РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И. ГЕРЦЕНА

Функции нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им. А.И. Герцена

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена.

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним.

Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

Авторы-составители: кандидат ф.-м.н., доцент Т.Е. Звягинцева,

Старший преподаватель О.С. Корсакова,

кандидат ф.-м.н., ассистент К.Г. Межевич

Рецензент: зав.каф. матем. анализа РГПУ им. А.И. Герцена,

профессор В.Д. Будаев

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

2. Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1,2.

5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. С.-Пб, 1994.

6. Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1985.

7. Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Интегральное исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1986.

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1968. Т.1, 2.

Функции нескольких переменных

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть и каждой точке поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве D определена числовая функция нескольких переменных .

Множество D называется областью определения функции, точка - аргументом функции.

Будем далее рассматривать функцию двух переменных . Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функцию n переменных, где n>2.

Множество всех точек , для которых функция , заданная аналитически, имеет смысл, называется естественной областью определения этой функции.

Например, областью определения функции является открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается неравенством .

Графиком функции , где , называется множество . Оно задает некоторую поверхность в пространстве .

Например, графиком функции , , является параболоид.

Пример 1. Найдем область определения функции .

Функция определена в тех точках плоскости , где .

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

и .

Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных на параболе или выше нее, и лежащих в полуплоскости . Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй системе удовлетворяют координаты точек, лежащих в множестве, заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной функции является объединение найденных множеств, т.е. множество, которое выделено штриховкой на рис. 3.

y y y

x x x

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Линией уровня функции , называется множество точек , удовлетворяющих уравнению .

Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня) функции n переменных, если n>2.

Пример 2. Найдем линии уровня функции .

Отметим, что функция определена на всей плоскости .

Для построения линий уровня надо для любого найти множество точек плоскости, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению . Следовательно, если , то , а если , то .

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с-уровнем функции при c<0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0:

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0.

На рис. 4 изображены линии уровня для с=0, с=1 и с=2.

y

c=2

c=1

. c=0 x

Рис.4

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Множество (открытый круг радиуса с центром в точке ) называется -окрестностью точки . Через будем обозначать проколотую окрестность точки .

Точка называется предельной точкой множества , если пересечение любой -окрестности точки и множества D содержит хотя бы одну точку, отличную от , т.е. для .

Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D.

Пусть функция определена на множестве D и точка - предельная точка D.

Число А называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности точки А ( ) существует -окрестность точки такая, что для любой точки значение функции попадает в окрестность .

Таким образом,

: )

: ).

Пример 3. Докажем, что .

Заметим, что данная функция определена на всей плоскости за исключением точки (0,0).

Поскольку , то для любого существует (а именно ) такое, что для всех точек , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

Функция называется непрерывной в точке , если .

Функция называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке множества D.

Пример 4. 1) Функция непрерывна в точке (0,0), поскольку (см. пример 3).

2) Функция в точке (0,0) терпит разрыв, т.к.

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если существуют конечные пределы и , то они называются частными производными функции в точке по переменным x и y соответственно и обозначаются и (или: и ).

Для вычисления частной производной (или ) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменную y (или x) постоянной величиной.

Пример 5. Найдем частные производные функции .

Если считать y=const, то - степенная функция от x , поэтому .

Если x=const, то - показательная функция от y, и, следовательно, .

Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют числа А и В такие, что приращение функции f в точке представимо в виде

,

где при .

Главная часть полного приращения , линейная относительно и , т.е. , называется полным дифференциалом функции в точке и обозначается .

Таким образом, .

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т.е. , .

Функция называется дифференцируемой на множестве D, если она дифференцируема в каждой точке множества D.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке и - ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функции f, и, кроме того,

=А, =В.

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле

+ .

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные и функции f существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в , то функция f дифференцируема в точке .

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции в точке (1, 1/5).

, ,

, ;

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 3. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки , а функция определена в некоторой окрестности точки .

Если функция f дифференцируема в точке , а в точке существуют производные , то в точке существует производная сложной функции , причем

, .

Пример 7. Найдем частные производные сложной функции , где , .

,

.

Пример 8. Найдем производную сложной функции , где , . В этом примере функции x и y зависят от одной переменной t, поэтому сложная функция - функция одной переменной.

.

Пример 9. Пусть f(u) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция удовлетворяет уравнению . Положим .

Тогда .

.

Следовательно,

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция в окрестности точки имеет частную производную .

Частная производная функции по переменной x называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается или .

Частная производная по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается или .

Аналогично определяются частные производные второго порядка и ( и ) как частные производные функции .

Производные и называются смешанными частными производными.

Теорема 4. Пусть функция определена вместе со своими частными производными , , , в некоторой окрестности точки , причем смешанные производные и непрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е. = .

Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка: и т.д.

Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m-1 называется частной производной порядка m.

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки , причем смешанные производные , и непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны: = = .

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (т.е. существуют непрерывные частные производные функции f до второго порядка включительно в окрестности точки ), тогда

.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , где , .

, .

=

= ,

=

= ,

аналогично вычисляем

.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Пусть l - единичный вектор в с координатами .

Производной функции по направлению вектора l в точке называется .

Производная по направлению обозначается .

Градиентом функции f в точке называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке:

grad f = ( , ) = i + j.

Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному произведению вектора градиента и вектора l:

= + = ,

где  - угол между векторами grad f и l.

Из последней формулы следует, что производная по направлению вектора grad f имеет наибольшее значение среди производных по различным направлениям и равна модулю вектора градиента.

Пример 11. Найдем производную функции в точке М (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3).

Вектор MN имеет координаты (4, 3), . Значит, единичный вектор l имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные производные в точке М: , . Тогда (1,0)=6 4/5 + 0 3/5 = 24/5.

Пример 12. Найдем производную функции в точке (2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.

Вычислим частные производные:

, .

Производная в направлении вектора градиента в точке равна модулю вектора grad f. Следовательно,

.

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Для дифференцируемой в точке функции верно следующее соотношение:

,

где , (это следует из определения дифференциала первого порядка). Коэффициенты А и В однозначно определяются: =А, =В.

Уравнение

является уравнением плоскости, проходящей через точку . Эта плоскость называется касательной плоскостью к графику функции в точке .

Таким образом, касательной плоскостью к графику функции в точке является такая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функции в этой точке есть величина, бесконечно малая по сравнению с  при   0.

Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид

.

Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

,

а уравнение нормали в этой точке:

.

Пример 13. Напишем уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (-2, 1, 4).

, . Уравнение касательной плоскости имеет вид: или .

Уравнение нормали: .

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , , если существует окрестность точки , для всех точек которой выполнено неравенство

( ).

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума.

Например, точка (0,0) является точкой минимума функции .

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке локальный экстремум и в этой точке существуют частные производные f, то

=0 и =0.

Точка называется стационарной точкой функции f, если =0 и =0.

Теорема 6 (достаточное условие экстремума). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки .

Обозначим = - ( )². Тогда

1) если >0, то в точке функция f имеет локальный экстремум: максимум при > 0 и минимум при < 0;

2) если <0, то в точке функция f не имеет экстремума;

3) если =0, то в точке функция f может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются дополнительные исследования).

Пример 14. Исследуем на экстремум функцию

.

Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей плоскости. , . Приравнивая частные производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

= = .

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (1, 2) функция имеет минимум, u(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4 ) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (-1, -2) функция имеет максимум, u(-1, -2) = 31.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве D.

Напомним, что множество называется ограниченным, если существует такая окрестность U (0,0), что U (0,0); множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

По теореме Вейерштрасса существуют такие точки и , что является наибольшим значением функции на множестве D , а - наименьшим ее значением на множестве D.

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках D.

Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на множестве D, ограниченном прямыми , , .

y (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные

точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),

(-1,-2) не принадлежат D.

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Изучим поведение функции u на

x границе множества D.

1. , . На этом участке границы

Рис. 5 . Это функция одной переменной,

которая принимает наименьшее значение в точке , а наибольшее значение в точке : u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2) , . На этом отрезке . Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее значения в стационарных точках и на концах отрезка: ; , но , поэтому вычисляем u (0,0) = 3, u (0, )= = , u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а наименьшим - в точке (0, );

3) , . Здесь

.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: ; ; u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в точке (4,0).

Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений функции на различных участках границы и из значений функции в стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.