Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике
.pdfу |
у |
|
в
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
с |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
А |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
: /(Ь) |
|
|
|
|
|
/(с) |
|
||
|
т'1 |
|
11(а) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о а Х1 |
Х2 ь х |
о |
а |
с |
ь |
х |
Рис. 123 |
|
|
Рис. 124 |
|
|
|
Теорема 19.5 |
(Больцано-Коши). |
Если функция у = |
f(x) |
непре |
рывна на отрезке [а; Ь] и принимает на его концах неравные значения f(a) =А и f (Ь) = В, то на этом отрезке она принимает и все проме
жуточные значения между А и В.
Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).
Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка
с внутри этого отрезка такая, что f(c) =С. Прямая у= С пересечет
график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие 19.2. Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь]
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка
[а; Ь] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f (с) =О.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функ ции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось
Ох (см. рис. 125).
Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половuн
ного делен'UЯ», который используется для нахождения корня уравне
ния f(x) =О.
Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются невер ными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна
не на отрезке [а; Ь], а в интервале (а; Ь), либо функция на отрезке [а; Ь]
имеет разрыв.
Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график
разрывной функции не пересекает ось Ох.
160
у |
f(b)>O |
у |
|
|
f(b) >0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
у=/! |
|
о |
|
|
о |
L/ |
ь х |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
!(а) <0 |
|
Рис. 125 |
|
|
|
Рис. 126 |
|
|
Пример 19.5. |
Определить с точностью до с: = |
0,00001 корень |
||||
уравнения e2 x+l + х2 |
- 5 =О, принадлежащий отрезку [О; 1), применив |
|||||
метод половинного деления. |
|
|
|
|
|
|
Q Решение: Обозначим левую часть уравнения через /(х). |
||||||
Шаг 1. Вычисляем ер= J(a) |
|
и 'Ф = f(b), |
где а= О, Ь = 1. |
|||
Шаг 2. Вычисляем х = а! |
Ь. |
|
|
|
||
Шаг 3. Вычисляем у= f(x). Если f(x) |
|
=О, то х - |
корень уравне- |
|||
ния. |
|
|
|
|
|
|
Шаг 4. При f(x) |
-:/;О если у· ер< О, то полагаем Ь = х, 'Ф =у, иначе |
полагаем а= х, ер= у.
Шаг 5. Если Ь - а - с: < О то задача решена. В качестве искомого
корня (с заданной точностью с:) принимается величина х = а! Ь. Ина-
че процесс деления отрезка [а; Ь] пополам продолжаем, возвращаясь к
шагу 2. |
|
В результате произведенных действий получим: х = 0,29589. |
8 |
§ 20. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
20.1. Задачи, приводящие к понятию производной
Понятие производной является одним из основных математических
понятий. Производная широко используется при решении целого ряда
задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении
скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется нерав
номерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответ
ствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной
точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).
161
Это равенство называют законом движения mо'Чки. Требуется най
ти скорость движения точки.
Если в некоторый момент времени' t
точка занимает положение М, то в момент
о |
времени t+дt (дt - приращение времени) |
|||
S(t) 1ЛS1 |
точка займет положение М1 , где ОМ1 = |
|||
= S + дS (дS - |
приращение расстояния) |
|||
S(t+Лt) |
(см. рис. 127). Таким образом, перемеще |
|||
Рис. 127 |
ние точки М |
за |
время дt будет дS = |
|
= S(t + дt) - |
S(t). |
|||
дS |
||||
выражает среднюю скорость движения точки за |
||||
отношение дt |
время дt:
дS
Vcp. = дt.
Средняя скорость зависит от значения дt: чем меньше дt, тем
точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю про
межутка времени дt называется скоростью движения mо'Чки в данн'Ыti
момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость
через V, получим
V |
l. дS |
|
V = lim |
S(t + дt) - S(t). |
(20.1) |
|
= д~~о дt , |
или |
дt-->0 |
дt |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Касательная к кривой
Дадим сначала общее определение касательной к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой L две точки Ми М1 (см. рис. 128).
Прямую ММ1, проходящую через эти точки, называют секущеti. Пусть точка М1 , двигаясь вдоль кривой L, неограниченно прибли-
жается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стре
мится к некоторому предельному положению МТ.
~Касате.л:ьноii. к iJaннoii. кривоii. в iJaннoii. то-чке М называ
ется предельное положение МТ секущей ММ1 , проходящей через
точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно прибли
жается по кривой к точке М1 .
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имею
щий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой
коэффициент k = tga, где а - угол касательной с осью Ох.
Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсцис сой х + дх секущую (см. рис. 129). Обозначим через rp - угол между секущей ММ1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент
секущей равен
_ |
_ |
ду _ f(x + дх) - |
f(x) |
||
kсек - |
tg rp - |
- |
- |
дх |
· |
|
|
дх |
|
|
162
о х х+дх х
Рис. 128 |
Рис. 129 |
При дх ~ О в силу непрерывности функции приращение ду тоже стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол <р ~а, т. е. lim ер= а.
|
|
|
lim |
tg <р = tg а. |
|
дх-tО |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
дх-tО |
|
|
|
|
|
|
Поэтому угловой коэффициент касательной равен |
|
|
|||||||
k |
|
. |
|
. |
ду |
. |
f(x + дх) - f(x) |
|
|
= tg а: = |
1 |
tg ер = |
1 |
- = |
1 |
|
. |
(20.2) |
|
|
lffi |
lffi |
lffi |
дх |
|||||
|
|
дх-tО |
|
дх-tО дх |
дх-tО |
|
|
К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и
множества других задач. Можно показать, что:
- если Q = Q(t) - количество электричества, проходящего через
поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент
времени t равна |
|
|
|
|
|
|
I = lim |
дQ = lim |
Q(t + дt) - |
Q(t) · |
(20.3) |
||
дt-tO дt |
дt-tO |
дt |
' |
|||
|
||||||
- если N = N (t) - |
количество вещества, вступающего в химиче |
скую реакцию за время t, то скорость хими'Ч.еско1i реакции в момент
времени t равна
V = lim |
дN = |
lim |
N(t + дt) - N(t); |
(20.4) |
|
дt-tO Дt |
дt-+0 |
дt |
|||
|
|||||
- если m = т(х) - |
масса неоднородного стержня между точками |
0(0;0) и М(х;О), то лине1iна.я плотность стержня. в то'Ч.ке х есть
S = lim |
дm = lim |
т(х + дх) - т(х). |
(20.5) |
дх-+0 |
дх дх-tО |
дх |
|
Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется най
ти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производноii. Эти пределы можно записать так:
V=S;; tga=y~; l=Щ; V=N:; S=m~
(читается «V равно S штрих по t», «тангенс а равен у штрих по Х» и т. д.).
163
20.2.Определение производной; ее механический и геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой
Пусть функция у= f(x) определена на некотором интервале (а; Ь).
Проделаем следующие операции:
- аргументу х Е (а; Ь) дадим приращение Лх: х + Лх Е (а; Ь);
-найдем соответствующее приращение функции: Лу = f(х+Лх)-
-f(x);
-составим отношение приращения функции к приращению аргу-
мента:~;
- найдем предел этого отношения при Лх --+ О: |
lim 01/...ЛЛ. |
|
|
|
дх |
х |
|
Если этот предел существует, то его называют производной функ- |
|||
ции f(x) и обозначают одним из символов f~, f'(x); |
у'; |
*; |
у~. |
~Производноfi. функции у= f(x) в точке х0 называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
у, = |
1lffi. |
f(xo + дх) - !(хо) |
ИЛИ !'(Хо ) = 1lill. |
/(х) - |
!(хо) . |
|
дх-+О |
Лх |
Х-+Хо |
х - |
Хо |
Производная функции f(x) |
есть некоторая функция f'(x), произ |
веденная из данной функции.
~Функция у = !( х), имеющая производную в каждой точке интерва ла (а; Ь), называется дифференv,ируемоfi. в этом интервале; опе
рация нахождения производной функции называется дифференциро
ванием.
Значение производной функции у= f(x) в точке х = х0 обознача
ется одним из символов: f'(xo), y'Jx=xo или у'(хо).
Пример 20.1. Найти производную функции у= С, С= const.
Q Решение:
- Значению х даем приращение Лх;
- находим приращение функции Лу: Лу |
f(x + Лх) - |
f(x) |
|||||
=С-С=О; |
|
|
|
|
|
|
|
- значит, ~ = 1х = О; |
|
|
|
|
|||
- следовательно, у |
1 |
- |
1"im |
~ - |
1"im о - |
о, т. е. ( )' - о. |
• |
|
|
Л |
|
с |
|
||
|
|
|
дх-+0 |
Х |
дх-+0 |
|
|
164
Прuмер 20.2. Найти производную функции у= х2 •
Q Решение:
-Аргументу х даем приращение дх;
-находим ду: ду = (х + дх)2 - х2 = 2х ·дх + (дх)2 ;
Д11 Д11 |
2х ·дх + (дх)2 |
= 2х + дх; |
|
- составляем отношение =: = |
= |
дх |
|
дх дх |
|
-находим предел этого отношения:
lim дду = lim (2х+ дх) = 2х.
Лх-+0 Х Лх-+0
Таким образом, (х2)' = 2х. |
• |
|
|
||
|
В задаче про скорость прямолинейного движения было получено |
|
V |
1· дS |
|
= |
л~~о дt · |
|
Это равенство перепишем в виде V = s;, т. е. скорость прямоли
неii:ного движени.я материалъноii то-ч.ки в момент времени t естъ про изводная от пути S по времени t. В этом заключается механи-ч.ескиii смысл производноii.
!iJ Обобщая, можно сказать, что если функция у = f(x) описывает
какой-либо физический процесс, то производная у' есть ско рость протекания этого процесса. В этом состоит физическиii.
смысл, nроизводноii..
!iJ
циент касательной k = tg о: = lim ОJJ...дд. Это равенство перепишем
Лх-+0 Х
в виде f'(x) = tgo: = k, т. е. производная f'(x) в точке х рав
на уг.л,овому коэффициенту касате.л,ьноii. к графику функции
у= f(x) в точке, абсцисса кomopoii. равна х. В этом заключается
геометрическиii. смис.л, nроизводноii.. |
у |
|
~Если точка касания М имеет координаты
(хо; Уо) (см. рис. 130), то угловой коэффи
циент касательной есть k = f'(x 0 ). Пользуясь
уравнением прямой, проходящей через задан
ную точку в |
заданном направлении |
|
|
(у-уо = k(x-xo)), можно записать уравнение |
|
|
|
касате.л,ьноii.: у - |
Уо = f'(xo) · (х - хо). |
о |
х |
|
|
~Прямая, перпендикулярная касательной в
точке касания, называется норма.л,ью к |
Рис. 130 |
кривоii..
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой ко
эффициент |
1 |
1 |
|
kнорм. |
|||
= - k |
- !'(хо)· |
||
|
кас. |
165
Поэтому уравнение нормали имеет вид у - Уо = - !'(~о) · (х - хо)
(если f'(xo) i- О).
20.З. Связь между непрерывностью
и дифференцируемостью функции
Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке,
то она непрерывна в ней.
Q Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х.
Следовательно, существует предел lim ОJJ..дд = f'(x).
Лх-tО Х
Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно
малой функции, имеем t = f'(x) +а, где а-+ О при дх-+ О, то есть
ду = f'(x) · дх +а· дх.
Переходя к пределу, при дх -+ О, получаем lim ду = О. А это и
Лх-+0 |
|
означает, что функция у= f(x) непрерывна в точке х. |
• |
Обратная теорема неверна: |
непрерывная |
уфункция может не иметь производной. Приме
ром такой функции является функция
|
|
у= 1х1 = { |
х, если х ~О, |
|
|
|
|
о |
х |
-х, если х < О. |
|
|
|
|
|
Рис. 131 |
|
Изображенная на рисунке 131 функция не |
|
|
прерывна в точке х = |
О, но не дифференцируема |
|
|
|
||
|
|
в ней. |
|
Действительно, в точке х = О имеем |
|
ду = f(O + дх) - |
/(О) |
= f(дх) |
= lдxl |
= { 1, |
если |
дх >О, |
||
дх |
дх |
|
|
дх |
дх |
-1, |
если |
дх <О. |
Отсюда следует, |
что |
lim |
011_дд не существует, т. е. функция у = lxl |
|||||
|
|
Лх-+0 |
Х |
|
|
|
|
не имеет производной в точке х = О, |
график функции не имеет каса- |
|
тельной в точке 0(0; О). |
|
|
liJ |
За.ме"tания: 1. Существуют односторонние пределы функции у = lxl |
|
|
в точке х =О: lim 011_дд = -1, |
lim 011..дд = 1. В таких случаях |
|
Лх-+0-0 Х |
Лх-+О+О Х |
говорят, что функция имеет односторонние nроизводние (или «про изводные слева и справа»), и обозначают соответственно /'_(х) и f'+-(x).
166
Если f~(x) =/. f'_(x), то производная в точке не существует. Не
существует производной и в точках разрыва функции.
2. Производная у'= f'(x) непрерывной функции у= f(x) сама не
обязательно является непрерывной.
iJ Если функция у = f (х) имеет непрерывную производную у' = f' (х)
в некотором интервале (а; Ь), то функция называется гладкоfi..
20.4.Производная суммы, разности, произведения
и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определе нию часто связано с определенными трудностями. На практике функ ции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Пустъ функции и = и(х) и v = v(x) - две дифференцируемие в
некотором интервале (а; Ь) функции.
Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (и± v)' =и'± v'.
Q Обозначим у = и± v. По определению производной и основным
теоремам о пределах получаем:
у'= lim (и(х + дх) ± v(x + дх)) - |
(и(х) ± v(x)) = |
|
|
|||
дх--+0 |
Лх |
|
|
|
|
|
= lim |
(и(х + дх) - и(х) ± v(x + дх) -v(x)) |
|
||||
дх--+0 |
Лх |
|
Лх |
|
|
|
|
= |
. |
Ли ± |
. |
дv |
, ± , |
|
1lffi-Д |
1lШ-Д =и |
V, |
|||
|
|
дх--+0 |
Х |
дх--+0 |
Х |
|
т.е. (и±v)'=и'±v'. |
• |
|
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произ
ведению производной первого сомножителя на второй плюс произве
дение первого сомножителя на производную второго: (и·v)'=и'v+v'и.
167
О Пусть у = иv. Тогда
у'= lim Лу = |
lim |
и(х + Лх) · v(x + Лх) |
дх--+0 Лх |
дх--+О |
Лх |
- и(х). v(x)
|
|
|
= |
|
lim |
(и(х) +Ли)· (v(x) + Лv) - |
и(х) · v(x) = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
дх--+О |
|
|
|
|
|
Лх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
v(x) · и(х) + и(х) · Лv + v(x) ·Ли+ Ли· Лv - |
|
и(х) · v(x) |
||||||||||||||||
дх--+О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
( |
|
Ли |
|
Лv |
|
|
|
Ли) |
= |
|
||
|
|
|
|
l1m |
|
|
v(х)·-+и(х)·-+Лv·- |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
дх--+О |
|
|
Лх |
|
Лх |
|
|
|
Лх |
|
|
|
|
|
= V |
( |
Х |
) |
• |
l. |
Ли |
( ) |
1. |
Лv |
1. |
|
Л |
V • |
1. |
|
Ли |
|||
|
|
IШ |
-Л +и Х · |
IШ |
-Л + |
IШ |
|
|
lffi |
-Л = |
|||||||||
|
|
|
|
дх--+0 |
|
|
Х |
|
дх--+0 |
Х |
дх--+0 |
|
дх--+0 |
Х |
= и' · v + и · v' + О · и' = и' · v + и · v',
т.е. (и·v)' =и'·v+и·v'. |
• |
|
При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи не
прерывности и дифференцируемости: так как функции и = и(х) и v = v(x) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому Лv ~ О
и Ли ~ О при Лх ~ О. Можно показать, что:
а) (с· и)'= с· и', где с= const;
6) (и · v · w)' = и' · v · w + и · v' · w + и · v · w'.
Теорема 20.4. Производная частногодвухфункций иvtхx1, еслиv(x) =f
=/:- О равна дроби, числитель которой есть разность произведений зна
менателя дроби на производную числителя и числителя дроби на про
изводную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаме-
нателя: (;) 1 = и'· v ~и· v', v =/:-О.
О Пусть у = :!! . Тогда |
|
|
|
|
|||
|
|
v |
|
|
|
|
|
у' = |
и х+дх |
~ |
= lim |
их +ди |
uf"'1 |
= |
|
lim v |
х+дх - |
VГxJ |
v х +дv - |
v х |
|||
|
дх--+О |
Лх |
|
дх--+0 |
Лх |
|
|
|
= lim |
и(х) · v(x) + v(x) ·Ли - и(х) · v(x) - и(х) · Лv = |
|||||
|
дх--+О |
|
Лх · (v(x) + Лv)v(x) |
|
168
. |
v . ди - и. дv |
. |
V. Ли -и. Лv |
||
1 |
|
1 |
|
Лх |
Лх |
=1m |
|
=1m |
|
|
|
Лх-+О дх · (v 2 + v · дv) |
Лх-+0 v 2 + v · дv |
||||
|
v · lim Ли - |
и · |
lim |
Лv |
|
|
Лх-+0 Лх |
|
Лх-+0 Лх |
||
|
|
v2 + v · |
lim |
дv |
|
|
|
Лх-+0 |
|
т. е. ( ;- ) = и'v;; uv'.
Следствие 20.1. (~)'=~·и'.
Следствие 20.2. (;;с-)' = - с~2v1 , где с = const.
u'v - uv'
v2
•
1