1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме

Если векторы заданы в координатной форме, то операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число можно заменить более простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по следующим правилам.

Правило 1. При сложении векторов их одноименные координаты складываются:

,,

(1.5.1)

Правило 2. Чтобы вычесть из векторавектор, нужно вычест координаты вектораиз соответствующих координат вектора, т.е.

или(1.5.2)

Правило 3.Чтобы умножить векторна число, нужно умножить на это число его координаты , т.е. если, то.

1.6. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов иназывается число ,(обозначаемое) равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

, (1.6.1)

где - угол между векторамии(рис.1.10).

Рис. 1.10

1.6.1. Свойства скалярного произведения:

1).

2). иперпендикулярны; (или, или)

3).

4). , где- число

5). , если

6).

Докажем свойство 6. Имеем

Замечание 1. Остальные свойства доказываются на основании определения.

Замечание 2. Свойства1, 3, 4, 6 дают право при скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия так же, как при умножении алгебраических многочленов.

Замечание 3. Скалярное умножение не распространяется на три и большее число векторов. Произведение, например, трех векторовне является числом, оно будет вектором, коллинеарным вектору, который получается умножением векторана число.

1.6.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Так как единичные векторы (орты) осейOx, Oy, Oz прямоугольной системы координат взаимноперпендикулярны, то по формуле (1.6.1) получим :

,,(1.6.2.1)

Далее, используя свойство скалярного произведения имеем:

(1.6.2.2)

Пусть, ,. Найдем произведение этих векторов (с учетом формул 1.6.2.1 и 1.6.2.2 ):

(1.6.2.3)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Из равенства (1.6.2.3) и равенства векторов получим:

(1.6.2.4)

,

т.е. квадрат длины вектора равен сумме его координат .

Из равенства (1.6.2.4) найдем длину вектора :

(1.6.2.5)

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

1.6.3. Угол между векторами

Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что

(1.6.3.1)

Если векторы изаданы координатамии, то формула (1.6.3.1) запишется в виде:

(1.6.3.2)

1.6.4. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов

Как известно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов иявляется равенство:

, (1.6.4.1)

где скалярный множитель >0, если векторыиимеют одинаковые направления и<0 в противном случае.

Пусть заданны два вектора в координатной форме: и.

В этом случае из равенства (1.6.4.1) следует, что

, (1.6.4.2)

откуда (1.6.4.3)

Следовательно, если ненулевые векторы иколлинеарны, то и их одноименные координаты пропорциональны.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов иявляется равенство:

(1.6.4.4)

или в координатной форме условие (1.6.4.4) имеет вид:

(1.6.4.5)

1.7. Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора на векторназывается новый вектор, обозначаемый символом

или(1.7.1)

и определяемый следующими тремя условиями:

1) Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторахи(после совмещения их начал), т.е.

, (1.7.2)

где - угол между векторамии(рис.1.11).

Рис.1.11

2). Вектор перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма (т.е. перпендикулярен обоим векторами).

3). Вектор направлен в ту сторону от этой плоскости, что кратчайший поворот от векторак векторувокруг вектора(после смещения начал всех трех векторов) кажется происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора. Векторы,,образуют правую тройку векторов.

Замечание. Правую тройку образуют, например, большой, указательный, и средний пальцы правой руки; при пользовании левой системой координат в определении векторного произведения вместо правой берут левую тройку,,.

Своим прообразом произведение двух векторов имеет в механике операцию отыскания момента силы относительно точки. Именно, если в некоторой точке А приложена сила , то моментэтой силы относительно определенной точки О есть вектор, который в принятом нами обозначении (1.7.1) должен быть записан в виде, где- вектор, идущий из точки О в точку А.