1
Аппроксимация характеристик НЭ
При расчете электрических цепей с нелинейными элементами используется несколько видов представления их характеристик:
1.Для графического метода используются ВАХ, полученные опытным путем.
2.Для метода кусочно-линейной аппроксимации
используется представление характеристики отрезками прямых.
3.Для методов, использующих интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений,
ВАХ представляются различными функциями
(степенными, тригонометрическими, гиперболическими и др.).
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В.
|
Получение ВАХ нелинейного элемента |
2 |
||||||||
|
|
|||||||||
+ |
A |
|
|
Опытная ВАХ |
|
|
|
|
||
U |
|
V |
|
НЭ i, А |
i1 |
i2 |
… |
in |
|
|
– |
|
|
|
u, В |
u1 |
u2 |
… |
un |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
in |
|
n |
|
r |
|
u |
n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
α |
|
|
|
стn |
|
in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i2 |
|
|
|
|
rстn |
k tg . |
|||
|
i1 |
u1 |
u2 |
un |
u |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В. |
||||||||||
Аппроксимация ВАХ степенным полиномом 3
in |
i |
|
ВАХ нелинейного |
|
|
|
|
i2 |
|
|
элемента можно |
|
|
аппроксимировать |
|
i1 |
u1 u2 |
un u |
степенным полиномом |
0 |
i a1u a2u2 a3u3 ... anun.
Для определения коэффициентов полинома на рабочем участке характеристики выбирают столько точек, сколько будет неизвестных коэффициентов.
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В.
4
i1 |
i |
|
i1 a1u1 a2u12 a3u13; |
|||||||
|
|
|
i a u |
2 |
a u2 |
a u3 |
; |
|||
|
|
|
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
|
i2 |
|
|
i a u a u2 |
a u3 |
; |
|||||
|
|
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
|
i3 |
|
u2 |
u1 u |
|
|
a1, a2 , a3. |
|
|
||
0 u3 |
|
|
|
|||||||
Если ограничиться двумя членами полинома, то и количество уравнений сократится до двух:
i a u |
|
a u2; |
|
|||||
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
2 |
a1, a2. |
|
i a u |
2 |
a u |
||||||
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
||
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В.
Кусочно-линейная аппроксимация |
5 |
|
(представление характеристики отрезками прямых линий)
u |
4 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
i |
||
|
||
u |
2 |
|
|
1 |
|
0 |
i |
|
|
Число отрезков прямых определяет количество уравнений.
Чем больше отрезков прямых, тем больше объем вычислений.
На каждом интервале решается система линейных дифференциальных уравнений, отличающаяся значениями коэффициентов.
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В.
u |
u u |
r i |
Уравнение прямой: |
6 |
||||||
|
||||||||||
u2 |
|
0 2 2 |
- проходящей через |
|
||||||
|
|
|
|
начало координат: y=kx; |
|
|||||
|
|
|
- не проходящей через |
|
||||||
|
1 |
u ri |
начало координат: |
|
||||||
u1 |
|
1 |
y = y0 + kx. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
i1 |
i2 |
i |
0 u u1 |
|
|
|
|
||
|
r u1 . |
|
||||||||
|
|
|
|
u ri; |
|
|||||
|
u1 u u2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u0 |
u |
u |
|
r i ; |
|
|
|
|
||
u u0 r2i; |
0 |
|
|
u0 ,r2. |
|
|||||
|
1 |
|
2 1 |
|
|
|
||||
|
u2 u0 r2i2; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. |
Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В. |
|||||||||
7
Качество аппроксимации ВАХ зависит от выбора точек 1 и 2, которые могут располагаться и вне характеристики.
u |
2 |
|
u2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
u1 |
|
|
0 |
|
|
i1 |
i2 |
i |
u |
2 |
u2 |
|
u1 |
1 |
|
0 |
||
|
i1 i2 i
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В.
Кусочно-линейная аппроксимация при расчетах |
8 |
||||
|
|||||
дает наибольший эффект, если выбранные отрезки |
|
||||
параллельны или совпадают с осями координат. |
|
||||
B |
B |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
H |
H |
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
rпр 0 |
|
u rоб u
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В.
9
Графические методы
расчета установившегося процесса в нелинейных цепях постоянного тока
При расчете НЦ ход решения задач совпадает с обычными линейными цепями. Можно использовать законы Ома, Кирхгофа. Порядок решения тот же.
НО! Так как у нелинейного элемента, как правило, не задано сопротивление, то для связи напряжения с током пользуемся не формулой U=IR, а графиком – вольт-амперной характеристикой.
По графику при известном U всегда можно найти ток и наоборот.
Как и в формулах всегда важно учитывать правильные величины: вольт- амперная характеристика одного конкретного элемента связывает напряжение и ток конкретно этого элемента.
Чтобы получить, например, связь входного напряжения и тока в цепи с последовательным соединением элементов, нужно сначала получить вольт- амперную характеристику для всего последовательно-соединенного участка!
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В.
|
Задача 1 |
10 |
|
|
|
||
|
|
u |
|
E |
I |
E |
|
НЭ |
|
||
Дано: E, ВАХ НЭ. |
|
|
|
Найти: I. |
I |
i |
|
|
|
||
|
Напряжение на НЭ известно – значит ток можем найти. |
|
|
Только не по формуле, а по ВАХ
ОмГУПС, 2011 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-3. Лекция №2. Тэттэр А.Ю., Ковалева Т.В., Пономарев А.В.
|
Задача 2 – Последовательное соединение |
|
11 |
|||
|
НЭ1 |
|
|
u |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
E |
|
|
|
|
|
U2 |
|
|
|
||
E |
НЭ2 U1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
U21 |
|
|
|
Дано: E, ВАХ1, ВАХ2. |
|
|
|
1 |
||
Найти: I. |
|
|
U11 |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
Нам известно общее напряжение (Е). |
|
|
|
|||
Известны ВАХ1 и ВАХ2, но неизвестна |
|
|
|
|||
общая ВАХ. |
|
|
I1 |
I |
i |
|
Получить общую ВАХ можно на основе 2 |
||||||
закона Кирхгофа:U1 U2 U. |
|
|
|
|
||
Мы не знаем точное значение тока. Поэтому и напряжения U1, U2 нам неизвестны! |
||||||
НО! Мы можем проанализировать, чему было бы равным общее напряжение при |
||||||
произвольных значениях тока!!! Таким образом получим общую ВАХ цепи, которой |
||||||
можно будет пользоваться! По ней при известном Uвх=Е легко находим ток. |
|
|||||
Задача 3 |
– Параллельное соединение |
|
12 |
|||||
|
|
|||||||
|
I |
I1 |
u |
|
1 |
2 |
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
||
E |
U |
1 |
2 E |
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
Дано: E, ВАХ1, ВАХ2. |
|
|
|
|
|
|||
Найти: I, I1, I2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
I I1 I2. |
I11 |
I1 I21I2 |
I1 |
I |
i |
||
Решается аналогично, только не зная реальных значений строим зависимость |
|
|||||||
входного тока от входного напряжения: пробуем брать произвольные напряжения, |
||||||||
получаем для них определенные значения I1, I2, складывая которые получаем |
|
|||||||
определенные значения входного тока. Когда таким образом множество значений |
||||||||
обработано – получили результирующую ВАХ цепи, по которой удобно искать ток |
||||||||
при любом заданном значении Е. |
|
|
|
|
|
|||