Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике
.pdf29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное диф
ференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления
(таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного
интеграла.
Например, так как
d(sin и)= cosu · du,
то |
Jcos иdu = Jd(sin и) = sin и + С. |
|
Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных
методов интегрирования.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются таб.ли'Чнымu. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных
функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения
первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Сле
довательно, необходимо знать табличные интегра.,-~ы и уметь их узна
вать.
Отметим, что в таблице основных интегралов переменная инте грирования и может обозначать как независимую переменную, так и
функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантно сти формулы интегрирования).
В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтеграль
ному выражению в левой части формулы.
Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция l опре
и
делена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.
Если и > О, то ln lиl = |
ln и, |
тогда dln lиl = |
dln и= |
du. Поэтому |
||
Jd: = ln и+ С = ln lиl +С при и > О. |
|
|
|
и |
||
|
|
|
|
|||
Если и< О, то lnjuj = ln(-u). Но dln(-u) |
|
|
du. Значит, |
|||
J~и= ln(-u) +С= ln lиl +С при и< О. |
|
|
-и |
и |
||
|
|
|
|
|||
Итак, формула 2 верна. |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, проверим формулу 15: |
|
|
|
|
||
d(-a1 arctg~a+c) |
1 |
1 |
.!du- |
du |
|
|
|
а 1 + (~)2 а |
- |
а2 + и2 · |
230
Таблица основных интегралов
а+1 |
|
1. 1и°' du = ~ + 1 |
+С (а -f; -1) |
2. J~ = ln lиl +С;
з.Jаиdи= аи +С· lna '
4. / еиdu = еи +С;
5./ sinudu = -cosu +С
6.Jcos иdu = sin и + С
7. |
/ |
tgudu = - |
ln 1cosul +С; |
||||||
8. |
/ |
ctg иdu = ln 1sin иl + С; |
|
||||||
9. |
/ |
du |
|
= tg и + С |
|
|
|
||
|
|
cos2 и |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
J~ = -ctgu+C |
|
|
||||||
|
|
sш и |
|
|
|
|
|
|
|
11. Js~шии |
= ln jtg 2 |
+С·, |
|
|
|||||
|
Jcosu |
|
|
Y.j |
|
|
|
|
|
12. |
|
= ln |
2 |
|
zr.)4 |
|
+С·, |
||
|
|
__dy,_ |
|
|
ltg(Y. + |
|
1 |
|
(/ shudu = chu +с);
(/ chudu = shu +с);
(/ |
dи |
и |
= th и + с); |
|
сh2 |
|
|
(/ |
du |
|
= - cth и + с); |
sh2 u |
|
13. / |
du |
= arcsin У.+ С; |
|
Ja2 _ u2 |
а |
14. / |
|
du |
|
а2 |
= ln !и+ ../и2 |
+ а21 +С; |
|||
|
|
Ju2 |
+ |
|
|
|
|||
15. |
/ |
|
du |
|
|
= 1 arctg У. + С; |
|||
|
|
а2 + и2 |
|
а |
а |
|
|||
16. |
J |
2 du |
u |
2 |
= ...1. . ln 1 а + и1 + С; |
||||
|
|
а |
- |
|
|
2а |
а - и |
|
|
17. |
/ ../а2 - |
|
u2 du = ~ ·J а2 - |
u2 + ~ arcsin ~ + С; |
|||||
18. |
J Ju2 ± а2du = ~ · Ju2 ± а2 ± 2 ln jи+ Ju2 ± a2j +С. |
231
§30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
30.1.Метод непосредственного интегрирования
~Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-
ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы
ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит ся к одному или нескольким табличным интегралам, называется не
посредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используют
ся следующие преобразования дифференциала (операция «подведения
под знак дифференциала»):
du = d(u +а), а - число,
1 |
число, |
dи = -d(аи), а =i- О - |
|
а |
|
1
и· dи = "2d(и2),
соsиdи = d(sinи), sin и du = -d(cosи),
-1 du = d(ln и),
и
1
-2-dи = d(tgu). cos и
Вообще, f1(u) du = d(f(и)), эта формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
Пример'Ы:
1) / |
dx |
|
= |
Jd(x + 3) |
= ln !х + 3/ +С (формула 2 таблицы инте- |
|||||||||||||
х + 3 |
|
х |
+ |
3 |
||||||||||||||
гралов); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) J(3х - |
1)24 dx |
= |
~J(Зх - |
1)24 d(3x - |
1) |
|
|
1 |
(3х - 1) |
25 |
||||||||
|
|
3 |
25 |
+с |
||||||||||||||
(формула 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) / |
ctg |
|
х dx = J |
1 - |
sin |
2 |
|
1 |
- |
1) |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SШ |
Х |
|
SШ Х |
|
|
|
SШ |
Х |
|||
-Jdx = -ctgx -х +С (формулы 10 и 1); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4)/ |
|
dx |
|
|
_J_J |
|
|
d(v'з·x) |
= |
- |
|
· arcsш-- +С |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. v'з·х |
|
|
v14- 3х2 |
- vГз |
|
J(2)2 _ (vГз. х)2 |
|
vГз |
|
2 |
|
(формула 13);
232
|
5) |
J sin2 |
6хdx |
= ~J (1 - |
cos 12х)dx |
= ~J dx - |
|
~J cos 12хdx |
= |
|||||||||||||||||||||
= |
1 |
11 |
cos 12х d(12x) · |
1 |
1 |
х - |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2х - |
2 |
|
|
12 |
= 2 |
24 sш12х +С (формулы 1 и 6); |
||||||||||||||||||||||||
|
6) |
J |
|
|
|
|
dx |
|
|
_ |
_ !J(x-1)-(x+2)dx _ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(х - |
|
l)(x + 2) |
- |
|
3 |
|
(х - |
|
l)(x + 2) |
|
- |
|
|
|
|
||||||||||||
= - !J |
|
|
х-1 |
|
dx+!j |
|
х+2 |
|
|
dx= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
(x-l)(x+2) |
|
|
3 |
(x-l)(x+2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 J |
d(x + 2) |
|
1 J |
d(x - |
1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= -3 |
|
х |
+ 2 |
|
+ |
3 |
|
х |
_ 1 = |
-3 ln lx + 21 + |
З ln lx - 11 +С; |
|
||||||||||||||||||
|
7) ! tgudu = ! |
sin udu |
= - |
J d(cosu) |
= -lnlcosul +С (вывод |
|||||||||||||||||||||||||
|
cosu |
|
|
|
|
cosu |
|
|||||||||||||||||||||||
формулы 7); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
du |
|
= J |
cos2 1!. + |
sin2 1!. |
|
|
|
|
|
|
cos2 1!. |
|
|
du + |
|
|
|
|||||||||
|
8) j -- |
|
|
2 |
|
|
2 du = j |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
sin и |
|
|
|
|
2 sin ~ cos ~ |
|
|
|
|
|
2 sin ~ cos ~ |
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
|
sin2 |
~ |
|
|
|
|
_ |
j |
|
и |
(и) |
+ |
J и (и) _ |
|
J · |
и1 |
- |
|
|||||||||||
/ 2 sin 1!. cos 1!. du - |
|
ctg 2 d 2 |
|
|
tg |
2 d 2 |
- |
ln sш |
2 |
|
||||||||||||||||||||
- |
|
и21 |
|
|
|
2 |
= ln |
1sin1!.1 |
+С = ln |
J |
tg |
иJ |
+С (вывод |
|
|
|
||||||||||||||
ln 1cos "2 |
|
+С |
|
cos; |
|
|
2" |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
формулы 11); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
9) |
Jх(х + 2) 9 dx = J (х + 2 - |
2)(х + 2) 9 dx = J(х + 2) 10 dx - |
|
||||||||||||||||||||||||||
- |
2 J (х + 2) 9 dx = j (х + 2) 10 d(x + 2) - |
2 j (х + 2) 9 d(x + 2) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
(х + 2) 11 |
|
|
(х + 2) 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11 |
|
|
- |
2 |
|
10 |
|
+С (формула 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
10) / |
|
|
|
|
dx |
2 |
= - |
j |
(ctgx)- 5 d(ctgx) = - |
ctg-4 x |
+с= |
|
|||||||||||||||||
|
|
ctg |
5 |
|
|
. |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
Х • SШ |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 ctg4 х +С (формула 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ll) |
j |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
_ |
j |
|
|
dx |
|
|
|
|
_ J |
|
|
|
d(x - 1) |
= |
|||||
|
|
|
|
J3-2x+x2 |
- |
|
|
J2+(x-1) 2 - |
|
j(-/2)2+(x-1)2 |
|
|||||||||||||||||||
= lnjx -1 + J3 - 2х + x2 J |
+С (формула 14); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
12) j |
(4х3 |
- |
|
- |
- |
+ 31-х) dx = 4/ х3 dx - |
~ J |
|
d( x) |
- |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos2 2х |
|
|
|||||
|
/ 31-х d(l - |
х) = х4 |
5 |
|
|
|
31-х |
+С (формулы 1, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
- |
- "2 tg2x - |
|
lnЗ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9, |
3); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
233
13) Jх3 • \11+x2 dx= j(1+x2 )!·x·(x2 +1-1)dx= ~J(1 + x2 )i d(1 + х2) - ~ j(l + х2)!d(1 + х2)
3 |
27 |
3 |
24 |
= 14(1+х )з- 8 |
(1+х )з+с. |
Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изо бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой по
дынтегральной функции».
Соответствующие навыки приобретаются в результате значитель
ного числа упражнений.
30.2.Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении но
вой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом задан
ный интеграл приводится к новому интегралу, который является та
бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).
Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно
определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл JJ(x) dx. Сделаем подста
новку х = ip(t), где r.p(t) - функция, имеющая непрерывную производ
ную.
Тогда dx = ip'(t) dt и на основании свойства инвариантности фор
мулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования nодстановкоii
I/ f(x) dx = Jf(ip(t)) · r.p'(t) dt., |
(30.1) |
Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в не
определенном интеграле. После нахождения интеграла правой части
этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = ip(x), то-
гда Jf(r.p(x)) · rp'(x) dx = Jf(t) dt, где t = r.p(x). Другими словами,
формулу (30.1) можно применять справа налево.
Пример 30.1. Найти Jeci dx.
Q Решение: Положим х = 4t, тогда dx = 4 dt. Следовательно, |
|
Jе{ dx = 4 Jet dt = 4et + С = 4е{ + С. |
8 |
234
Пример 30.2. Найти j х · ./х - 3dx.
Q Решение: Пусть ./х - |
3 = t, тогда х = t 2 + 3, dx |
= 2t dt. Поэтому |
|
||||||||
j х · vх - 3 dx = j (t2 + 3) · t · 2t dt = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t5 |
t3 |
+С= |
|
= 2 !(t4 + 3t2) dt = 2 !t4 dt + 6 ! t2dt = 2 · 5 |
+ 6 · 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= ~(х - 3)512 + 2(х - 3) 312 +С. 8 |
||||||
Пример 30.3. |
Получить формулу |
|
|
|
|
|
|||||
! |
du |
|
= Iniu + Ju2 + а21 +С. |
|
|
||||||
./u2 |
+ а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О Обозначим t = ./и2 + а2 |
+и (подстановка Эйлера). Тогда |
|
|||||||||
2и |
du+du, |
т.е. |
|
./и2 + а2 +и |
du. |
|
|||||
dt= |
+ а2 |
dt= |
yu2 + а2 |
|
|||||||
2уи2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
du |
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Стало быть, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
= j |
dt = ln ltl + С = ln \и+ |
Jи2 + a2I+ С. |
• |
|||||||
! ./u2 + а2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 30.4. |
Найти j х · (х + 2) 100 dx. |
|
|
|
|
||||||
Q Решение: Пусть х + 2 = t. Тогда х = t - |
2, dx = dt. Имеем: |
|
|||||||||
j х · (х + 2) 100 dx = j (t - |
|
2) · t 100 dt = j |
t 101 dt - |
2 j t 100 dt = |
|
||||||
tlo2 |
|
tlOl |
|
(х + 2)102 |
2(х + 2)101 |
• |
|||||
= 102 - |
2 . 101 + с = |
102 |
- |
101 |
+ с. |
||||||
Пример 30. 5. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
Найти ! -- . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
еХ + |
1 |
|
|
|
|
|
|
Q Решение: Обозначим ех = t. |
Тогда х = ln t, dx = ~t. Следовательно, |
|||||||||||||
dx |
|
!!l. |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Jех+ 1 = Jt ~1 = Jt(t + 1) = Jt2 + t = |
|
|
|
|
||||||||||
-! |
dt |
- |
- |
! |
1 |
d(t + ~) |
1 |
- |
1 |
l |
1~+t+~1 |
с - |
||
- |
1 |
1 - |
|
|
|
- |
---1 |
n |
1 |
1 + |
- |
|||
(t+2)2-4 |
|
|
(2)2-(t+2)2 |
|
2·2 |
|
2 - t - 2 |
|
235
|
= - ln |
t+11 |
1 t |
1 |
ех |
|
|
1-- |
= ln -- |
= ln -- +С. |
|
||
|
|
-t |
f + 1 |
|
еХ + 1 |
8 |
Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов. |
||||||
30.3. Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|||
Пусть и = и(х) и v |
= v(x) - |
функции, имеющие непрерьшные |
||||
производные. Тогда d(uv) |
=и· dv + v · du. Интегрируя это равенство, |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
,.....j_d_(_u_v_)_=_j_u_d_v_+_j_v_d_u |
и_л_и |
j_u_d_v_=_u_v___j_v_d_u---,., |
|
~Полученная формула называется фор.му.л.оfi. интегрирования по част.ям. Она дает возможность свести вычисление интегра-
ла j иdv к вычислению интеграла j v du, который может оказаться
существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в
виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, мож
но осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту фор
мулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять
методом интегрирования по частям.
JP(x)ekx dx, JР(х)·sinkx dx, j Р(х) coskxdx,
где Р(х) - многочлен, k - число. Удобно положить и= Р(х), а за dv
обозначить все остальные сомножители.
2. Интегралы вида jP(x)arcsinxdx, jP(x)arccosxdx,
j P(x)lnxdx, j P(x)arctgxdx, j P(x)arcctgxdx. Удобно положить
Р(х) dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители.
3. Интегралы вида j еах · sin Ьхdx, j еах · cos Ьх dx, где а и Ь -
числа. За и можно принять функцию и = еах.
Пример 30.6. Найти j(2x + 1)е3х dx.
Q Решение: Пусть [ ud =_2xз~dl :: |
dи_=j2d~d |
_ |
1 зх ] (можно |
|
v - е х ~ |
v - |
е |
х - |
3е |
положить С= О). Следовательно, по формуле интегрирования по ча
стям:
/ |
(2x+l)e3x dx = (2х+1)·..!.езх_j ..!.e3x2dx = ..!_(2x+l)e3x-~e3x+c. 8 |
|||
|
3 |
3 |
3 |
9 |
236
При.мер 30.7. Найти jinxdx.
Q Решение: Пусть |
[ |
и = ln х |
===} |
du = 1 dx ] |
. Поэтому |
|
||
dv = dx |
|
|
|
х |
|
|||
|
|
===} |
v = х |
|
|
|||
j ln хdx = х· ln х - j х· ~dx = х· ln х- х+ С. |
8 |
|||||||
Пример 30.8. |
|
Найти j |
х2ех dx. |
|
|
|
||
Q Решение: Пусть |
[ |
dи= х2х d |
===} |
du = х2xdx ] • Поэтому |
|
|||
|
|
v=e |
х |
===} |
v=e |
|
|
|
|
j |
х2ех dx = х2ех - |
2 j ех · xdx. |
(30.2) |
||||
Для вычисления интеграла j |
еххdx снова применим метод интегриро |
|||||||
вания по частям: и = х, dv = ех dx |
===} |
du = dx, v = ех. Значит, |
|
|||||
j ех · хdx = х · ех - |
j |
ех dx = х · ех - |
ех + С. |
(30.3) |
||||
Поэтому (см. (30.2)) |
|
j х2ех dx = х2ех - |
2(х · ех - |
ех +С). |
8 |
|||
Пример 30.9. |
|
Найти j |
arctgxdx. |
|
|
и = arctg х
Q Решение: Пусть [
dv = dx
===} |
du = ~ dx ] |
. Поэтому |
|
|
1 |
+ х |
|
===} |
v = х |
|
|
|
х |
1 j |
d(1 + х2) |
|
! arctg х dx = х · arctg х - ! 1 + х2 dx = х · arctg х - |
2 |
1 + х2 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
= xarctgx - 2in(l + х2) +С. |
8 |
||
§ 31. |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ |
|
|
|
31.1. |
ФУНКЦИЙ |
|
|
|
Понятия о рациональных функциях |
|
|
|
|
Многочлен (некоторые св~ения справочного характера) |
|
|||
Функция вида |
|
|
|
|
|
Pn(x) = aoxn + a1xn-l + ···+ an-lX + an, |
(31.1) |
~ где п - натуральное число, ai (i =О, 1, ... , п) - постоянные коэф
фициенты, называется многоч.л.еном (или целоit рацuонал.ьноi& функциеi&). Число n называется степенью многочлена.
237
~Корнем много-чд,ен.а (31.1) называется такое значение х0 (во
обще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен
обращается в нуль, т. е. Рп(хо) =О.
Теорема 31.1. Если х1 есть корень многочлена Рп(х), то многочлен
делится без остатка на х - х1 , т. е.
Рп(х) = (х - х1) · Pn-1(x), |
(31.2) |
где Pn-1 (х) - многочлен степени (п - 1).
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положи
тельный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен п-й степени (п >О) имеет по крайней мере один корень, действительный
или комплексный.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разло
жении многочлена на линейные множители.
Теорема 31.3. Всякий многочлен Рп(х) можно представить в виде
Рп(х) = ао(х - х1)(х - х2) ... (х - Xn), |
(31.3) |
где х1, х2, ... , Xn - корни многочлена, а0 - коэффициент многочле
на при xn.
Q Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо
значим его через х1 • Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как
Pn-1(x) - также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через х2. Тогда Pn-1 (х) = (х-х2) ·Pn-2(x), где Pn-2(x) - многочлен (n-2)-й степени. Следовательно, Pn(x) = (х - х1)(х - x 2)Pn- 2 (x).
Продолжая этот процесс, получим в итоге:
Pn(x) = ао(х - х1)(х - х2) |
... (х - Xn)· |
• |
|
~Множители (х - Xi) в равенстве (31.3) называются д,uн.еi&н.ЪtМu
мн.о;нсиmел..ями.
Пример 31.1. Разложить многочлен Р3(х) = х3 - 2х2 - х + 2 на
множители.
238
Q Решение: Многочлен Р3( х) = х3 - 2х2 - х +2 обращается в нуль при
х = -1, х = 1, х = 2. Следовательно,
х3 - |
2х2 - х + 2 = (х + 1)(х - |
l)(x - |
2). |
• |
|
|
|||||
Пример 31.2. |
Представить выражение х3 - |
х2 + 4х - 4 в виде |
|||
произведения линейных множителей. |
|
|
|
||
Q Решение: Легко проверить, что |
|
|
• |
||
х3 - |
х2 + 4х - 4 = (х - 1)(х - |
2i)(x + 2i). |
|||
|
Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретил ся k раз, то он называется корнем кратности k. В случае k = 1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется просm'Ьtм.
Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде
(31.4)
если корень х1 имеет кратность ki, корень Х2 - кратность k2 и так
далее. При этом k1 + k2 + ···+ kт = п, а r - число различных корней. Например, разложение
Рв(х) = (х - 3)(х + l)(x - 4)(х - 3)(х - 3)х(х - 4)(х - 3)
можно записать так:
Рв(х) = (х - 3)4 ·(х+1) · (х - 4)2 • х.
Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утвержде-
ния.
Теорема 31.4. Если многочлен Рп(х) = aoxn + a1xn-l + ···+ an
тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф фициентам другого.
Например, если ах3 + Ьх2 + сх + d =х3 - 3х2 + 1, то а = 1, Ь = -3,
с= о, d = 1.
239