Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть функция непрерывна на замкнутом квадрируемом множестве D, функции , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутом квадрируемом множестве Q и задают взаимно однозначное отображение множества Q на множество D. Тогда имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле

,

где . Этот определитель называется якобианом отображения , .

В частности, при переходе к полярной системе координат на плоскости , якобиан вычисляется следующим образом: , поэтому .

Пример 19. Вычислим интеграл  = , где D - круг .

Поскольку границей области интегрирования является окружность

, то при вычислении данного интеграла удобно перейти к полярным координатам , . При этом отображении прообразом круга является прямоугольник (уравнение окружности в полярной системе координат имеет вид , ). Используя формулу замены переменных, получим:  =

= =

= = .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пусть непрерывная и неотрицательная функция, определенная на замкнутом квадрируемом множестве D.

О бъем цилиндрического тела

(криволинейного цилиндра), ограни-

ченного поверхностью ,

плоскостью и прямой цилиндри-

ческой поверхностью, вырезающей на

п лоскости множество D (рис.9),

в ычисляется по формуле:

V = .

Площадь S квадрируемой области Рис.9.

D на плоскости xOy выражается формулой

S = .

Площадь F гладкой поверхности

, , вычисляется

по формуле

F =

В последней формуле D - проекция данной

Поверхности на плоскость xOy (рис.10). Рис. 10.

Аналогичные формулы имеют место,

если гладкая поверхность задана уравнением , , (или уравнением , ):

F₁ = (или F₂ = ).

Пример 20. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью и плоскостями , , и .

Заметим, что уравнение задает цилиндрическую

z поверхность с образующими,

параллельными оси x, а плоскость

параллельна оси z

(рис. 11).

Область D ограничена прямыми

, и , она может

y быть задана неравенствами ,

.

x Рис. 11 Объем тела V = =

=

=20/3 (куб.ед.).

Пример 21. Найдем объем тела, ограниченного плоскостями , и цилиндром .

Т ело, объем которого требуется z

вычислить, изображено на рис. 12.

Объем тела вычисляется по формуле

V = . Этот интеграл

вычислен в примере 19, он равен 3,

п оэтому искомый объем равен

3 (куб.ед.). y

Пример 22. Найдем площадь x

фигуры D, ограниченной кривой Рис. 12

( ).

Заметим, что кривая симметрична относительно оси x (уравнение кривой не меняется при замене y на -y), расположена в правой полуплоскости (левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной). Кривая пересекает ось x в точках и .

Кроме того, она ограничена: из очевидного неравенства следует, что , а поскольку , то . Эскиз кривой дан на рис. 13.

Для вычисления площади фигуры D, ограниченной данной кривой,

в оспользуемся формулой S = .

Наличие в формуле кривой двучлена

подсказывает, что целесообразно

п ерейти к полярным координатам

, .

Полярное уравнение кривой: .

Из условия следует, что  меняется

от -/2 до /2, при каждом фиксированном Рис. 13

 переменная  изменяется от 0 до . Используя симметричность D, мы можем вычислить площадь фигуры, расположенной в первой четверти и удвоить ее. Таким образом,

S= = =

= (кв. ед.).

Пример 23. Вычислим площадь части параболоида , вырезанной цилиндром .

Очевидно, что указанная часть поверхности состоит из четырех равных между собой частей (в силу симметрии параболоида и цилиндра). Поэтому мы можем вычислять площадь одной четвертой части указанной поверхности (например, той, которая находится в первом октанте) и результат умножить на четыре. Таким образом, F= , где D - четверть круга , располо-женная в первой четверти. , следовательно, , , и F = .

Областью интегрирования является часть круга, а подынтегральная функция содержит в себе выражение , поэтому при вычислении интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область D в полярных координатах задается неравенствами , , следовательно,

F = =

= = (кв. ед.).

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть L - простая спрямляемая незамкнутая кривая, заданная параметрически: , , .

Напомним, что L называется простой незамкнутой кривой, если функции , непрерывны на и различным значениям параметра t из отрезка соответствуют различные точки на кривой L. Простая кривая называется спрямляемой, если она имеет конечную длину.

Пусть на кривой L заданы две функции и . Разобьем отрезок на n частей точками . При этом кривая L разбивается на n частей точками ; - координаты точки .

Введем обозначения: , , - длина дуги , . На каждой дуге выберем некоторую точку с координатами и составим интегральную сумму

.

Если существует конечный предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , то J называется криволинейным интегралом по координатам (криволинейным интегралом второго рода) и обозначается

.

Замечания. 1. Из определения криволинейного интеграла следует, что при изменении направления обхода кривой L изменяется и знак интеграла, т.е. .

2. Если кривая L замкнутая (т.е. точка A совпадает с точкой B ), то для L можно указать два направления обхода от A к B. Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой L называется положительным, а противоположное ему - отрицательным.

Интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении обозначают так: . Заметим, что в случае вычисления интеграла по замкнутому контуру в качестве начальной (и конечной) точки можно взять любую точку контура.

3. Криволинейные интегралы обладают свойствами линейности и аддитивности.