Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике
.pdfт. е. |
· |
а |
= |
· |
а' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11m |
-(3 |
11m |
(У· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x-txo |
|
|
x-txo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
Очевидно также, что |
· |
а |
= |
· |
а' |
= |
· |
а |
|||||
|
11m |
-(3 |
11m |
-(3 |
11m |
(У. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x-txo |
|
|
x-txo |
|
|
x-txo |
|
Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функ
ций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из
них.
Q Пусть а"" (3 |
при х -t хо. Тогда |
|
||
lim а - (3 |
= lim (1 - |
~) = 1 - |
lim ~ = 1 - 1 = О, |
|
x-txo |
а |
x-txo |
а |
x-txo а |
аналогично lim |
а -(3 |
/3 =О. |
|
• |
|
|
x-txo
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. а и
(3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем а или (3, то а и (3 -
эквивалентные бесконечно малые. |
О, то |
|
/}_) = О, т. е. |
||
Действительно, так как |
lim |
o...:::...J}_ = |
lim (1 - |
||
|
x-txo |
а |
|
x-txo |
а |
1 - |
lim |
/}_ |
= О. Отсюда lim /}_ = 1, т. е. а "' (3. Аналогично, если |
|
X-tXo |
а |
X-tXo а |
lim |
а -(3 |
/3 |
= О, то а "" (3. |
x-txo
Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций
разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Q Докажем теорему для двух функций. Пусть а -t О, (3 -t |
О при |
|||
х -t х0, причем а - |
б.м.ф. высшего порядка, чем (3, т. е. lim |
_(За =О. |
||
|
|
х-+хо |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
lim а +(3 (3 |
= lim |
(~(3 + 1) = lim _(За + 1 = О+ 1 = 1. |
|
|
х-+хо |
х-+хо |
х-+хо |
• |
|
Следовательно, а + (3 "" (3 при х -t х0. |
||||
|
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется
главноii. 'Частью этоii. сумм'Ы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрас'Ывани ем бесконе'Чно малых в'Ысшего порядка.
Пример 18.5. Найти предел lim Зх.+ 7х2 .
x-tO sш2х
150
Q Решение: lim Зх.+ 7х |
2 |
= lim --%f_ = |
lim Зх = 2'поскольку |
|
|
|
|
3 |
|
х-+О sш 2х |
|
х-+О sш 2х |
х-+О 2х |
• |
Зх ± 7х2 ,..., Зх и sin 2х,..., |
2х при х -t О. |
|
||
|
|
18.3.Применение эквивалентных бесконечно малых
функций
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида 8часто бывают полез
ным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и
другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как из
вестно, sin х ,...., х при х -t О, tg х ,...., х при х -t О. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.
При.мер 18. б. Покажем, что 1 - cos х ,...., |
х22 |
при х -t О. |
|
||||||||||||
Q Решение: |
. |
1-cosx |
= lim |
2sin2 ;Jt |
= |
lim |
sin ;Jt |
sin ;Jt |
|
||||||
11m |
|
2 |
|
2 |
2 |
-- · --= 1·1=1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
х-+0 |
L |
|
х-+0 |
|
L |
|
|
х-+0 |
х |
х |
• |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
(~-+О) |
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 18. 7. |
Найдем lim arcsinx. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
х-+0 |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q Решение: Обозначим arcsin х = t. Тогда х = sin t и t |
-t О при х -t О. |
||||||||||||||
Поэтому |
|
. |
arcsin х _ |
. |
t |
|
_ |
. |
1 |
_ 1 _ |
1. |
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1lШ |
Х |
- |
1lШ -- - |
1lffi - . - - |
- - |
|
|||||||
|
|
X-t0 |
|
t-+0 Sill t |
|
t-+0 |
SIП t |
|
1 |
|
• |
||||
Следовательно, arcsin х ,..., х при х -t О. |
t |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 18. 8. |
Покажем, что /1+Х - |
1 |
,..., |
~ при х -t О. |
|
||||||||||
Q Решение: Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim v'I+X- 1 = lim (/I+X- l)(/I+X + l) = |
|
|
|||||||||||||
х-+0 |
~ |
|
|
:но |
|
~ · |
( y'l + Х ± 1) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
=lim |
|
х |
Х + |
=lim |
2 |
=~=1 |
' |
||||
|
|
|
|
х-+0 ~(y'l ± |
1) |
х-+0 |
v'I+X ± 1 2 |
||||||||
то v1I+X - 1 ,..., |
~ при х -t О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже приведены ва;>fСнеii.шие эквивалентности, которые исполь
зуются при вычислении пределов:
151
1. sinx,...., х при х-+ О; |
6. |
ех - |
1 ,...., |
х (х -+ О); |
|
2. |
tgx,...., х (х-+ О); |
7. |
ах - |
1 ,...., |
х · ln а (х-+ О); |
3. |
arcsinx,...., х (х-+ О); |
8. |
ln(l + х) ,...., х (х -+О); |
||
4. arctgx,...., х (х-+ О); |
9. |
loga(l + х),...., х · loga е (х-+ О); |
|||
5.1-cosx,....,~2 (х-+0); |
10. |
(1 + x)k - 1 ,...., k ·х, k > О (х -+О); |
в частности, -/1 + х -1,...., ~-
п |
|
|
н |
айти |
l. |
~ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ри.мер 18.9. |
|
im |
|
. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
х-+0 SШ |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q Решение: Так как tg2x,...., 2x,sin3x,...., Зх при х-+ О, то |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
tg2x |
= lim 2х = ~- |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
х-+О sin Зх |
х-+О Зх |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
При.мер 18.10. Найти lim х(е1/х -1). |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Х-+00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q Решение: Обозначим 1 = t, |
из х -+ оо следует t |
-+ О. Поэтому |
|||||||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim х(е11х -1) = lim ~(et - |
1) = lim ~ · t = lim 1=1. |
|||||||||||||||
|
х-+= |
|
|
|
t-+0 t |
|
|
|
|
t-+0 t |
|
t-+0 |
|
||||
При.мер 18.11. Найти lim |
ar~sin~x - |
|
~). |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
х-+1 |
Х |
- |
Х |
+ |
|
|
|
|
|
||
Q Решение: Так как arcsin(x - |
1),...., (х - |
1) при х-+ 1, то |
|
||||||||||||||
l |
. |
arcsin(x - |
1) _ . |
|
(х - |
1) |
|
|
_ |
. |
1 |
_ |
1 |
||||
lffi |
|
|
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
- |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
lffi |
|
|
|
|
|
|
lffi -- - -- . |
||||||
х-+1 |
х2 - 5х + 4 |
х-+1 (х - l)(x - |
|
4) |
х-+1 х - |
4 |
3 |
||||||||||
Приближенные вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если о: |
,...., (З, то, |
отбрасывая в равенстве о: = (З + |
|
|
+ (о: - (3) бесконечно малую более высокого порядка,
т. е. о: - (З, получим приближенное равенство о: ~ (З. Оно позволяет выражать одни бесконечно малые
через другие. Приведенные выше важнейшие эквива
лентности служат источником ряда приближенных формул.
Приведенные формулы справедливы при малых
х, и они тем точнее, чем меньше х.
•
8
•
х
|
Например, графики функций у = tg х и у = х в |
Рис. 114. |
|
окрестности точки О практически не различимы (см. |
|||
tg х~х (х-+0) |
|||
рис. |
114), а кривая у = sinx в окрестности точки О |
||
|
152
сливается с прямой у = х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллю
стрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых го
ворилось выше.
у |
у |
|
у=х |
1
----------
,,.
2
Рис. 115. sin х::::: х (х-+ О) |
Рис. 116. ln(l+x):::::x (х-+0) |
у
1
у
у=1+~
2 |
|
y=cosx |
|
у=1-х2 |
|
|
|
Рис. 117. cosx:::::: 1- х2 |
(х-+ О) |
Рис. 118. v'1+X:::::: 1 + ~ (х-+ О) |
|
|
2 |
|
|
При.мер 18.12. |
Найти приближенное значение для ln 1,032. |
Q Решение: ln 1,032 = ln(l + 0,032) ~ 0,032 Для сравнения результата
по таблице логарифмов находим, что ln 1,032 = 0,031498... |
8 |
§ 19. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
19.1. Непрерывность функции в точке
Пусть функция у = f(x) определена в точке х0 и в некоторой
окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непреръtвноii
в mо'Чке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.
lim f(x) = !(хо). |
(19.1) |
х-+хо |
|
153
Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:
1)функция f(x) определена в точке Хо и в ее окрестности;
2)функция f (х) имеет предел при х ~ х0;
3)предел функции в точке х0 равен значению функции в этой
точке, т. е. выполняется равенство (19.1).
Так как lim х =хо, то равенство (19.1) можно записать в виде
ж-tжо
lim |
f(x) = f( lim х) = f (хо). |
(19.2) |
ж-tжо |
ж-+жо |
|
Это означает, что при нахождении предела непрерывноii. функции f (х) можно переii.ти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргументах подставить его преде.лыюе зна-чение х0.
Например, |
. |
ein2 |
= |
lim |
~ |
= е. В первом равенстве функция |
11m |
е-.- |
е•-+о |
• |
ж-tО
и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функ-
ции еж.
Прuмер 19.1. Вычислить А= lim ln(l + х).
ж-+0 Х
Q Решение:
lim ln(l+x) = lim .! ·ln(l+x) = limln(l+x)~ =
ж-+0 |
Х |
ж-+0 Х |
ж-+0 |
|
|
|
|
= ln(lim (1 + х)~) = ln е = 1. |
8 |
|
|
|
ж-+0 |
|
Отметим, что ln(l + х) "' х при х ~ О.
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опи раясь на понятия приращения аргумента и функции.
у |
|
|
|
Пусть функция y=f(x) опре- |
|||
|
|
|
|
делена в |
некотором |
интервале |
|
|
|
|
|
(а; Ь). Возьмем произвольную точ |
|||
|
--------,;}лу |
|
ку х0 Е(а; Ь). Для любого хЕ(а; Ь) |
||||
|
|
разность х - хо называется прира |
|||||
|
1 |
1 |
|
щением аргумента х в то-чке х0 |
|||
|
1 |
1 |
|
||||
|
1 |
: f(x) |
|
и обозначается |
дх («дельта х»): |
||
|
/(хо) : |
|
|||||
|
1 |
|
дх=х-хо. Отсюда х=хо+дх. |
||||
|
1 |
1 |
|
||||
|
1 |
1 |
|
Разность |
соответствующих |
||
|
Хо1 |
1Х |
|
||||
о |
..__.. |
х |
значений функций f(x)- f(x 0 ) на |
||||
Лх |
|
|
|||||
|
|
|
зывается |
приращением |
функции |
||
|
|
|
|
||||
|
Рис. 119 |
|
|
f(x) в то-чке х0 |
и обозначается ду |
(или д/ или д/(хо)): дy=f(x)-f(xo) или ду=f(хо+дх)-f(хо) (см.
рис. 119).
Очевидно, приращения дх и ду могут быть как положительными,
так и отрицательными числами.
154
Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия
х --+ хо и х - Хо --+ О одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид
lim (f(x) - !(хо)) =О или
Х--+Хо
(19.3)
~Полученное равенство (19.3) является еще одним определением не-
прерывности функции в точке: функция у= f(x) называется не
nреръюн.оii в точке хо, если она определена в точке х0 и ее окрестно сти и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому прираще
нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое
(равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.
Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию у = sin х.
Q Решение: Функция у = sin х определена при всех х Е IR.
Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Лу:
Лу = sin(х+ Лх)
Тогда lim Лу = lim
дх--+О дх--+0
- sin х = 2 cos ( х+ ~х) · sin ~х.
2 cos (х + Л2х) · sin Л2х = О, так как произ-
ведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.
Согласно определению (19.3), функция у= sinx непрерывна в точ-
ке х. |
8 |
Аналогично доказывается, что функция у |
= cos х также непре |
рывна. |
|
19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция у= f(x) называется непрерывноii, в интервале (а, Ь), если
она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция у = f(x) называется непрерывноii, на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке х = а непреръина спра-
ва (т. е. lim f(x) = f(a)), а в точке х = Ь непреривна слева (т. е.
х--+а+о
lim f(x) = f(Ь)).
х--+Ь-0
19.3.Точки разрыва функции и их классификация
~Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют ся то-чками разрыва эmoii функции. Если х = хо - точка
разрыва функции у = f(x), то в ней не выполняется по крайней ме-
155
ре одно из условий первого определения непрерывности функции, а
именно:
1.Функция определена в окрестности точки х0, но не определена
всамой точке Хо.
Например, функция у = |
_1__ не определена в точке х0 = 2 (см. |
|||
|
|
х- 2 |
|
|
рис. 120). |
ILх |
|
|
|
у |
|
|
||
о |
|
у |
||
|
:2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
Рис. 120 |
|
|
Рис. 121 |
2. Функция определена в точке Хо и ее окрестности, но не суще |
||||
ствует предела f (х) при х --t Хо. |
|
|
||
Например, функция |
|
|
|
|
|
f(x) = {х - |
1, |
если |
- 1 ~ х < 2, |
|
2 - |
х, |
если |
2 ~ х ~ 5, |
определена в точке Хо = 2 |
(/(2) |
= О), |
однако в точке хо = 2 имеет |
разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х --t 2:
lim f(x) = 1, |
а lim |
f(x) =О. |
х-+2-0 |
х-+2+0 |
|
|
3. Функция определена в точ- |
|
|
ке хо |
и ее окрестности, существу |
ует lim f (х), но этот предел не ра-
2 |
|
|
|
х-+хо |
|
|
|
|
|
|
вен значению функции в точке х0: |
||||||
|
|
|
lim f(x) i- !(хо). |
|
|
|
||
1 |
|
|
Х-+Хо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
функция |
(см. |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
рис. 122) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx |
если |
х f. О; |
|
27Г х |
|
g(x) = { ---Х' |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2, |
если |
х =О. |
|
Рис. 122 |
|
|
Здесь хо = О - точка разрыва: |
|
||||
1. ( |
) |
|
1. |
sin х |
1 |
|
|
|
imgx |
|
= im--=, |
|
|
|
|||
x-tO |
|
|
x-tO |
Х |
|
|
|
|
а g(xo) = g(O) = 2.
156
~Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва перво го и второго рода. Точка разрыва хо называется mo'Чкoti разрива
первого рода функции у= f(x), если в этой точке существуют конеч
ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.
lim f(x) = Ai и |
lim f(x) = А2. При этом: |
x--txo-0 |
x--txo+O |
а) если Ai = А2, то точка хо называется mо'Чко11, устранимого раз рива; б) если Ai /:- А2, то точка Хо называется mо'Чко11, коне'Чного раз рива. Величину IA1 - А21 называют ска'Чком функции в точке разрыва
первого рода.
~Точка разрыва х0 называется mo'Чкofi. разрива второго рода
функции у = f (х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
1.Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120).
у= х~2, Хо = 2 - точка разрыва второго рода.
2.Для функции
f(x) = {х-1, |
если |
- 1 ~ х < 2, |
2-х, |
если |
2 ~ х ~ 5, |
х0 = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен
1101=1.
3. Для функции
sinx при |
х f:. О, |
g(x) = { ; |
|
при |
х =О |
х0 = О является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x) = 1 (вместо g(x) = 2) при х = О, разрыв устранится, функция
станет непрерывной.
|
|
lx-3f |
. Найти точки разры- |
|
При.мер 19.3. Дана функция f(x) = х |
_ 3 |
|||
ва, выяснить их тип. |
|
|
|
|
Q Решение: Функция f(x) |
определена и непрерывна на всей числовой |
|||
оси, кроме точки х = 3. Очевидно, f(x) |
= { |
1 |
при х > 3, Следова- |
|
|
|
|
-1 |
при х < 3. |
тельно, lim f(x) = 1, а |
lim f(x) = |
-1. Поэтому в точке х = 3 |
||
x--t3+0 |
х--tЗ-0 |
|
|
|
функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке
равен 1- (-1) = 2. |
8 |
157
19.4.Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из
соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных
функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Q Пусть функция f(x) и <р(х) непрерывны на некотором множес'l'ве
Х и х0 - любое. значение из этого множества. Докажем, например,
непрерывность произведения F(x) |
= f(x) · 1.р(х). Применяя теорему о |
||||
пределе произведения, получим: |
|
|
|||
lim F(x)= lim (f(x)·1.p(x))= lim |
f(x)· lim 1.p(x)=f(xo)-<p(xo)=F(xo). |
||||
х--+хо |
х--+хо |
х--+хо |
х--+хо |
|
|
Итак, |
lim |
F(x) = F(x0 ), что и доказывает непрерывность функ |
|||
|
х--+хо |
|
|
|
8 |
ции f(x) · <р(х) |
в точке хо. |
|
|
||
Теорема 19.2. Пусть функции и = 1.р(х) непрерывна в точке хо, а |
|||||
функция у = f(u) непрерывна в точке и0 = |
<р(х0). Тогда сложная |
||||
функция /(1.р(х)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в |
|||||
точке хо. |
|
|
|
|
|
Q В силу непрерывности функции и = <р(х), |
lim 1.р(х) = <р(х0) = и0, |
||||
|
-+ х0 имеем и |
-+ и0• |
|
x-txo |
|
т. е. при х |
Поэтому вследствие непрерывности |
функции у= !(и) имеем:
lim |
f(<p(x)) = lim f(u) = f(uo) = /(1.р(хо)). |
х--+хо |
и--+ио |
Это и доказывает, что сложная функция у= !(1.р(х)) непрерывна |
|
в точке хо. |
8 |
Теорема 19.3. Если функция у= f(x) непрерывна и строго монотон на на [а; Ь] оси Ох, то обратная функция у = 1.р(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказатель ства).
158
Так, например, функция tgx = sinx, в силу теоремы 19.1, есть cosx
функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cosx =О, т. е. кроме значений х = ~ + 1Гn, п Е Z.
Функции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx, в силу теоремы 19.3, не
прерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены. lil Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, д.л,я которых они опре
делены.
~Как известно, элементарноiJ, называется такая функция, которую
можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф метических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных
выше теорем вытекает: всякая элементарна.я функция непрерыв
на в ка:;нсдоfi. точке, в котороiJ она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить
пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Пример 19.4. Найти lim 2ctgx.
x-+i"
О Решение: Функция 2ctg х непрерывна в точке х = ~, поэтому
lim 2ctgx = 2ctg t |
= 21 = 2. |
• |
x-t~ |
|
19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрез
ке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наимень
шего значений.
Изображенная на рисунке 123 функция у = f(x) непрерывна на отрезке (а; Ь], принимает свое наибольшее значение М в точке х1 , а наименьшее т - в точке х2. Для любого х Е [а; Ь] имеет место нера венство т ~ f(x) ~ М.
Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она огра
ничена на этом отрезке.
159