Содержание отчета

Отчет по работе должен включать в себя следующее:

• изображения всех синтезированных сигналов;

• изображения всех промежуточных этапов синтеза последовательности прямоугольных импульсов;

• графики амплитудных и фазовых спектров перечисленных ранее сигналов, построенные в соответствии с выражениями, согласно которым осуществлялся синтез; следует ограничиться 12 гармониками;

• вывод одной из формул (2.3), (2.4) или (2.5), соответствующей сигналу, изображение структуры которого фиксировалось на каждом этапе синтеза; вывод делается согласно соотношению (1.1) из описания предыдущей лабораторной работы;

• вывод формулы (2.9), выполненный исходя из выражения (2.8) при условии, что1; указание конкретных значений начальных фази₀в формуле (2.8), которые при указанном условии трансформируют ее в соотношение (2.9).

Контрольные вопросы

1. Если сравнить спектральные представления периодических колебаний прямоугольной и треугольной форм (соотношения (2.3) и (2.5)), то амплитуды соответствующих гармоник в последнем случае убывают с ростом частоты существенно быстрей. Какую качественную трактовку можно дать этому факту?

2. Какую картину следует ожидать на экране осциллографа, если при синтезе АМК согласно выражению (2.7) было взято значение m1?

3. Является ли АМК с однотональной модуляцией периодическим сигналом?

4. Синтезированное в соответствии с формулой (2.9) колебание с однотональной УМ имеет также и некую амплитудную модуляцию. Почему? Как можно уменьшить ее глубину?

5. Чему равно отношение максимальной и минимальной мгновенных частот у синтезированного колебания с однотональной УМ?

6. Каким образом можно синтезировать сигнал вида:

7. Как нужно изменить значения амплитуд и начальных фаз гармоник, чтобы сдвинуть синтезированную последовательность прямоугольных импульсов на T/4 вправо?

8. Какой вид примет сигнал с однотональной АМ, если из него удалить несущее колебание?

9. Какое (какие) из синтезированных колебаний синтезированы с наибольшей точностью? Ответ обоснуйте.

10. После синтеза последовательности прямоугольных видеоимпульсов с отношением T/ = 2 выключена первая гармоника. Изобразить получившийся сигнал.

11. В лабораторной работе предусмотрен синтез пилообразного напряжения. Какие изменения нужно внести в соответствующее выражение, чтобы изменить направление наклона «пилы»?

12. После синтеза АМ-колебания уменьшена до уровня боковых гармоник амплитуда несущей гармоники. Изобразить получившийся сигнал.

3. Исследование функций распределения и плотностей вероятности значений случайных сигналов

Цель работы— исследование одномерных функций распределения вероятностей и плотностей вероятностей значений случайных сигналов.

3.1. Теоретические сведения

Случайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными.

Для стационарного сигнала усредненные характеристики не зависят от выбора начального отсчета времени. В данной работе рассматриваются стационарные сигналы.

Основной характеристикой случайных сигналов являются функции распределения вероятностей их значений. По функциям распределения могут быть определены все другие характеристики сигнала, в том числе его среднее значение, дисперсия, корреляционная функция, вероятность попадания в заданный интервал значений.

Одномерная функция распределения вероятностей F(U) случайного сигнала(t) есть вероятность того, что значение сигнала не превысит уровеньU:

F(U) = P(  U).

Основные свойства функции F(U):

1. 0 F(U)1, причемF(–) = 0,F() = 1;

2. при, т. е.F(U) — неубывающая функция;

3. — вероятность попадания случайного сигнала(t) в полузакрытый интервал.

Для функции распределения F(U), имеющей производную, вводят понятие плотности вероятностей

. (3.1)

Основные свойства функции p(U):

1. размерность p(U) равна обратной величине размерности случайного сигнала;

2. p(U)0;

3. функция распределения определяется выражением

; (3.2)

4. вероятность попадания случайной величины в интервал равна.

Для исследуемых в работе сигналов предполагается выполнение условия эргодичности. Из него следует, что средние параметры случайного процесса, определенные по множеству реализаций, с единичной вероятностью равны средним параметрам, определенным по одной реализации.

Для таких сигналов одномерная функция распределения F(U) равна отношению времени, в течение которого значения сигналов не превышают заданный уровеньU, ко всему времениTизмерения сигнала (3.2) (рис. 3.1, а):

.

Указанное свойство используется в измерительном приборе для измерения функции распределения. Структурная схема измерителя приведена на рис. 3.1, в. Опорное напряжениеUи случайный сигнал(t) подаются на два входа компаратора (сравнивающего устройства). Если(t) > U, напряжение на выходе компаратора равно нулю, а при(t)  Uоно равно(рис. 3.1, б).

Выход компаратора соединен с интегратором, выполненным в виде RC‑цепи. ПриfRC >> 1, гдеf— ширина спектра случайного сигнала, напряжение на выходе компаратора равно.

Рис. 3.1

Напряжение с выхода интегратора подается на вход «Y» осциллографа, а опорное напряжение на вход «Х». При медленном изменении опорного напряженияUна экране осциллографа появляется изображениеF(U) — функции распределения вероятностей значений исследуемого случайного сигнала (t).

Метод измерения плотности вероятности основан на формуле численного дифференцирования функции (3.1):

для малыхU.

Если Uмало и постоянно, тоp(U) пропорционально разностиF(U + U) – F(U), т. е. разности напряжений на выходах двух измерителей функции распределения сигналов(t) при опорных напряженияхU + UиUсоответственно на первом и втором измерителях (рис. 3.2).

Рис. 3.2

В работе исследуются функции распределения и плотности вероятности для следующих случайных сигналов.

Треугольный сигнал со случайной начальной фазой(рис. 3.3, а). Он имеет равномерное распределение вероятностей значений напряжения (рис. 3.3, б, в), описываемое следующими выражениями:

(3.3)

Рис. 3.3

Шум усилителя.Он имеет гауссовскую функцию распределения (рис. 3.4,а,б). Для него

, (3.4)

где — дисперсия,— среднее значение напряжения,— интеграл ошибок, значения которого табулированы.

Рис. 3.4

Напряжение (t) на выходе амплитудного детектора.На вход детектора подается сумма двух сигналов: узкополосного шумас гауссовским законом распределения вероятностей значенийи детерминированного гармонического сигналас постоянной амплитудой;(t) — огибающая суммы этих двух сигналов.

Напряжение (t) имеет функцию распределения, соответствующую обобщенному закону Рэлея (рис. 3.5,а,б):

(3.5)

где — дисперсия узкополосного шума,— амплитуда гармонического сигнала,— модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Она табулирована; кроме того,;приx  .

При обобщенное распределение Рэлея приближается к гауссовскому распределению (рис. 3.5, а,б).

Рис. 3.5

Гармонический сигнал с постоянной амплитудой и случайной фазой., гдеи— постоянные амплитуда и угловая частота,— случайная фаза, распределенная равномерно на интервале, т. е. плотность распределения фазыи функция распределения фазыимеют вид:

(3.6)

Найдем функцию распределения напряжения случайного сигнала (t). Это стационарный сигнал, поэтому можно положитьt = 0. Тогда. Из графика функции() (рис. 3.6, а) видно, что вероятность события(для) равна вероятности события, гдет. е..

Используя определение функции распределения и выражения (3.6), последнее равенство можно записать в виде

для .

Из рис. 3.6, авидно также, что

Плотность распределения вероятностей значений :

(3.7)

Графики функций иприведены на рис. 3.6,би 3.6,в.

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей функция распределения суммы независимых случайных величин с близкими значениями дисперсий стремится к гауссовскому закону распределения при увеличении числа слагаемых, независимо от вида функций распределения слагаемых.

Аналитическое выражение для функции распределения суммы сигналов удобно получать через характеристическую функцию.

Рис. 3.6

Характеристическая функция (x) сигнала(t) связана с плотностью распределения вероятностейp() преобразованием Фурье

;. (3.8)

Для суммы случайных величин характеристическая функция связана с совместной плотностью распределения вероятностей величин

.

Для независимых случайных величин

, (3.9)

а потому

, (3.10)

где — характеристическая функция сигнала.

Последовательное использование зависимостей (3.10), (3.9) и (3.8) позволяет получить плотность распределения вероятностей суммы независимых сигналов по известным плотностям распределения отдельных слагаемых.

Найдем распределение суммы двух независимых случайных сигналов с одинаковым равномерным распределением. Пусть , гдеи — независимые случайные сигналы с плотностями распределения вероятностей

Характеристические функции сигналов и одинаковы и равны

.

Согласно выражению (3.10) характеристическая функция суммы сигналов

.

Плотность распределения вероятностей суммы сигналов

Зависимости иp() приведены на рис. 3.7.

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Для сигнала в виде суммы гармонических колебаний с равными амплитудамии независимыми случайными фазами, распределенными в интервале, плотность распределения вероятностейp() была рассчитана на ЭВМ для числа слагаемыхN = 1, 2, 3, 4.

Графики зависимостей p() приведены на рис. 3.8. Видно, что с увеличением числа слагаемых плотность распределения их суммы стремится к гауссовскому распределению (ср. с рис. 3.4 при).