Sb97952

УДК [533.9:621.387] (075)

ББК В 333я7

Л 63

Лисенков А. А., Лесив Н. А.

Л63 Моделирование процессов в вакууме и плазме: учеб.-метод. пособие к лабораторным работам. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018. 40 с.

ISBN 978-5-7629- 2464-1

Содержит материалы по подготовке и проведению расчетных работ по курсу «Прикладная физика плазмы». Рассматриваются особенности создания и применения вакуумных приборов.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 210100.68 «Электроника и наноэлектроника» по профилю «Электронные приборы и устройства».

УДК [533.9:621.387] (075)

ББК В 333я7

Рецензент зам. генерального директора ПАО «Светлана» по научнотехническому развитию, канд. техн. наук В. А. Клевцов.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

2

ВВЕДЕНИЕ

Специфические особенности плазмы проявляются тогда, когда распределение заряженных частиц в ней становится неоднородным и возникает электромагнитное поле – совокупность переменных взаимосвязанных и влияющих друг на друга электрического и магнитного полей.

Электромагнитное поле – это вид материи, определяемый во всех точках векторными величинами, которые характеризуют две его стороны, называемые, соответственно, электрическим (Е) и магнитным (В) полями, и оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы, зависящие от их скорости и заряда (ГОСТ 19880–74).

Электростатическое поле создается неподвижно заряженными телами и проявляется в виде механической силы, действующей на неподвижный электрический заряд. Электрическое поле потенциально – rot E = 0 (дифференциальная форма записи).

Электрическое поле постоянного тока образуется внутри и вне провод-

ников при прохождении по ним постоянного тока. При этом внутри однородного проводника отсутствует объемная плотность заряда ( div E 0) и линии вектора плотности тока замкнуты ( div J 0 ). Поле является потенциальным и для него справедливо уравнение Лапласа 0 ( скалярный дифференциальный оператор Лапласа – лапласиан, форма которого зависит от выбора координатной системы).

Магнитное поле постоянного потока проявляется в силовом воздей-

ствии на движущиеся в нем заряженные тела и на неподвижные контуры с постоянным током. Поле имеет вихревой характер – rot Н J.

Напряженность электрического поля ( Е ) – физическая характеристика электрического поля, определяющая силовое воздействие поля на положительный электрический заряд, когда значение внесенного заряда стремится к нулю: Е lim (F/Q) . За положительное направление вектора напряженности Е принято направление от положительного Q к отрицательному Q заряду. Сила электрического поля F eE , действующая на заряд, направлена вдоль вектора Е.

Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 0 :

3

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики и вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме.

получается дифференциальное уравнение – уравнение Пуассона:

где ( 2 / x2 ) ( 2 / y2 ) ( 2 / z2 ) – сумма частных производных по трем координатным осям – оператор Лапласа.

Решением уравнения Пуассона для случая, когда заряды распределены в конечной области пространства, а объемная плотность заряда в некоторой точке есть , является интеграл

и в этом частном случае представляет уравнение Лапласа.

Задания решаются в расчетной среде Mathcad. В качестве начальных условий, необходимых для моделирования движения заряженной частицы, используются: q – заряд; m – масса; vx , vy , vz – составляющие скоростей

движения частицы; Bx , By , Bz – составляющие магнитной индукции; Ex ,

Ey , Ez – составляющие электрической индукции; x0 , y0 , z0 – начальные ко-

ординаты частицы.

4

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ СИСТЕМЫ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ

Цель работы: ознакомление с методикой моделирования электростатического поля системы точечных электрических зарядов.

1.1. Основные теоретические положения

Электростатическое поле – поле, создаваемое неподвижными точечными электрическими зарядами, геометрическими размерами которых можно пренебречь по сравнению с характерными размерами рассматриваемой задачи.

Электростатическое поле можно описывать с двух позиций: энергетической и силовой. С энергетической позиции электростатическое поле описывается потенциалом электростатического поля – работой, совершаемой по переносу положительного точечного электрического заряда из бесконечности в рассматриваемую точку геометрического пространства. С позиций силовой характеристики электростатическое поле в вакууме описывается напряженностью электростатического поля – силой, воздействующей на единичный неподвижный точечный заряд не искажающего электростатического поля, созданного не данным зарядом.

Напряженность электростатического поля точечного электрического за-

где E – вектор напряженности электростатического поля; – оператор набла или оператор Гамильтона; – потенциал электростатического поля.

Электростатическая напряженность поля и потенциал электростатического поля – дифференциальные характеристики электростатического поля (определяют поле в каждой точке геометрического пространства).

Для расчета вектора напряженности (E) и потенциала (φ) электростатического поля точечных зарядов в рассматриваемой точке (для вакуума) применяется закон Кулона, описывающий силу, действующую между двумя покоящимися зарядами q1 и q2 :

F 1 q1q2 R0 , 4 0 R2

где R0 – единичный вектор, направленный по линии соединения зарядов точечных зарядов q1 и q2 ; 0 = 8.854 · 10–12 Кл2/(Н · м2) – электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума).

5

По определению напряженность электрического поля в любой точке пространства равна отношению силы F, действующей на малый положительный заряд, к величине этого заряда q :

где r – радиус-вектор, проведенный из пересечения осей координат в рассматриваемую точку; r – модуль (длина) радиуса-вектора r.

Для потенциала электростатического поля имеем

т. е. разность потенциалов между исходной и конечной точками пути зависит только от положения этих точек и не зависит от пути, по которому происходило перемещение из исходной точки в конечную.

Точечный электрический заряд – это математическая модель, не имеющая реального аналога. Тем не менее эта модель позволяет рассчитывать (или, по крайней мере, оценивать) электростатические поля реальных заряженных тел (в модельном приближении идеально проводящего тела). Для этого используются принципы суперпозиции напряженностей электростатических полей и электростатических потенциалов:

где Ei и i – вектор напряженности и потенциал электростатического поля соответственно, создаваемые i-м точечным электрическим зарядом.

Векторы напряженности и потенциалы электростатического поля – математические объекты, позволяющие рассчитать электростатическое поле неточечного заряженного тела (разбивая заряженное тело на точечные заряды и пользуясь принципом суперпозиции электрических полей) или электростатическое поле системы точечных зарядов. Реальными физическими величинами, которые можно измерить, являются напряженность и потенциал электростатического поля.

6

1.2.Указания к выполнению работы

1.Получить зависимость электростатического потенциала от геометрических координат х и y – f (x, y) для двух точечных зарядов, используя

(1.3) и (1.4).

2. Построить график поверхности функции f (x, y) , контурный график (график линий уровня) функции f (x, y) , получить таблицу результатов моделирования потенциала электростатического поля.

3. Получить зависимость компоненты напряженности электростатического поля двух зарядов Ex от геометрических координат х и y – f (x, y) , график поверхности функции Ex f (x, y) , контурный график (график линий уровня) функции Ex f (x, y) , используя (1.3), (1.4) и (1.1) соответственно.

4. Получить зависимость i-й компоненты напряженности электростатического поля двух зарядов от геометрических координат х и y – f (x, y) , график поверхности функции Ey f (x, y) , контурный график (график линий уровня) функции Ey f (x, y) , используя (1.3), (1.4) и (1.1) соответственно.

1.3. Пример типового задания

Смоделировать электрическое поле, создаваемое двумя точечными заря-

1.4. Пример решения задания

1.Исходные данные. Для корректного построения решения необходимо задать исходные данные, используемые в последующих выражениях.

Помимо исходных данных задается интервал с шагом для значений координат, на котором будет осуществлено моделирование.

Пример: x = –0.1, –0.09…0.1 – интервал по x от –0.1 до 0.1 с шагом 0.01.

2.Зависимости электростатического потенциала от геометрических

чения r не заданы, но заданы координаты зарядов. Исходя из этого имеем: ri (x xi )2 ( y yi )2 ;

7

1(x, y) 1(x, y) 2 (x, y) .

При построении трехмерных графиков используется функция

CreateMesh: А := CreateMesh (φ, х1, х2, y1, y2), где A – переменная, задающая функцию, по которой строится график; x1, x2 – диапазон значений по оси x ; y1, y2 – диапазон значений по оси y .

Для построения графика поверхности потенциала выберите Панель ин-

струментов «График» (), далее «График поверхности» (). В появившемся окне, в нижнем левом углу введите Имя функции «А», щелкните за пределами графика, чтобы начать его построение. Для задания имени осей используется вкладка оси в свойствах графика (щелкните правой кнопкой мыши по графику «Свойства»).

Для построения контурного графика распределения потенциала выполните аналогичные действия, как и с графиком поверхности. После этого откройте «Свойства» графика, выберите вкладку «Оформление», в графе «Параметры линий» выберите «Линии контура» (рис. 1.1).

Перейдите на вкладку «Общие». В графах «Поворот» установите значения 360; «Наклон» – 90; «Изгиб» – 90 (рис. 1.2). Далее нажмите «ОК».

3. Для получения значений потенциала на свободном месте рабочего по-

ля введите имя одной из координат со знаком равно, а также переменную, обозначающую потенциал, с находящимися в скобках заданной координатой и второй координатой с постоянным значением.

Меняя значение второй координаты, получаем значения распределения потенциала в другой соответствующей области.

8

4. Зависимость напряженности электростатического поля двух зарядов от геометрических координат. Используя (1.2) и (1.3), получим распре-

деление напряженности электростатического поля по координатам:

Ex (x, y) (x, y);

x

Ey (x, y) (x, y);

y

E(x, y) Ex (x, y)2 Ey (x, y)2 .

Построение графиков поверхности напряженности и контурного графика осуществляется аналогичным образом, как и для графиков потенциала.

Пример функции для составляющей напряженности х: Ex:= CreateMesh (Ex, –0.1, 0.1, –0.1, 0.1).

1.5.Содержание отчета

1.Основные теоретические сведения по расчету электростатических

полей.

2.Привести формулу зависимости потенциала электростатического поля для двух зарядов f (x, y) , график поверхности функции f (x, y) , кон-

турный график (график линий уровня) функции f (x, y) и таблицу результатов моделирования потенциала электростатического поля.

3. Привести формулу зависимости i-й компоненты напряженности электростатического поля для двух зарядов Ex f (x, y) , график поверхности функции Ex f (x, y) , контурный график (график линий уровня) функции

Ex f (x, y) .

4.Привести формулу зависимости i-й компоненты напряженности

электростатического поля для двух зарядов Ey f (x, y) , график поверхности функции Ey f (x, y) , контурный график (график линий уровня) функции Ey f (x, y) .

5. Привести формулу зависимости модуля напряженности электростатического поля для двух зарядов E f (x, y) , график поверхности функции E f (x, y) , контурный график (график линий уровня) функции E f (x, y) .

6. Привести листинг кода программы, моделирующей электростатическое поле двух точечных электрических зарядов.

9

7. Сформулировать выводы по результатам моделирования электростатического поля двух электрических зарядов.

1.6.Вопросы для самоконтроля

1.Физический смысл принципа суперпозиции для напряженностей электростатических полей.

2.В чем состоят отличия потенциала электростатического поля от напряженности электростатического поля?

3.Выполняются ли соотношения (1.2) и (1.3) для неточечных заряженных тел в общем случае?

4.Выполняются ли соотношения (1.2) и (1.3) для неточечных заряженных тел в частном случае? Если да, то, в каком случае?

5.В чем, на Ваш взгляд, состоит главная проблема модели электростатического поля?

2.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

Цель работы: ознакомление с методикой решения уравнения Пуассона.

2.1. Основные теоретические положения

Для расчета электростатического поля макроскопического заряженного тела часто используют подход, заключающийся в том, что система дискретных электрических зарядов заменяется на непрерывный электрический заряд, распределенный по объему (в общем случае) заряженного тела таким образом, чтобы электростатическое поле, создаваемое распределенным зарядом в каждой точке геометрического пространства, не занятого телом, равнялось электростатическому полю, создаваемому системой дискретных зарядов, образующих тело. В таком случае для описания распределения зарядов в пространстве вводится понятие объемной плотности электрического заряда:

dVdq .

Связь напряженности электростатического поля с объемной плотностью электростатического заряда в вакууме дается (в неявном виде) теоремой Гаусса:

10