ГУАП

КАФЕДРА № 41

ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

старший преподаватель				Н.Н. Григорьева
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

ОТЧЕТ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №5

Теория игр

по курсу: Исследование операций

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ ГР. №	4716
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Санкт-Петербург

2020

Оглавление

Теория игр 1

по курсу: Исследование операций 1

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 3

2. ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ 3

3. ХОД РАБОТЫ 4

3.1. Антагонистические матричные игры 4

3.1.1. Нижняя и верхняя цена игры 4

3.1.2. Смешанная стратегия 4

3.1.3. Графический метод 5

3.1.4. Метод Брауна-Робинсона 10

3.1.5. Метод Крамера 12

3.2. Биматричные игры 13

ВЫВОД 15

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 3

2. ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ 3

3. ХОД РАБОТЫ 4

ВЫВОД 14

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы является получение навыка решения стратегических задач.

2. ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ

Вариант 7.

1. Антагонистические матричные игры

1. Определите нижнюю и верхнюю цены, проверьте, имеет ли игра решение в чистых стратегиях.

2. Найдите решение в смешанных стратегиях матричной игры 2×2 аналитически и с использованием понятия равновесия по Нэшу.

3. Проведите сокращение размерности игры до формата m×2 или 2×n и найдите ее решение в смешанных стратегиях графическим методом.

Представьте оптимизированную игру в виде задачи линейного программирования и проверьте правильность решения средствами MS Excel.

4. Решите матричную игру методом Брауна-Робинсон и методом Крамера.

2. Биматричные игры. Решите биматричную игру графическим методом

A = B =

3. Ход работы

   1. Антагонистические матричные игры

      1. Нижняя и верхняя цена игры

Считаем, что игрок 1 выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок 2 выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока 1.

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	7	6	10	6
A2	16	-6	-9	-9
A3	-3	5	14	-3
b = max(Bi)	16	6	14

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 6, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 6.

Седловая точка (1, 2) указывает решение на пару альтернатив (A1,B2). Цена игры равна 6.

2. Смешанная стратегия

Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока "A":

p₁ = = 0,7333

p₂ = 1 – p₁ = 1 – 0,7333 = 0,2667

Вычислим цену игры:

v = k₁₁p₁ + k₂₁p₂ = 0,4 * 0,7333 + 1,3 * 0,2667 = 0,64

Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока "B":

q₁ = = 0,4

q₂ = 1 – q₁ = 1 – 0,4 = 0,6

Вычислим цену игры:

v = k₁₁q₁ + k₁₂q₂ = 0,4 * 0,4 + 0,8 * 0,6 = 0,64

3. Графический метод

Игроки	B1	B2	B3
A1	4	10	0
A2	6	7	5
A3	3	8	2
A4	9	4	9
A5	11	3	10

Стратегия B₃ доминирует над стратегией B₁, следовательно, исключаем 1-ый столбец матрицы.

Игроки	B2	B3
A1	10	0
A2	7	5
A3	8	2
A4	4	9
A5	3	10

Рисунок 1 – График

Оптимальной стратегии игрока В соответствует точка, лежащая на пересечении прямых А2 и А4, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 7 + (5 – 7)q₂

y = 4 + (9 – 4)q₂

7 – 2q₂ = 4 + 5q₂

7q₂ = 3

q₂ = 3/7

q₁ = 1 – q₂

q₁ = 4/7

q₂ = 3/7

Цена игры: y = 43/7

Найдём минимаксную стратегию игрока A:

7p₂+4q₄ = y

5p₂+9p₄ = y

p₂+p₄ = 1

7p₂+4q₄ = 43/7

5p₂+9p₄ = 43/7

p₂ = 5/7

p₄ = 2/7

Ответ:

Цена игры: y = 43/7, векторы стратегии игроков: Q(0, 5/7, 0, 2/7, 0), P(4/7, 3/7)

Линейное программирование

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	4	10	0	0
A2	6	7	5	5
A3	3	8	2	2
A4	9	4	9	4
A5	11	3	10	3
b = max(Bi)	11	10	10

a = max(a_i) = 5, b = min(b_j) = 10

Седловой точки нет, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 5≤ y ≤ 10. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы:

Стратегия B₃ доминирует над стратегией B₁, следовательно, исключаем 1-ый столбец матрицы.

Игроки	B2	B3
A1	10	0
A2	7	5
A3	8	2
A4	4	9
A5	3	10

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

1. 10x₁+7x₂+8x₃+4x₄+3x₅ ≥ 1

5x₂+2x₃+9x₄+10x₅ ≥ 1

F(x) = x₁+x₂+x₃+x₄+x₅ → min

Решим данную систему с помощью excel, результат продемонстрирован на рисунке 2.

Рисунок 2 - Результат решения

x₁ = 0

x₂ = 0,1163 или 5/43

x₃ = 0

x₄ = 0,0465 или 2/43

x₅ = 0

F(x) = 0,1628 или 7/43

2. 10y₁ ≤ 1

7y₁+5y₂ ≤ 1

8y₁+2y₂ ≤ 1

4y₁+9y₂ ≤ 1

3y₁+10y₂ ≤ 1

Z(y) = y₁+y₂ → max

Решим данную систему графически, результат продемонстрирован на рисунке 2.

Рисунок 3 – График

Найдём максимум из трёх получившихся решений:

Z₁(y) = 0.07692+0.07692 = 0.15384

Z₂(y) = 0.09302+0.06977 = 0.16279

Z₃(y) = 0.1+0.06 = 0.16

Цена игры:

g = = =

Оптимальная смешанная стратегия игрока 1:

p1 = *0 = 0

p2 = * =

p3 = *0 = 0

p4 = * =

p5 = *0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия игрока 2:

q2 = * =

q3 = * =

Ответ:

Цена игры: g = , векторы стратегии игроков: Q(0, , 0, , 0), P(0, , )

Проверка в Excel:

Рисунок 4 – Параметры поиска решений

Рисунок 5 – Результат поиска решения

Рисунок 6 – Параметры поиска решений

Рисунок 7 – Результат поиска решения