

Следовательно:

ν = = =

x₁ = = =

x₂ = = =

x₃ = = =

Определим оптимальную стратегию y = (y₁, y₂, y₃) игрока B.

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₁ = = 1·(-1)·(-4) + 1·2·1 - 1·2·2 - 1·1·(-4) = 4 + 2 - 4 + 4 = 6

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₂ = = 1·1·(-4) + 1·2·(-1) - 1·2·1 = -4 - 2 - 2 = -8

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₃ = = 1·(-1)·1+1·1·(-1) - 1·(-1)(-1) - 1·1·2 = -1 - 1 - 1 - 2 = -5

Следовательно:

y₁ = = =

y₂ = = =

y₃ = = =

Ответ: Оптимальная стратегия игрока А x = ( ), оптимальная стратегия игрока В = ( ), y цена игры -2.

2. Биматричные игры

C = a₁₁ – a₁₂ – a₂₁ + a₂₂

α = a₂₂ – a₁₂

D = b₁₁ – b₁₂ – b₂₁ + b₂₂

β = b₂₂ – b₂₁

C = 6 – 2 – 8 + 1 = -3

α = 1 – 2 = -1

D = 4 – 1 – 0 + 7 = 10

β = 7 – 0 = 7

(p–1)(-3q-1) ≥ 0

p(-3q+1) ≥ 0

(q-1)(10p-7) ≥ 0

q(10p-7) ≥ 0

получаем:

1) p = 1,q ≤

p = 0, q ≥

0 ≤ p ≤ 1, q =

2) q = 1,p ≥

q = 0, p ≤

0 ≤ q ≤ 1, p =

Игра имеет единственную ситуацию равновесия (P*,Q*), где оптимальными стратегиями являются: P* = ( ; ); Q* = ( ; ).

Рисунок 8 - График

Игрок 1 должен использовать стратегии 1 и 2 с частотами и , а игрок 2 – стратегии 1 и 2 с частотами и .

Цена игры для первого игрока:

H_a( ; ) =

Цена игры для второго игрока:

H_b( ; ) =

Ответ: P* = ( ; ); Q* = ( ; ). Выигрыш игроков в равновесной ситуации: f(P*,Q*) = ( ; ).

ВЫВОД

Был получен навык решения стратегических задач, а именно антагонистических матричных и биматричных игр. Определена нижняя и верхняя цена игры, найдено решение в смешанных стратегиях матричной игры. Проведено сокращение размерности игры и найдено ее решение в смешанных стратегиях графическим методом, так же данная игра была оптимизирована в виде задачи линейного программирования. Решение проверено с помощью MS Excel, результаты получились одинаковые, что свидетельствует о правильности расчетов каждого метода. Были изучены метод Брауна-Робинсона и метод Крамера, а также решена биматричная игра графическим методом. \