ГУАП

КАФЕДРА № 41

ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

старший преподаватель				Н.Н. Григорьева
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

ОТЧЕТ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №5

Теория игр

по курсу: Исследование операций

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛА

СТУДЕНТКА ГР. №	4716				С.А. Янышева
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Санкт-Петербург

2020

Оглавление

Теория игр 1

по курсу: Исследование операций 1

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 3

2. ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ 3

3. ХОД РАБОТЫ 4

ВЫВОД 14

1. Цель работы 3

2. ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ 3

3. ХОД РАБОТЫ 4

ВЫВОД 14

1. Цель работы

Целью данной работы является получение навыка решения стратегических задач.

2. Вариант задания

Вариант 1.

1. Антагонистические матричные игры

1. Определите нижнюю и верхнюю цены, проверьте, имеет ли игра решение в чистых стратегиях.

2. Найдите решение в смешанных стратегиях матричной игры 2×2 аналитически и с использованием понятия равновесия по Нэшу.

3. Проведите сокращение размерности игры до формата m×2 или 2×n и найдите ее решение в смешанных стратегиях графическим методом.

Представьте оптимизированную игру в виде задачи линейного программирования и проверьте правильность решения средствами MS Excel.

4. Решите матричную игру методом Брауна-Робинсон и методом Крамера.

2. Биматричные игры. Решите биматричную игру графическим методом

A = B =

3. Ход работы

   1. Антагонистические матричные игры

      1. Нижняя и верхняя цена игры

Считаем, что игрок 1 выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок 2 выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока 1.

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	10	6	7	6
A2	-9	-6	16	-9
A3	14	5	-3	-3
b = max(Bi)	14	6	16

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 6, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 6.

Седловая точка (1, 2) указывает решение на пару альтернатив (A1,B2). Цена игры равна 6.

2. Смешанная стратегия

Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока "A":

p₁ = =

p₂ = 1 – p₁ = 1 – =

Вычислим цену игры:

v = k₁₁p₁ + k₂₁p₂ = 4 * + 3 * =

Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока "B":

q₁ = =

q₂ = 1 – q₁ = 1 – =

Вычислим цену игры:

v = k₁₁q₁ + k₁₂q₂ = 4 * + 0 * =

3. Графический метод

Игроки	B1	B2	B3	B4	B5
A1	2	2.4	1.8	3	3.4
A2	3.2	2.6	2.8	2	1.8
A3	1.2	2.2	1.6	1	3.2

Стратегия A₁ доминирует над стратегией A₃, следовательно, исключаем 3-ую строку матрицы.

Игроки	B1	B2	B3	B4	B5
A1	2	2.4	1.8	3	3.4
A2	3.2	2.6	2.8	2	1.8

С позиции проигрышей игрока В стратегия B₃ доминирует над стратегией B₁, следовательно, исключаем 1-й столбец матрицы.

Игроки	B2	B3	B4	B5
A1	2.4	1.8	3	3.4
A2	2.6	2.8	2	1.8

Рисунок 1 – График

Оптимальной стратегии игрока A соответствует точка, лежащая на пересечении прямых B3 и B4, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 1.8 + (2.8 – 1.8)p₂

y = 3 + (2 – 3)p₂

1.8 + p₂ = 3 – p₂

2p₂ = 1.2

p₂ = 0.6

p₁ = 1 – p₂

p₁ = 0.4

p₂ = 0.6

Цена игры: y = 2.4

Найдём минимаксную стратегию игрока B:

8q₃+3q₄ = y

8q₃+2q₄ = y

q₃+q₄ = 1

8q₃+3q₄ = 2.4

8q₃+2q₄ = 2.4

q₃ = 0.5

q₄ = 0.5

Ответ:

Цена игры: y = 2.4, векторы стратегии игроков: Q(0, 0, 0.5, 0.5, 0), P(0.4, 0.6, 0)

Линейное программирование

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Игроки	B1	B2	B3	B4	B5	a = min(Ai)
A1	2	2.4	1.8	3	3.4	1.8
A2	3.2	2.6	2.8	2	1.8	1.8
A3	1.2	2.2	1.6	1	3.2	1
b = max(Bi)	3.2	2.6	2.8	3	3.4

a = max(a_i) = 1.8, b = min(b_j) = 2.6

Седловой точки нет, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 1.8 ≤ y ≤ 2.6. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы:

Стратегия A₁ доминирует над стратегией A₃, следовательно, исключаем 3-ую строку матрицы.

Игроки	B1	B2	B3	B4	B5
A1	2	2.4	1.8	3	3.4
A2	3.2	2.6	2.8	2	1.8

С позиции проигрышей игрока В стратегия B₃ доминирует над стратегией B₁, следовательно, исключаем 1-й столбец матрицы.

Игроки	B2	B3	B4	B5
A1	2.4	1.8	3	3.4
A2	2.6	2.8	2	1.8

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

1. 2.4x₁+2.6x₂ ≥ 1

1.8x₁+2.8x₂ ≥ 1

3x₁+2x₂ ≥ 1

3.4x₁+1.8x₂ ≥ 1

F(x) = x₁+x₂ → min

Решим данную систему графически, результат продемонстрирован на рисунке 2.

Рисунок 2 - График

Найдём минимум из двух получившихся решений:

F₁(x) = 0.1429+0.2857 = 0.4286

F₂(x) = 0.1667+0.25 = 0.4167

0.4167 ≤ 0.4286, следовательно, x₁ и x₂ равны:

x₁ = 0.1667

x₂ = 0.25

2. 2.4y₁+1.8y₂+3y₃+3.4y₄ ≤ 1

2.6y₁+2.8y₂+2y₃+1.8y₄ ≤ 1

Z(y) = y₁+y₂+y₃+y₄ → max

Решим данную систему с помощью excel, результат решения представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Результат решения.

Цена игры:

g = = = 2,3998

Оптимальная смешанная стратегия игрока 1:

p1 = 2.4*0.16667 = 0.4

p2 = 2.4*0.25 = 0.6

Оптимальная смешанная стратегия игрока 2:

q2 = 2.4*0 = 0

q3 = 2.4*0.20833 = 0.5

q4 = 2.4*0.20833 = 0.5

q5 = 2.4*0 = 0

Ответ:

Цена игры: y = 2.4, векторы стратегии игроков: Q(0, 0, 0.5, 0.5, 0), P(0.4, 0.6, 0)

Проверка в Excel:

Рисунок 4 – Параметры поиска решений

Рисунок 5 – Результат поиска решения

Рисунок 6 – Параметры поиска решений

Рисунок 7 – Результат поиска решения