Дифференциальное уравнение теплопроводности
В декартовой системе координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2t |
2t |
2t |
|
|
t |
|
t |
|
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div gradt |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
|
x x |
|
y y |
|
z z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Субстациональная производная от функции для движущейся среды
D |
|
|
x |
|
y |
z |
|
||||||||
d |
|
|
|
x |
|
y |
z |
|
|||||||
Dt |
|
t |
|
W |
|
t |
W |
|
t |
|
W |
|
t |
||
d |
|
x x |
y y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
z z |
||||||||||
11
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Для постоянных свойств среды |
,cp, const |
||||
Dt |
a 2t |
qv |
|
a cp |
|
d |
cp |
||||
|
|
||||
Для твердого тела (неподвижной среды), W=0
t a 2t qvcp
При отсутствии внутренних источников тепла
|
t |
a 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2t 0 |
|||
Для стационарного случая |
||||
12
Запись Лапласиана В декартовых координатах
2t 2t 2t 2tx2 y2 z2
13
Запись Лапласиана
В цилиндрических координатах
2 |
1 |
t |
|
1 2t |
|
2t |
||||||
t |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r2 |
2 |
z2 |
|||||||
|
r |
r |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2t |
2t |
1 t |
|
|
1 2t |
|
2t |
|||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||
r2 |
r |
r2 |
2 |
z2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Запись Лапласиана
В сферических координатах
2t |
|
1 2( rt ) |
|
|||||||
r |
|
r2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2t |
|
||
r |
2 |
sin |
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
t |
|
||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
||||
r2 sin |
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2t |
2t |
2 t |
|
1 |
|
2t |
|
1 2t |
1 |
ctg |
t |
|||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r2 |
r |
r2 sin2 |
2 |
r2 |
2 |
r2 |
|
|||||||||
15
Условия однозначности
Условия однозначности - замыкающие соотношения, которые выделяют конкретную задачу из общего класса задач
1. |
Геометрические условия |
форма и размеры среды |
2. |
Физические условия |
свойства среды ,cp , |
3. |
Временные (начальные) |
значения температуры в |
|
t f x, y, z, 0 |
начальный момент времени |
|
|
|
4. |
Граничные условия |
|
16
Граничные условия
Граничные условия требуют сопряжения температурных полей и тепловых потоков на границах тела с окружающей средой:
I рода – задание на границе |
|
t f1 x, y, z, |
|||||
|
распределения температуры: |
||||||
|
в простейшем случае |
tw const |
|
|
|
||
II рода – задание на границе |
|
q |
t |
f2 x, y,z, |
|||
плотности теплового потока: |
|||||||
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
т.е. задание распределения градиента температуры на границе
III рода – задание условий теплообмена коэффициента теплообмена):
q t tw t fn
17
Граничные условия
Г.У. I рода |
Г.У. II рода |
Г.У. III рода |
18